2022-2023学年广东省湛江市雷州市六校联考九年级（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年广东省湛江市雷州市六校联考九年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  在实数，，，，，中无理数有(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

3.  下列式子正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  如图，是直径，，则为(    )

A.
B.
C.
D.

5.  在数据的分析章节测试中，“勇往直前”学习小组位同学的平均成绩是，其个人成绩分别是，，，，，，则这组数据的中位数和众数分别是(    )

A. ， B. ， C. ， D. ，

6.  如图，数轴上的点，分别对应有理数，，下列结论正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

7.  将一块三角板和一块直尺如图放置，若，则的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

8.  关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

9.  某滑梯示意图及部分数据如图所示若，则的长为(    )

A.  B.  C.  D.

10.  如图是二次函数图象的一部分，其对称轴是，且过点，下列说法：；；；若，是抛物线上两点，则，其中说法正确的是(    )

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11.  计算： ______ ．

12.  分解因式：          ．

13.  一个多边形的内角和等于，这个多边形是______边形．

14.  已知张强家、体育场、文具店在同一直线上，如图的图象反映的过程是：张强从家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后又走到文具店去买笔，然后散步走回家图中表示时间，表示张强离家的距离，则下列结论不正确的是______ ．
张强从家到体育场用了
体育场离文具店
张强在文具店停留了
张强从文具店回家用了

15.  如图，四位同学站成一排，按图中所示规律数数，数到对应的同学是______ ．

三、解答题（本大题共8小题，共64.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.  本小题分
解不等式组：，并将其解集在数轴上表示出来．
 

17.  本小题分
如图，在中，，，
利用尺规作线段的垂直平分线，垂足为点，交于点保留作图痕迹，不写作法
求的周长．
 

18.  本小题分
某校为了解九年级学生对新冠肺炎防控知识的掌握情况，从全校九年级学生中随机抽取部分学生作为样本进行调查．

根据图中提供的不完整信息，解答下列问题：
补全条形统计图，并求类所对应扇形的圆心角的大小；
已知类中有名女生，从类中随机抽取名同学，求抽到“一男一女”的概率．

19.  本小题分
菜农李伟种植的某蔬菜计划以每千克元的单价对外批发销售，由于部分菜农盲目扩大种植，造成该蔬菜滞销．李伟为了加快销售，减少损失，对价格经过两次下调后，以每千克元的单价对外批发销售．
求平均每次下调的百分率；
小华准备到李伟处购买吨该蔬菜，因数量多，李伟决定再给予两种优惠方案以供选择：
方案一：打九折销售；
方案二：不打折，每吨优惠现金元．
试问小华选择哪种方案更优惠，请说明理由．

20.  本小题分
如图，，是正方形的对角线上的两点，且．
求证：≌；
若，，求四边形的面积．

21.  本小题分
如图，一次函数的图象与反比例函数为常数，且的图象交于，两点．
求反比例函数的表达式；
在轴上找一点，使的值最小，求满足条件的点的坐标．

22.  本小题分
如图，四边形内接于，是的直径，平分交于点，点在延长线上，．
求证：是的切线；
求证：；
若，的面积为，求的长．

23.  本小题分
如图一所示，在平面直角坐标中，抛物线经过点、，与轴交于点，顶点为点在线段上方的抛物线上有一动点，过点作于点，作交于点．
求抛物线和直线的函数表达式．
当的周长为最大值时，求点的坐标和的周长．
若点是抛物线上的一个动点，点是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在以、、、为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意；
D、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意．
故选：．
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与原图重合．
 

2.【答案】 

【解析】解：在实数，，，，，中无理数有，，
无理数有个，
故选：．
无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．
本题考查了无理数的识别，无限不循环小数叫无理数，初中范围内常见的无理数有三类：类，如，等；开方开不尽的数，如，等；虽有规律但却是无限不循环的小数，如两个之间依次增加个，两个之间依次增加个等．
 

3.【答案】 

【解析】解：，故选项A正确，
，故选项B错误，
，故选项C错误，
，故选项D错误，
故选A．
根据各个选项中的式子可以计算出正确的结果，从而可以解答本题．
本题考查立方根、平方很、算术平方根，解答本题的关键是明确它们各自的计算方法．
 

