北京市人大附中2023届高三三模数学试题（含解析）

这是一份北京市人大附中2023届高三三模数学试题（含解析），共21页。试卷主要包含了单选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、单选题
1．已知复数是纯虚数，则实数（ ）
A．1B．C．D．0
2．已知集合,则（ ）
A．B．C．D．
3．已知向量，与共线，则=（ ）
A．6B．20C．D．5
4．已知函数，，则大致图象如图的函数可能是（ ）
A．B．C．D．
5．某区为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照，，…分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．若该区有40万居民，估计居民中月均用水量在的人数为（ ）
A．4.8万B．6万C．6.8万D．12万
6．二维码与生活息息相关，我们使用的二维码主要是大小的，即441个点，根据0和1的二进制编码，一共有种不同的码，假设我们1秒钟用掉1万个二维码，1万年约为秒，那么大约可以用（参考数据：，）（ ）
A．万年B．117万年C．万年D．205万年
7．若两条直线，与圆的四个交点能构成正方形，则（ ）
A．B．C．D．4
8．已知，分别为双曲线C：的左、右焦点，过作C的两条渐近线的平行线，与渐近线交于M，N两点．若，则C的离心率为（ ）
A．2B．C．D．
9．已知等比数列{}的前n项和为，则”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
10．已知数列满足：对任意的，总存在，使得，则称为“回旋数列”．以下结论中正确的个数是（ ）
①若，则为“回旋数列”；
②设为等比数列，且公比q为有理数，则为“回旋数列”；
③设为等差数列，当，时，若为“回旋数列”，则；
④若为“回旋数列”，则对任意，总存在，使得．
A．1B．2C．3D．4
二、填空题
11．已知是公比为)的等比数列，且成等差数列，则__________．
12．已知二项式的展开式中只有第4项的二项式系数最大，且展开式中项的系数为20，则实数的值为__________.
13．已知抛物线的焦点为F，过点F的直线与该抛物线交于A，B两点，，AB的中点横坐标为4，则_____________．
三、双空题
14．已知函数的部分图象如图，，则___________，___________．

四、填空题
15．若函数的图象上存在不同的两点，坐标满足关系：，则称西数与原点关联．给出下列函数：
①； ②； ③； ④．
其中与原点关联的所有函数为_____________（填上所有正确答案的序号）．
五、解答题
16．在中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，且满足．
(1)求角A的大小；
(2)试从条件①②③中选出两个作为已知，使得存在且唯一，写出你的选择___________，并以此为依据求的面积．(注：只需写出一个选定方案即可)
条件①：；条件②：；条件③：．
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
17．已知四棱锥P-ABCD的底面为梯形ABCD，且ABCD，又，AB=AD=1，CD=2，平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面PBC=．

(1)判断直线和BC的位置关系，并说明理由；
(2)若点D到平面PBC的距离为，请从下列①②中选出一个作为已知条件，求二面角B-l-D余弦值大小．
①；
②∠PAB为二面角的平面角．
18．每年8月8日为我国的全民健身日,倡导大家健康、文明、快乐的生活方式．为了激发学生的体育运动兴趣,助力全面健康成长,某中学组织全体学生开展以体育锻炼为主题的实践活动．为了解该校学生参与活动的情况,随机抽取100名学生作为样本,统计他们参加体育锻炼活动时间(单位:分钟),得到下表：
(1)从该校随机抽取1名学生,若已知抽到的是女生,估计该学生参加体育锻炼活动时间在的概率；
(2)从参加体育锻炼活动时间在和的学生中各随机抽取1人,其中初中学生的人数记为X,求随机变量X的分布列和数学期望；
(3)假设同组中每个数据用该组区间中点值代替,样本中的100名学生参加体育锻炼活动时间的平均数记为,初中、高中学生参加体育锻炼活动时间的平均数分别记为．写出一个m的值,使得(结论不要求证明)
19．椭圆E：焦距，且过点(,)，
(1)求椭圆E的标准方程和离心率，
(2)椭圆右顶点A，过(0,2)的直线交椭圆E于P，Q，其中P，Q不与顶点重合，直线AP，AQ分别与交于C，D，与x轴交点为B，当时，求直线PQ斜率．
20．设函数，其中是自然对数的底数.
