福建省德化一中、永安一中、漳平一中三校协作2022-2023学年高一下学期5月联考数学试题及答案

“德化一中、永安一中、漳平一中”三校协作

2022-2023学年第二学期联考

高一数学试卷

（考试时间：120分钟        总分：150分）

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分

第Ⅰ卷（选择题，共60分）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.复数在复平面内对应点的坐标为，则（      ）

  A.              B.              C.              D.

2.已知圆锥的底面半径为1，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则此圆锥的母线长为（  ）

  A.              B.              C.              D.

3.在平面四边形中，是的中点，，，则（     ）

  A.             B.  

  C.            D.

4.设是两条不同的直线，是一个平面，则下列命题正确的是（        ）

  A.若，则              B.若，，则

  C.若，则             D若，则

5.在中，若，则最大角和最小角之和为（     ）

  A.               B.               C.               D.

6.我国古代名著《张邱建算经》中记载：“今有方锥，下广二丈，高三丈。欲斩末为方亭，令上方六尺。问：斩高几何？”大致意思是：有一个正四棱锥的下底面边长为二丈，高为三丈，现从上面截去一段，使之成为正四棱台，且正四棱台的上底面边长为六尺，则截去的正四棱锥的高是多少？如果我们把求截去的正四棱锥的高改为求剩下的正四棱台的体积，则该正四棱台的体积是（注:1丈=10尺）（   ）

  A.立方尺        B.立方尺        C.立方尺        D.立方尺

7.某市有一宝塔主体是由圆柱、棱柱、球等几何体构成，如图所示。为了测量宝塔的高度，某

数学兴趣小组在宝塔附近选择楼房作为参照物，楼房高为，在楼顶处测得地面

点处的俯角为，宝塔顶端处的仰角为，在处测得宝塔顶端处的仰角为，其

中在一条直线上，则该宝塔的高度（    ）

  A.             B.         

  C.             D.

8.若正的边长为，为所在平面内的动点，且，则的取值范围是（ ）

  A.                           B.   

  C.                D.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。

9.已知向量，，下列说法正确的是（        ）

  A.                            B.         

  C.与向量平行的单位向量是       D.向量在向量上的投影向量为

10.如图，在四面体中，截面是正方形，则下列判断正确的是（     ）

  A.          B.平面  

  C.          D.点到平面的距离不相等。

11.已知点是所在平面内一点，下列命题正确的是（       ）

  A.若，则点是的重心.

  B.若点是的外心，则.

  C.若，则点是的垂心.

  D.若点是的垂心，则

12.如图，正方体的棱长为，点是侧面上的一个动点（含边界），下列结论正确的有（       ）

  A.若四点共面，则点的运动轨迹长度为；

  B.若，则点的运动轨迹长度为；

  C.若，则点的运动轨迹长度为；

  D.若直线与所成的角为，则点的运动轨迹长度为.

第 Ⅱ 卷（非选择题，共90分）

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.若复数为一元二次方程的一个根，则_____ .

14.在长方体中，，，则异面直线与所成角的余弦值为______．

15.已知一球体刚好和圆台的上、下底面及侧面都相切，且圆台上底面的半径为，下底面的半径为，则该球的体积为_________．

16.记的内角的对边分别为，，若的面积为3，则当的周长取到最小值时，       .

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤。

17、已知复数．

（1）若复数在复平面上对应的点在第四象限，求实数的取值范围．

（2）若复数，求的共轭复数.

18.已知向量满足，，.

（1）求向量的夹角的大小；

（2）设向量，，若的夹角为锐角，求实数的取值范围.

19.如图，已知四棱锥中，，、分别是、的中点，底面，且

（1）证明：平面；

（2）若，求三棱锥的体积．

20.在下列3个条件中任选一个，补充到下面问题，并解答。

①；②；③.

问题：在中，内角的对边分别为，为的面积，且满足     。

（1）求角B的大小；

（2）若，，平分，交于点，求的长.

21.如图所示，三棱台中，底面，，.

（1）证明：是直角三角形；

（2）若，，问为何值时，直

线与平面所成角的正弦值为？

22.如图，设的内角所对的边分别为，为边上的中线，已知

.