4.【答案】 

【解析】解：，
．
故选：．
根据圆周角与圆心角的关系求出的度数．
本题考查了圆周角定理，知道同弧所对的圆周角是圆心角的一半是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：这位同学的平均成绩是，
，
解得：，
则这组数据从小到大重新排列为、、、、、，
所以这组数据的中位数为，众数为，
故选：．
先根据平均数求得的值，再将数据从小到大重新排列，继而利用中位数和众数的定义求解可得．
本题主要考查众数和中位数，解题的关键是掌握众数和中位数的定义．
 

6.【答案】 

【解析】解：由，两数在数轴上表示点的位置，可知，
，且，
，因此选项A不符合题意；
，因此选项B符合题意；
，因此选项C不符合题意；
，因此选项D不符合题意；
故选：．
由，两数在数轴上表示点的位置，可以得出、的符号和绝对值的大小，进而逐项进行判断即可．
本题考查数轴，绝对值，掌握有理数加减法法则是正确判断的前提，由，两数在数轴上表示点的位置判断、的符号和绝对值是解决问题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：如图，
由题意得：，
，
，
，
．
故选：．
根据平行线的性质，可得，再由对顶角相等可得，从而得到，根据计算求解即可．
本题主要考查了平行线的性质，对顶角相等，直角三角形两锐角互余．熟练掌握平行线的性质，直角三角形两锐角互余是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：根据题意得，
解得．
故选：．
根据判别式的意义得，然后解不等式即可．
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
 

9.【答案】 

【解析】解：，，
，
，
，
，
．
故选：．
根据，，，求解即可．
本题考查锐角三角函数的知识，解题的关键是掌握正切三角函数的运用．
 

10.【答案】 

【解析】解：抛物线开口向上，
，
抛物线对称轴为直线，
，则，所以正确；
抛物线与轴的交点在轴下方，
，
，所以正确；
时，，
，所以错误；
点离对称轴的距离与点离对称轴的距离相等，
，所以不正确．
故选A．
根据抛物线开口方向得到，根据抛物线的对称轴得，则，则可对进行判断；根据抛物线与轴的交点在轴下方得到，则，于是可对进行判断；由于时，，则得到，则可对进行判断；通过点和点离对称轴的远近对进行判断．
本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次函数，二次项系数决定抛物线的开口方向和大小，当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置：当与同号时即，对称轴在轴左；当与异号时即，对称轴在轴右．简称：左同右异抛物线与轴交于抛物线与轴交点个数：时，抛物线与轴有个交点；时，抛物线与轴有个交点；时，抛物线与轴没有交点．
 

11.【答案】 

【解析】解：原式
，
故答案为：．
代入特殊角三角函数值，化简零指数幂，然后再计算．
本题考查实数的混合运算，理解，熟记特殊角三角函数值是解题关键．
 

12.【答案】 

【解析】

【分析】
此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
原式提取，再利用平方差公式分解即可．
【解答】
解：原式，
故答案为：  

13.【答案】八 

【解析】解：设所求正边形边数为，
则，解得．
故答案为：八．
多边形的内角和可以表示成，依此列方程可求解．
本题考查根据多边形的内角和计算公式求多边形的边数，解答时要会根据公式进行正确运算、变形和数据处理．
 

14.【答案】 

【解析】解：由图象可知，张强从家到体育场用了，正确，
故不符合题意；
体育场离文具店，错误，
故符合题意；
张强在文具店停留了，正确，
故不符合题意；
张强从文具店回家用了，正确，
故不符合题意；
故答案为：．
根据图象信息进行分析判断即可．
本题考查了函数图象，从图象中获取正确的信息是解题的关键．
 

15.【答案】小吉 

【解析】解：观察可知，去掉第一个数，每个数都会回到对应同学的位置，
，
数到时对应的同学与对应的同学是同一个，即，数到对应的同学是小吉，
故答案为：小吉．
观察可知，去掉第一个数，然后每个数都会回到对应同学的位置，据此规律求解即可．
本题主要考查了数字类的规律探索，正确理解题意找到规律是解题的关键．
 

16.【答案】解：解不等式，得：，
解不等式，得：，
则不等式组的解集为，
将解集表示在数轴上如下：
 

【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

17.【答案】解：线段的垂直平分线，如图所示：


垂直平分线段，
，
的周长． 

【解析】利用尺规作出线段的垂直平分线即可；
利用线段的垂直平分线的性质即可解决问题；
本题考查作图基本作图，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
 

