2023届高考数学二轮复习微专题2函数fx＝Asinωx＋φ中的求值问题学案

这是一份2023届高考数学二轮复习微专题2函数fx＝Asinωx＋φ中的求值问题学案，共10页。


例题1设函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ为常数，且A>0，ω>0，0<φ<π)的部分图象如图所示．
(1)求A，ω，φ的值；
(2)设θ为锐角，且f(θ)＝－eq \f(3,5)eq \r(3)，求feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(π,6)))的值．
例题2设函数f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωx－\f(π,6)))＋sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωx－\f(π,2)))，其中0<ω<3，已知feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)))＝0.
(1)求ω；
(2)将函数y＝f(x)的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再将得到的图象向左平移eq \f(π,4)个单位，得到函数y＝g(x)的图象，求g(x)在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)，\f(3π,4)))上的最小值．
变式1函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ω>0，|φ|<\f(π,2)))的图象如图所示，则ω＝__________，φ＝__________．
变式2已知函数 f(x)＝Asineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(5π,6)))(A＞0，x∈R)的最小值为－2.
(1)求f(0)；
(2)若函数f(x)的图象向左平移φ(φ＞0)个单位长度，得到的曲线关于y轴对称，求φ的最小值．
串讲1已知函数f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωx－\f(π,6)))(ω>0)，若f(0)＝－feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)))，且f(x)在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))上有且仅有三个零点，则ω的值是________________．
串讲2把函数f(x)＝sin2x的图象向右平移eq \f(φ,2)(φ>0)个单位，得到函数g(x)的图象，若g(x)≤|geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)))|对x∈R恒成立，且geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)))>g(π)，则g(x)的单调递增区间是________________．
(2018·南通三模)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(A＞0，ω＞0，|φ|≤\f(π,2)))在一个周期内的图象如图所示．已知点P(－6，0)，Q(－2，－3) 是图象上的最低点，R是图象上的最高点．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)记∠RPO＝α，∠QPO＝β(α，β均为锐角)，求tan(2α＋β)的值．
设函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(A>0，ω>0，－\f(π,2)<φ<\f(π,2)，x∈R))的部分图象如图所示．
(1)求函数y＝f(x)的解析式；
(2)当x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))时，求f(x)的取值范围．
答案：(1)f(x)＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,6)))；(2)f(x)∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\r(3)，2)).
解析：(1)由图象知，A＝2，又eq \f(T,4)＝eq \f(5π,6)－eq \f(π,3)＝eq \f(π,2)，ω>0，所以T＝2π＝eq \f(2π,ω)，得ω＝1.3分
所以f(x)＝2sin(x＋φ)，将点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)，2))代入，得eq \f(π,3)＋φ＝eq \f(π,2)＋2kπ(k∈Z)，
即φ＝eq \f(π,6)＋2kπ(k∈Z)，又－eq \f(π,2)<φ所以f(x)＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,6))).7分
当x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))时，x＋eq \f(π,6)∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,3)，\f(2π,3)))，10分
微专题2
例题1
答案：(1)A＝eq \r(3)，ω＝2，φ＝eq \f(π,3)；
(2)eq \f(12－3\r(3),10).
解析：(1)由图象，得A＝eq \r(3)，最小正周期T＝eq \f(4,3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7π,12)＋\f(π,6)))＝π，所以ω＝eq \f(2π,T)＝2，所以f(x)＝eq \r(3)sin(2x＋φ)，由feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7π,12)))＝－eq \r(3)，得2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7π,12)))＋φ＝－eq \f(π,2)＋2kπ，k∈Z，所以φ＝－eq \f(5π,3)＋2kπ，k∈Z，因为0<φ<π，所以φ＝eq \f(π,3).
(2)由f(θ)＝eq \r(3)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2θ＋\f(π,3)))＝－eq \f(3,5)eq \r(3)，得sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2θ＋\f(π,3)))＝－eq \f(3,5)，因为θ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，所以2θ＋eq \f(π,3)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)，\f(4π,3)))，
又sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2θ＋\f(π,3)))<0，所以2θ＋eq \f(π,3)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(π，\f(4π,3)))，
所以cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2θ＋\f(π,3)))
＝－eq \r(1－sin2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2θ＋\f(π,3))))＝
－eq \f(4,5)，所以feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(π,6)))＝
eq \r(3)sin2θ＝
eq \r(3)sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2θ＋\f(π,3)))－\f(π,3)))＝
eq \r(3)eq \b\lc\[(\a\vs4\al\c1(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2θ＋\f(π,3)))))eq \b\lc\ (\a\vs4\al\c1(cs\f(π,3)－))
eq \b\lc\ \rc\](\a\vs4\al\c1(cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2θ＋\f(π,3)))sin\f(π,3)))＝
eq \r(3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,5)×\f(1,2)＋\f(4,5)×\f(\r(3),2)))＝eq \f(12－3\r(3),10).
例题2
答案：(1)ω＝2；(2)－eq \f(3,2).
