黑龙江省海林市朝鲜族中学2022-2023学年高二下学期第二次月考数学试卷及答案

黑龙江省海林市朝鲜族中学2022-2023学年度第二学期

高二年级数学学科第二次考试

一、单项选择题（每小题5分  共60分）

1.若则x的值为(   )

A.2        B.   4         C.  4或2         D.3

2.5名运动员争夺3项比赛冠军（每项比赛无并列冠军），获得冠军的可能种数为(   )

A. B. C. D.

3.在的展开式中，的系数是(    )

A.－80      B.－10     C.5     D.40

4.马路上有7盏路灯，晚上用时只亮三盏灯，且任意两盏亮灯不相邻，则不同的开灯方案共有(   )

A.60种 B.20种 C.10种 D.8种

5.若，且，则实数(   )

A.1或 B.1或3 C. D.1

6.如图所示，积木拼盘由A，B，C，D，E五块积木组成，若每块积木都要涂一种颜色，且为了体现拼盘的特色，相邻的区域需涂不同的颜色（如：A与B为相邻区域，A与D为不相邻区域），现有五种不同的颜色可供挑选，则不同的涂色方法的种数是(   )

A.780     B.840     C.900     D.960

7.函数f(x)的图像在x=5处的切线方程是y=-x+8,则f(5)+f'(5)等于 (　 )

A.10         B.8           C.3       D.2

8.(多选题)下列函数中,其图像在某点处的切线与直线y=x+b平行的是 (　 )

A.f(x)=  B.f(x)=x4               C.f(x)=cos x       D.f(x)=ln x

9.(多选题)下列结论中正确的是 (　 )

A.若y=cos,则y'=sin          B.若y=sin x2,则y'=2xcos x2

C.若y=ln(5x),则y'=     D.若y=e2x,则y'=e2x

10.若f(x)是可导函数,则“f'(x)>0,x∈D”是“f(x)在D内单调递增”的 (　 )

A.充分不必要条件   B.必要不充分条件   C.充要条件  D.既不充分也不必要条件

11.若函数y=x3+ax+1(a∈R)在区间(-3,-2)上单调递减,则a的取值范围是 (　 )

A.[1,+∞)  B.[-2,0)          C.(-∞,-3]  D.(-∞,-27]

12.(多选题)已知函数f(x)的导函数f'(x)的图像如图所示,则下列说法中正确的是 (　 )

A.x=1是函数f(x)的极值点    B.f(x)在区间(-2,3)上单调递减

C.函数f(x)在x=-1处取得极小值

D.f(x)的图像在x=0处的切线斜率小于零

二、填空题(每小题5分，共20分）

13.若把一句话“我爱中国”的汉字顺序写错了,则可能出现的错误共有__________种.

14.有七名同学站成一排照毕业纪念照，其中甲必须站在正中间，并且乙、丙两位同学要站在一起，则不同的站法有________．

15.的展开式中常数项为________．

16.设f(x)=xln x,若f'(x0)=2,则x0=　　　　. 

三、解答题（17题10分，其其它每小题12分，共70分）

17.4个男生，3个女生站成一排.（必须写出算式再算出结果才得分）

(1)3个女生必须排在一起，有多少种不同的排法？

(2)任何两个女生彼此不相邻，有多少种不同的排法？

(3)甲乙二人之间恰好有三个人，有多少种不同的排法？

18.若.

（1）求的值；

（2）求的值.

19.按下列要求分配6本不同的书,各有多少种不同的分配方式?

(1)分成3份,1份1本,1份2本,1份3本；

(2)甲、乙、丙三人中一人得1本，一人得2本，一人得3本；

(3)平均分成三份,每份2本；

(4)平均分配给甲、乙、丙三人,每人2本.

20.已知函数且f ' (-1)=0

(1).讨论函数的单调性；

(2).求函数在上的最大值和最小值．

21.已知函数f(x)=x3+ax2+bx-c在x= - 与x=1处都取得极值.

(1)求实数a,b的值;

(2)若对任意x∈[-1,2],不等式f(x)<c2恒成立,求实数c的取值范围.

22.已知函数f(x)=ex-ax-1.

(1)求f(x)的单调递增区间.

(2)是否存在实数a,使f(x)在(-2,3)上单调递减?若存在,求出a的取值范围;若不存在,请说明理由.

答    案

1.答案：B

2.答案：D

3.答案：A

4.答案：C    解析：根据题意,可分两步:

第一步,先安排四盏不亮的路灯.只有1种情况;

第二步,四盏不亮的路灯排好后,有5个空位,在5个空位中任意选3个,插入三盏亮的路灯,有种情况.

所以不同的开灯方案共有(种),故选C.

5.解析：因为，所以令得，所以或，解得或.故选A.

6.答案：D 解析：先涂A，则A有种涂法，再涂B，因为B与A相邻，所以B的颜色只要与A不同即可，有种涂法，同理C有种涂法，D有种涂法，E有种涂法，由分步乘法计数原理，可知不同的涂色方法种数为

7.D　[解析] 因为函数f(x)的图像在x=5处的切线方程是y=-x+8,所以f'(5)=-1,f(5)=3,所以f(5)+f'(5)=2,故选D.

8.BCD　[解析] 对于A,由f(x)=,可得f'(x)=-<0,f'(x)=无解,所以A不符合题意;对于B,由f(x)=x4,可得f'(x)=4x3,f'(x)=有解,所以B符合题意;对于C,由f(x)=cos x,可得f'(x)=-sin x,f'(x)=有解,所以C符合题意;对于D,由f(x)=ln x,可得f'(x)=,f'(x)=有解,所以D符合题意.故选BCD.