(1)当时，求函数的极值.
(2)若在其定义域内为单调函数，求实数的取值范围.
(3)设，若在上至少存在一点，使得成立，求实数的取值范围.
21．有穷数列{}共m项()．其各项均为整数，任意两项均不相等．，．
(1)若{}：0，1，．求的取值范围；
(2)若，当取最小值时，求的最大值；
(3)若，，求m的所有可能取值．
性别
男
5
12
13
8
9
8
女
6
9
10
10
6
4
学段
初中
高中
m
13
12
7
5
4
参考答案：
1．A
【分析】由题意可得且，从而可求出的值
【详解】解：因为复数是纯虚数，
所以且，解得，
故选：A
2．C
【分析】分别解集合,再用集合的交集运算即可得出答案
【详解】集合,解得,
,即,解得,故,
所以
故选：C
3．C
【分析】运用平面向量共线及向量的模的坐标计算公式求解即可.
【详解】由题意知，
又，所以，所以，
所以，所以，
所以.
故选：C
4．D
【分析】由函数的奇偶性及选项逐项排除即可得到答案．
【详解】，的定义域均为，且,，
所以为奇函数，为偶函数.
由图易知其为奇函数，而与为非奇非偶函数，故排除AB.
当时，，排除C.
故选:D．
5．B
【分析】由频率分布直方图求出可得答案.
【详解】由得，
估计居民中月均用水量在的人数为万，
故选：B.
6．A
【分析】由题意估算出可用的年限，然后转化为对数形式求解即可.
【详解】由题意大约能用万年，
则，
所以，
故选：A．
7．B
【分析】由直线方程知，由题意正方形的边长等于直线、的距离，又，结合两线距离公式即可求的值.
【详解】由题设知：，要使，，，四点且构成正方形，
∴正方形的边长等于直线、的距离，则，
若圆的半径为r，，即，则，
由正方形的性质知：，
∴，即有.
故选：B.
8．C
【分析】根据二倍角公式求出，再求出离心率即可.
【详解】易知MN关于x轴对称，令，，
∴，，∴，∴．

，，，
∴，
∴．
故选: C.
9．C
【分析】利用等比数列前项和和的公式判断符号即可求解.
【详解】若公比，则当时成立；
若公比，则与符号相同
与的符号相同，故
即是的充要条件
故选:C.
10．B
【分析】利用等差数列和等比数列的通项公式和求和公式，结合题意中的“回旋数列”，对每项进行验证或者举特例即可
【详解】①由可得，
由可得，取即可，则为“回旋数列”，故①正确；
②当时，，，
由可得，故当时，很明显不成立，故不是“回旋数列，②错误”；
③是等差数列，故，，
因为数列是“回旋数列”，所以，即，
其中为非负整数，所以要保证恒为整数，
故为所有非负整数的公约数，且，所以，故③正确；
④由①可得当时，为“回旋数列”，
取，，显然不存在,使得，故④错误
故选：B
11．1
【分析】根据给定条件，利用等差数列列方程，再解方程作答.
【详解】在等比数列中，成等差数列，则，
即，而，整理得，因为，故解得
故答案为：1
12．/0.5
【分析】根据二项展开式中二项式系数的特点得到，然后利用二项式的通项列方程，解方程即可得到.
【详解】因为二项式的展开式中只有第4项的二项式系数最大，所以，二项式的通项为，令，解得， 所以展开式中项为，，解得.
故答案为：.
13．
【分析】根据抛物线定义有，结合已知即可求参数p的值.
【详解】由抛物线定义知：，而AB的中点横坐标为4，即，
所以，即.
故答案为：
14． /
【分析】由求出，由图像得，结合求解，根据函数的对称性得，再结合求得结果.
【详解】结合题意可知，，，
∵，∴，
又由图像可知，，即，解得.