18.【答案】解：抽查的人数为：人，
类的人数为人，类所对应扇形的圆心角的度数为：，
补全条形统计图如下：

画树状图如图：

共有个等可能的结果，抽到“一男一女”的结果有个，
抽到“一男一女”的概率为． 

【解析】先求出调查人数，再求出类的人数，即可求解；
画树状图，共有个等可能的结果，再找出符合条件的结果数，然后由概率公式求解即可．
本题考查了条形统计图，扇形统计图，列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果，再从中选出符合事件或的结果数目，然后利用概率公式计算事件或事件的概率．
 

19.【答案】解  设平均每次下调的百分率为．
由题意，得．
解这个方程，得，不符合题意，
符合题目要求的是．
答：平均每次下调的百分率是．

小华选择方案一购买更优惠．
理由：方案一所需费用为：元，
方案二所需费用为：元．
，
小华选择方案一购买更优惠． 

【解析】设出平均每次下调的百分率，根据从元下调到元列出一元二次方程求解即可；
根据优惠方案分别求得两种方案的费用后比较即可得到结果．
本题考查了一元二次方程的应用，在解决有关增长率的问题时，注意其固定的等量关系．
 

20.【答案】证明：四边形为正方形，
，，
在和中，

≌．
解：如图，连接，交于点，
四边形是正方形，
，，，
又，
，，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形，
，
，
，
，
四边形的面积．
 

【解析】根据全等三角形的判定定理证明即可；
根据正方形的性质，菱形的判定定理和性质定理解答即可．
本题主要考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，菱形的判定和性质，熟练掌握相关性质是解答本题的关键．
证明：四边形为正方形，
，，
在和中，

≌．
解：如图，连接，交于点，
四边形是正方形，
，，，
又，
，，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形，
，
，
，
，
四边形的面积．
 

21.【答案】解：，两点在一次函数的图象上，
，，
，，
，，
点在图象上，
，
则，
反比例函数的表达式为；
如图，作点关于轴的对称点，连接，交轴于点，则点即为所求点，

设直线的解析式为，把和代入得，
则，
解得，
直线的解析式为，
当时，，解得，
点． 

【解析】根据，两点在一次函数的图象上，求出、两点坐标，代入反比例函数解析式求出答案即可；
作点关于轴的对称点，连接，交轴于点，则点即为所求点，利用待定系数法求出直线的解析式，再求出直线与轴的交点的坐标即可．
此题考查了一次函数和反比例函数交点问题，轴对称的性质等知识，数形结合和准确计算是解题的关键．
 

22.【答案】解：证明：连接，

是直径，
，
，
，
，
，，
，
，
是半径，
是的切线；
证明：，，
∽，
，
平分，
，
，，
，
，
；
作于，于，

是直径，
，
，，
，
平分，
，
，
又，
在和中，

≌，
，，
，，
，
，，
的面积为，
，
，
解得或舍去，
，
，
由勾股定理得，
∽，
，
，
由知，，
，
解得． 

【解析】本题是圆的综合题，主要考查了圆周角定理，切线的判定，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理的应用．
连接，根据，可证，则，且是半径，即可证明；
首先证明∽，得，再由，，得，则有，从而证明结论；
作于，于，证明≌，得，，根据的面积为，得，从而求出的长，再利用∽，得，则，从而解决问题．
 

23.【答案】解：抛物线经过点、，
，
解得，
抛物线的解析式为，
令，可得，
，
设直线的解析式为，则，
，
直线的解析式为；

如图一中，连接，，设，

，，
，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，，
的值最大时，的周长最大，



，
，
时，的面积最大，面积的最大值为，此时的值最大，
，
，
，
的周长的最大值，此时

存在．
理由：抛物线的解析式为，对称轴为直线，
如图二中，设，．

当为平行四边形的边时，则有，
解得或，
或，
当为平行四边形的对角线时，，
，
，
综上所述，满足条件的点的坐标为或或． 

【解析】利用待定系数法，把问题转化为方程组，求出，的值，设的解析式为，把，两点坐标代入求出，即可；
如图一中，连接，，设，证明是等腰直角三角形，求出的最大值，可得结论；
存在．如图二中，设，分两种情形：为平行四边形的边，为平行四边形的对角线，分别构建方程求解．
本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，一次函数的性质，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．