9.AB　[解析] 对于A,y'=-·'=sin,故A正确;对于B,y'=(cos x2)·(x2)'=2xcos x2,故B正确;对于C,y'=·(5x)'=,故C错误;对于D,y'=e2x·(2x)'=2e2x,故D错误.故选AB.

10.A　[解析] 由f'(x)>0,x∈D,可得f(x)在D内单调递增;由f(x)在D内单调递增,可得f'(x)≥0,x∈D,且f'(x)在D内不恒为零.所以“f'(x)>0,x∈D”是“f(x)在D内单调递增”的充分不必要条件.故选A.

11.D　[解析] ∵y=x3+ax+1(a∈R)在区间(-3,-2)上单调递减,∴y'=3x2+a≤0在区间(-3,-2)上恒成立,即a≤-3x2在区间(-3,-2)上恒成立.∵当x∈(-3,-2)时,-3x2∈(-27,-12),∴a≤-27.故选D.

12.BD　[解析] 由导函数f'(x)的图像可知,当x<-2时,f'(x)>0,当-2<x<3时,f'(x)≤0,所以f(x)在(-∞,-2)上单调递增,在(-2,3)上单调递减,故f(x)有极大值点x=-2,x=-1与x=1均不是f(x)的极值点,故A,C错误,B正确;由导函数f'(x)的图像可知f'(0)<0,从而f(x)的图像在x=0处的切线斜率小于零,故D正确.

13.答案：23

解析：“我爱中国”,这四个字的全排列有种,其中有一种是正确的,故错误的有种.故答案为: .

14.答案：解析：分三步：先排甲，有一种方法；再排乙、丙，排在甲的左边或右边各有4种方法；再排其余4人，有种方法，故共有（种）.

15.答案：-7

16.e　[解析] 依题意得f'(x)=1+ln x,所以f'(x0)=1+ln x0=2,解得x0=e.

17.答案：（Ⅰ）720；（Ⅱ）1440；（Ⅲ）720.

解析：（Ⅰ）先排3个女生作为一个元素与其余的4个元素做全排列有种.

（Ⅱ）男生排好后，5个空再插女生有种.

（Ⅲ）甲、乙先排好后，再从其余的5人中选出3人排在甲、乙之间，把排好的5个元素与最好的2个元素全排列，分步有种.

18.答案：（1）令，得，

即.

令，得，所以.

（2）令，得，由（1）知，

两式相减得，所以.

19.答案：1.无序不均匀分组问题.先选1本有种选法;再从余下的5本中选2本有种选法;最后余下的3本全选有种选法.故共有 (种)选法.
2.有序不均匀分组问题.由于甲、乙、丙是不同三人,在1题的基础上,还应考虑再分配,共有.
3.无序均匀分组问题.先分三步,则应是种选法,但是这里出现了重复.不妨记六本书为,,,,,,若第一步取了,第二步取了,第三步取了,记该种分法为(,,),则种分法中还有(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),共有种情况,而这种情况仅是,,的顺序不同,因此只能作为一种分法,故分配方式有.

4.有序均匀分组问题.在3题的基础上再分配给3个人,共有分配方式 (种).

20解析：(1)函数，

 ∴ f ' (x)=2x(x-a)+ x2-4=3x2-2ax-4  ∵f ' (-1)=0   ∴ .3+2a-4=0， 解得，.

则.，

令，解得.

由得或，此时函数单调递增，由得，此时函数单调递减，即函数的单调递增区间为，单调递减区间为.

(2)当时，函数与的变化如下表：

由表格可知：当时，函数取得极大值，

，当时，函数取得极小值，，

又，可知函数的最大值为，最小值为.

21.解:(1)因为f(x)=x3+ax2+bx-c,所以f'(x)=3x2+2ax+b.

因为函数f(x)在x=-与x=1处都取得极值,所以解得

(2)由(1)知,f'(x)=3x2-x-2=(3x+2)(x-1),f'(x),f(x)随x的变化情况如下表:

当x∈[-1,2]时,可得f(x)在上单调递增,在上单调递减,在(1,2]上单调递增,所以当x=-时,f=-c为极大值,又因为f(2)=2-c>-c,所以f(2)=2-c为f(x)在区间[-1,2]上的最大值.要使f(x)<c2对任意x∈[-1,2]恒成立,只需c2>f(2)=2-c,解得c<-2或c>1,所以c的取值范围为(-∞,-2)∪(1,+∞).

22.解:(1)∵f(x)=ex-ax-1,∴函数f(x)的定义域为R,f'(x)=ex-a.

若a≤0,则f'(x)=ex-a>0在R上恒成立,此时f(x)在R上是增函数;若a>0,则由ex-a>0,得ex>a,即x>ln a,此时f(x)的单调递增区间是(ln a,+∞).综上可知,当a≤0时,函数f(x)的单调递增区间为(-∞,+∞);当a>0时,函数f(x)的单调递增区间为(ln a,+∞).

(2)由f'(x)=ex-a≤0在(-2,3)上恒成立,得a≥ex在(-2,3)上恒成立.∵-2<x<3,∴e-2<ex<e3,故只需a≥e3,∴存在实数a∈[e3,+∞),使f(x)在(-2,3)上单调递减.