又由，即，即，，
从而，故，
令，，则，
从而的对称轴为，，
由图像可知，与关于对称，即，，
因为，即，
所以．
故答案为：；##.
15．①②④
【分析】由“西数函数与原点关联”的定义可知函数f（x）在其图象上存在不同的两点，使得、共线，即存在点A、B与点O共线，结合4个函数的图象分别判断即可.
【详解】设，则，
由题意可知，即，即，
所以，又，
所以，即共线，亦即三点共线，
也即存在过原点的直线与函数的图象有两个不同的交点，称为西数函数与原点关联.
对于①，易知函数经过原点，且图象关于原点对称，存在点A、B与点O三点共线，故①是与原点关联的函数；
对于②，设过原点的直线为，作出函数与的图象，如图，
所以存在实数k使得直线与函数图象在R上有3个交点，
即存在点A、B与点O三点共线，故②是与原点关联的函数；
对于③，设过原点的直线为，作出函数与的图象，如图，
所以存在实数k使得直线与函数图象在上有1个交点，
即不存在点A、B与点O三点共线，故③不是与原点关联的函数；
对于④，设过原点的直线为，作出函数与的图象，如图，
所以存在实数k使得直线与函数图象在上有2个交点，
即存在点A、B与点O三点共线，故④是与原点关联的函数；
故答案为：①②④.
【点睛】关键点睛：本题主要考查函数的性质，理解新定义的本质是求解的关键.
16．(1)
(2)选②③不合题意；选①②，面积为；选①③，面积为
【分析】（1）利用三角恒等变换化简已知条件，从而求得的大小.
（2）首先判断选②③不合题意，然后结合正弦定理、余弦定理，计算出选①②或①③时三角形的面积.
【详解】（1），，
，，
，
由于，所以.
（2）若选②③，三个已知条件是，没有一个是具体的边长，无法确定.
若选①②，三个已知条件是，
由正弦定理得，此时存在且唯一，
，
所以；
若选①③，三个已知条件是，
由余弦定理得，
即，解得，此时存在且唯一，
所以.
17．(1)与直线相交，理由见解析
(2)
【分析】（1）由题意延长必交于一点，结合平面的基本性质证明直线即为直线，即可判断直线和BC的位置关系；
（2）根据所选的条件，确定为直角梯形，求得、分别为中点，且，应用等体积法求，最后根据二面角平面角的定义求其余弦值.
【详解】（1）由且，所以延长必交于一点，
而面，面，且，，
所以面，面，又面，面，
连接，则面面，又平面PAD∩平面PBC=，
所以，直线即为直线，如下图示，与直线相交.

（2）选①：，面PAD⊥面ABCD，面面，面，
所以面，面，则，
由，，面，故面，
由题意，为直角梯形，，易知：，
，所以，故分别为中点，且，
所以垂直平分，垂直平分，
又面，则，令，则，
所以，故，
又，故，
由，即，可得，故，
令到距离为，则，故，
由（1）知：即为，令锐二面角平面角为，则，
所以；
选②：∠PAB为二面角的平面角，易知：，，
所以为直角梯形，，易知：，
，所以，故分别为中点，且，
所以垂直平分，垂直平分，
又面，则，令，则，
所以，故，
又，故，
由，即，可得，故，
令到距离为，则，故，
由（1）知：即为，令锐二面角平面角为，则，
所以；
18．(1)
(2)分布列见解析；
(3)
【分析】（1）利用古典概型的概率公式可直接求得结果；
（2）根据相互独立事件同时发生的概率公式求解即可；
（3）补全初中段的人数表格，再分别计算关于的解析式，代入求解的范围即可.
【详解】（1）从该校随机抽取名学生，若已知抽到的是女生，
估计该学生参加体育实践活动时间在的概率为
（2）由题知,X的所有可能值为0,1,2,
参加体育实践活动时间在的学生总人数为，其中初中生人，
参加体育实践活动时间在的学生总人数为，其中初中生人，
记事件C为“从参加体育活动时间在的学生中随机抽取1人,抽到的是初中学生”,事件D为“从参加体育活动时间在的学生中随机抽取1人,抽到的是初中学生”,
由题意知,事件C,D相互独立,
且,
所以,
,
,
所以的分布列为：
故X的数学期望.