解析：(1)因为f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωx－\f(π,6)))＋
sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωx－\f(π,2)))，所以f(x)＝eq \f(\r(3),2)sinωx－eq \f(1,2)csωx－csωx＝eq \f(\r(3),2)sinωx－eq \f(3,2)csωx
＝eq \r(3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)sinωx－\f(\r(3),2)csωx))＝eq \r(3)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωx－\f(π,3))).由题设知feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)))＝0，所以eq \f(ωπ,6)－eq \f(π,3)＝kπ，k∈Z，解得ω＝6k＋2，k∈Z，又0<ω<3，所以ω＝2.
(2)由(1)得f(x)＝
eq \r(3)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))，所以g(x)＝eq \r(3)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,4)－\f(π,3)))
＝eq \r(3)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,12)))，因为－eq \f(π,4)≤x≤eq \f(3π,4)，所以－eq \f(π,3)≤x－eq \f(π,12)≤eq \f(2π,3)，当x－eq \f(π,12)＝－eq \f(π,3)，
即x＝－eq \f(π,4)时，g(x)取得最小值－eq \f(3,2).
变式联想
变式1
答案：2；eq \f(π,6).
解析：由题意得，T＝π＝eq \f(2π,ω)ω＝2，又因为f(0)＝2sinφ＝1sinφ＝eq \f(1,2)，又|φ|变式2
答案：(1)1；(2)eq \f(π,3).
解析：(1)因为函数f(x)＝
Asineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(5π,6)))(A＞0，x∈R)的最小值为－2，所以A＝2，f(x)＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(5π,6)))，所以f(0)＝2sineq \f(5π,6)＝1.
(2)函数f(x)的图象向左平移 φ(φ＞0)个单位长度，得y＝2sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2（x＋φ）＋\f(5π,6)))，因为y＝2sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2（x＋φ）＋\f(5π,6)))的图象关于y轴对称，所以2(0＋φ)＋eq \f(5π,6)＝eq \f(π,2)＋kπ，k∈Z，解得φ＝－eq \f(π,6)＋eq \f(kπ,2)，k∈Z，因为φ＞0，所以φ的最小值为eq \f(π,3).
点拨：本题及变式重点考查三角函数的图象变换，要注意以下几点：
(1)首先要化为y＝Asin(ωx＋φ)＋B的形式，将不同名函数转化为同名函数；另外，在进行图象变换时，提倡先平移后伸缩，若先伸缩后平移，则要注意平移的单位，即无论哪种变换，每一个变换总是对自变量而言．
(2)根据平移后的函数解析式以及y＝sinx，y＝csx奇偶性进行判断若平移后解析式为
y＝sin(ωx＋φ)，φ＝
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(kπ＋\f(π,2) （平移后为偶函数）；,kπ （平移后为奇函数）；))
若平移后解析式为y＝cs(ωx＋φ)，φ＝
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(kπ＋\f(π,2) （平移后为奇函数）；,kπ （平移后为偶函数）.))
串讲激活
串讲1
答案：eq \f(14,3).
解析：由f(0)＝－feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)))得eq \f(π,2)ω－eq \f(π,6)＝2kπ＋eq \f(π,6)或eq \f(π,2)ω－eq \f(π,6)＝2kπ＋eq \f(5π,6)(k∈Z)，即ω＝4k＋eq \f(2,3)或ω＝4k＋2，k∈Z，因为函数在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))上有且仅有三个零点，所以T串讲2
答案：eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(kπ＋\f(π,6)，kπ＋\f(2π,3)))(k∈Z)．
解析：由题意g(x)＝sin(2x－φ)，且geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)))为函数g(x)的最大值或最小值，故2×eq \f(π,6)－φ＝kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)，即φ＝－kπ－eq \f(π,6)(k∈Z)，又geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)))>g(π)，即sin(π－φ)>sin(2π－φ)，故sinφ>0，不妨取k＝－1，φ＝eq \f(5π,6)，满足sinφ>0.令2kπ－eq \f(π,2)≤2x－eq \f(5π,6)≤2kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)，得kπ＋eq \f(π,6)≤x≤kπ＋eq \f(2π,3)(k∈Z)，则g(x)的单调递增区间是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(kπ＋\f(π,6)，kπ＋\f(2π,3)))(k∈Z)．
新题在线
答案：(1)f(x)＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,8)x－\f(π,4)))；
(2)eq \f(77,36).
解析：(1)因为图象在一个周期内的最低点为Q(－2，－3)，与x轴的交点为P(－6，0)，所以A＝3，T＝4×(－2＋6)＝16.又T＝eq \f(2π,ω)，
所以ω＝eq \f(π,8)，所以
f(x)＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,8)＋φ)).
将点Q(－2，－3)代入，
得－3＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2×\f(π,8)＋φ))，
所以－eq \f(π,4)＋φ＝－eq \f(π,2)＋2kπ，
k∈Z，所以φ＝－eq \f(π,4)＋2kπ，
k∈Z，又|φ|≤eq \f(π,2)，
所以φ＝－eq \f(π,4)，所以
f(x)＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,8)x－\f(π,4))).
函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)中基本量的计算是研究函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)性质的基础，在历年大市模拟中以及高考中均以中低档题的形式出现，要求做到熟练应用.