（1）求的面积；

（2）点为上一点，，过点的直线与边（不含端点）分别交于.若，求的值。

“德化一中、永安一中、漳平一中”三校协作

2022-2023学年第二学期联考

高一数学参考答案

一、单项选择题：

二、多项选择题：

三、填空题：

四、解答题

17.解：（1）因为，

所以  ……………………………（2分）

因为复数在复平面上对应的点在第四象限，所以 ………………（3分）

，即实数的取值范围为  …………………………………………（5分）

………………………………（9分）

所以．…………………………………………………………………………（10分）

18.解：（1）由，两边平方得，………………（1分）

∵，， ， ………………………（3分）

， ………………………………………………………………（4分）

，  ………………………………………………………………（5分）

（2）向量的夹角为锐角，等价于且方向不同。………………（6分）

由，

…………………………………………………………………………………（9分）

若方向相同，设，

∵不共线，，  …………………………………… （11分）

综上所述，的取值范围是 ……………………………………（12分）

19.（1）证法一：连接AC交BO于点，连接 .………………………（1分）

，

∴四边形为平行四边形

∴是的中点  ……………………………………………………………………（3分）

∵中，是的中点

    …………………………………………………………………………（4分）

∵ 平面，平面，

∴ 平面 ……………………………………………………………………（6分）

证法二：中，分别是的中点，

又平面，平面

平面   …………………………………………………………………（2分）

且

∴四边形是平行四边形，

又平面，平面

平面………………………………………………………………………（4分）

，平面

∴平面平面………………………………………………………………（5分）

∵平面，平面 ……………………………………………（6分）

（2）连结，，

由中，，

得，

∴ 的面积 ……（8分）

又平面，

∴三棱锥的体积为  ……（9分）
∵是的中点，   ……………………………（10分）

∴  ………………（12分）

20解：（1）若选①，由及正弦定理，

得…………………………………………………（1分）

中，，，……………………………………（2分）

……………………………………………………………………………（4分）

中，，，

，  ………………………………………………………………（5分）

若选②：由，

得，………………………………………（1分）

由正弦定理得，， …………………………………………………（3分）

……………………………………………………………（4分）

， ………………………………………………………………（5分）

若选③：由，又， …………………………………（1分）

…………………………………………（2分）

， …………………………………（3分）

………………………………………………………………………………（4分）

， …………………………………………………………………（5分）

（2）由，………………………………………（7分）

由余弦定理得 ，又

，，…………………（9分）

由平分，及，得

，

，………………………………………………………（12分）

21.解：（1）∵ 平面，平面， ∴…………………（1分）

又，，  ∴平面 ………………………………（2分）

∵三棱台中， ……………………………………………………（3分）

∴平面 ………………………………………………………………………（4分）

，故是直角三角形。…………………………………………………（5分）

（2）在平面内作，垂足为，连接。 ……………………（6分）

由（1）知，平面，又平面，

，  平面  ……………………………………………（7分）

是在平面上的射影，为直线与平面所成角。……（8分）

设，则，

∵三棱台中，，

，.

在中，，……………………（9分）

在中，……………………（10分）

解得。

∴ 当时，直线与平面所成角的正弦值为。………………………（12分）

22.（1）解法一：由及正弦定理得： ………………………（1分）

    ………………………………………………（2分）

∵是边上的中线，，

…………………………………………………………（4分）

易知为锐角，

…（5分）

   ……………………………………………………………（6分）

（法二）由及正弦定理得： ………………………………………（1分）

  ………………………………………………………（2分）

在中，由正弦定理得 ……①，

在中，设，由正弦定理得……②，

①②得，  …………………………………………………………………………（4分）

易知为锐角，

……………………（5分）

   …………………………………………………………………（6分）

（法三）：由及正弦定理得： ………………………………………（1分）

设，∵AD为边上的中线，∴，

则， ………………………（2分）

    ， ………………………………………（3分）

∴，

整理得，即，

∴ 或 ， 经检验，符合题意，∴， …………（5分）

∴.  ……………………………………………………………（6分）

（2）设

∵D为BC的中点，

又E、G、F三点共线，所以，即……③…………………………（8分）

又，

由（1）知，，

化简得……④，  ………………………………………………………………（10分）

由③④，得，，  ………………………………………………………………（11分）

∴  …………………………（12分）