（3）根据男女生人数先补全初中学生各区间人数：
内初中生的总运动时间,
内高中生的总运动时间,
则,
,,
由可得，解得
19．(1)，离心率为
(2)所求直线斜率
【分析】（1）由焦距、点在椭圆上、椭圆参数关系列方程组求参数，即得椭圆标准方程；
（2）设直线为，联立椭圆方程，结合题设有，应用韦达定理、写出直线AP，AQ并求纵坐标，结合已知列方程求直线PQ斜率．
【详解】（1）由题设，则，故椭圆E的标准方程，
离心率.
（2）由题意，直线斜率一定存在且不为0，设直线为，
由于P，Q不与顶点重合，则，
联立椭圆并整理得，故，
综上，，
所以，，

，令，可得，
，令，可得，
若，则，
所以，故，此时；
若，则，
所以，故，此时无解；
综上，.
【点睛】关键点点睛：第二问，注意直线斜率，设其方程联立椭圆，应用韦达定理，再求出纵坐标，最后结合已知求参数.
20．(1)函数的极大值为，极小值为；
(2)或；
(3).
【分析】（1）利用导数来判断函数的单调区间，即可求函数的极值；
（2）求导得，令，等价于在内满足或恒成立，因为，所以当且仅当时，，时，,进而得的取值范围．
（3）先假设存在，因为，若在，上存在实数，使得，在区间，上分别求出和的最大值和最小值，然后讨论求解．
【详解】（1）解：由已知，得，
时，．令，可得或，
函数在，，上为单调增函数，在，上为单调减函数，
所以函数的极大值为，极小值为.
函数的极大值为，极小值为.
（2）解：，
令，要使在其定义域内是单调函数，只需在内，
满足或恒成立，
当且仅当时，，时，，
因为，所以当且仅当时，，时，，
因为在内有，当且仅当即时取等号，
所以当时，，，此时在单调递增，
当时，，，此时在单调递减，
综上，的取值范围为或．
（3）解：，在，上是减函数，
时，；时，，即，.
①时，由（2）知在，递减（1），不合题意.
②时，由，，
不合题意
③时，由（1）知在，上是增函数，故只需，
，，而（e），，
，解得．
故的取值范围为，．
21．(1)且
(2)
(3)
【分析】（1）根据定义有，即可求范围；
（2）首先确定中的前5项为，再根据定义及绝对值的几何意义求最大值；
（3）根据分析的元素分布，讨论m研究数列，进而确定数列元素，结合题设判断数列存在性，即可得结果．
【详解】（1）由题设，则，即或，
所以或，任意两项均不相等，故、，
故的取值范围且；
（2）由{}各项均为整数，任意两项均不相等，要使最小，即尽量小，
则，故中的前5项为，
要使最大，即最大，
而，则
不妨令，只需依次使取到最大，
要使最大，则；
要使最大，则；
要使最大，则，故；
此时，
综上，.
（3）对于，则的最小值为，而，
由，且，
所以有如下情况：①最后一项为3，前面各项都为1；②最后两项为2，前面各项都为1；
，数列不可能出现3，或同时出现两个2，排除；
，数列为，对应数列为，故存在满足题设的情况；
，以下过程中，
若存在满足①的数列元素依次为，
令数列前4项为，则第5项为（存在重复项，舍）或，
而第5项为，不满足题设；
若存在满足②的数列元素依次为，
令数列前3项为，则第4项为（存在重复项，舍）或，
第4项为，则第5项为（存在重复项，舍）或，而不满足题设；
同上讨论，时不可能存在满足题设的数列；
综上，.
【点睛】关键点睛：第二、三问，根据、约束条件及定义，结合绝对值的几何意义确定的最值、元素分布.
性别
男
5
12
13
8
9
8
女
6
9
10
10
6
4
学段
初中
8
11
11
10
8
高中
m
13
12
7
5
4