2023届高考数学二轮复习微专题4三角形中的面积问题学案

这是一份2023届高考数学二轮复习微专题4三角形中的面积问题学案，共7页。

例题：(2018·苏州调研测试三)已知△ABC中，若角A，B，C对应的边分别为a，b，c，满足a＋eq \f(1,a)＋4csC＝0，b＝1.
(1)若△ABC的面积为eq \f(\r(3),2)，求a；
(2)若A＝eq \f(π,6)，求△ABC的面积．
变式1在△ABC中，若角A，B，C对应的边分别为a，b，c，已知b＋c＝2acsB.
(1)若a＝2，B＝eq \f(π,12)，试求△ABC的面积；
(2)若△ABC中的面积S＝eq \f(a2,4)，求角A的大小．
变式2已知在△ABC中，若角A，B，C对应的边分别为a，b，c，满足c＋a＝2b，5(c－a)＝2b.
(1)若△ABC的面积为eq \f(15\r(7),4)，求a的值；
(2)若a＝eq \f(3\r(7),sinC)，求△ABC的面积．
串讲1(2018·北京西城模拟)在△ABC中，设角A，B，C对应的边分别为a，b，c，已知eq \r(3)a·sinC＝c·sin2A.
(1)求∠A的大小；
(2)若a＝eq \r(7)，b＝2eq \r(3)，求△ABC的面积．
串讲2(2018·苏州期中)设△ABC角A，B，C对应的边分别为a，b，c，D为AB的中点，若b＝acsC＋csinA且CD＝eq \r(2)，则△ABC的面积最大值为________________．
(2018·全国Ⅲ卷改编)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC的面积为eq \f(a2＋b2－c2,4)，则C＝________________．
(2018·苏北四市)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且csA＝eq \f(3,5)，tan(B－A)＝eq \f(1,3).
(1)求tanB的值；
(2)若c＝13，求△ABC的面积．
答案：(1)3；(2)78.
解析：(1)在△ABC中，由csA＝eq \f(3,5)，得A为锐角，所以sinA＝eq \r(1－cs2A)＝eq \f(4,5)，
所以tanA＝eq \f(sinA,csA)＝eq \f(4,3)，2分
所以tanB＝tan[(B－A)＋A]＝eq \f(tan（B－A）＋tanA,1－tan（B－A）·tanA).＝eq \f(\f(1,3)＋\f(4,3),1－\f(1,3)×\f(4,3))＝3.6分
(2)在三角形ABC中，由tanB＝3，所以sinB＝eq \f(3\r(10),10)，csB＝eq \f(\r(10),10)，8分
由sinC＝sin(A＋B)＝sinAcsB＋csAsinB＝eq \f(13\r(10),50)，10分
由正弦定理eq \f(b,sinB)＝eq \f(c,sinC)，得b＝eq \f(csinB,sinC)＝eq \f(13×\f(3\r(10),10),\f(13\r(10),50))＝15，12分
微专题4
例题
答案：(1)eq \r(7)；(2)eq \f(\r(3),2)或eq \f(\r(3),4).
解法1(1)由S＝eq \f(1,2)absinC＝eq \f(1,2)asinC＝eq \f(\r(3),2)得asinC＝eq \r(3)，即sinC＝eq \f(\r(3),a).又a＋eq \f(1,a)＝－4csC，那么(a＋eq \f(1,a))2＝16cs2C＝16(1－sin2C)＝16－eq \f(48,a2)，即a4－14a2＋49＝0，得到a2＝7，即有a＝eq \r(7).
(2)由题意有a＋eq \f(1,a)＝－4csC及余弦定理csC＝eq \f(a2＋b2－c2,2ab)有a＋eq \f(1,a)＝－4·eq \f(a2＋b2－c2,2ab)＝
－eq \f(2（a2＋1－c2）,a)，即a2＋1＝
eq \f(2,3)c2，①
又由b2＋c2－a2＝2bccsA可知c2－a2＋1＝eq \r(3)c，②
由①②得到c2－3eq \r(3)c＋6＝0，亦即(c－eq \r(3))(c－2eq \r(3))＝0，可知c＝eq \r(3)或c＝2eq \r(3).
经检验，c＝eq \r(3)或c＝2eq \r(3)均符合题意；
那么，△ABC的面积为S＝eq \f(1,2)bcsinA＝eq \f(\r(3),2)或eq \f(\r(3),4).
解法2(1)a＋eq \f(1,a)＋4csC＝0得，
－acsC＝eq \f(1,4)(a2＋1)，①
又由S＝eq \f(1,2)absinC＝eq \f(1,2)asinC＝eq \f(\r(3),2)可得asinC＝eq \r(3)，②
由①②平方相加得a2＝eq \f(1,16)(a2＋1)2＋3，即a4－14a2＋49＝0，得到a2＝7，即有a＝eq \r(7).
(2)如图，
HC＝BC·cs∠BCH＝－acs∠BCA，由(1)HC＝eq \f(1,4)(a2＋1)，在Rt△BHA中，csA＝eq \f(\f(1,4)（a2＋1）＋1,c)＝eq \f(\r(3),2)，化简得a2＋5＝2eq \r(3)c，③
又由a＋eq \f(1,a)＋4csC＝0可得：a＋eq \f(1,a)＋eq \f(4（a2＋b2－c2）,2ab)＝0，又b＝1，所以a2＝eq \f(2,3)c2－1，④
由③④可得c2－3eq \r(3)c＋6＝0(下面同解法1 )．
变式联想
变式1
答案：(1)eq \r(3)－1；(2)eq \f(π,4)或eq \f(π,2).
解析：由b＋c＝2acsB及正弦定理得sinB＋sinC＝2sinAcsB.因为sinC＝sin(A＋B)＝sinAcsB＋csAsinB，代入化简得：sinB＝sinAcsB－csAsinB，即sinB＝sin(A－B)，因为A，B都为三角形的内角，所以B＝A－B，即A＝2B.
(1)当B＝eq \f(π,12)时，A＝eq \f(π,6)，C＝eq \f(3π,4)，由正弦定理eq \f(2,sin\f(π,6))＝eq \f(b,sin\f(π,12))，b＝4sineq \f(π,12)＝4sin(eq \f(π,4)－eq \f(π,6))＝eq \r(6)－eq \r(2)，S△ABC＝eq \f(1,2)absinC＝eq \f(1,2)×2×(eq \r(6)－eq \r(2))·sineq \f(3π,4)＝eq \r(3)－1.
(2)由S＝eq \f(a2,4)得eq \f(1,2)absinC＝eq \f(1,4)a2，即a＝2bsinC，即sinA＝2sinBsinC，因为A＝2B，所以sin2B＝2sinBsinC，即csB＝sinC，又B，C是三角形的内角，所以C＝eq \f(π,2)±B.当C＝eq \f(π,2)＋B时，B＝eq \f(π,8)，C＝eq \f(5π,8)，A＝eq \f(π,4)；当C＝eq \f(π,2)－B时，B＝eq \f(π,4)，C＝eq \f(π,4)，A＝eq \f(π,2)，综上所述，A＝eq \f(π,4)或eq \f(π,2).
变式2
答案：(1)4；(2)15eq \r(7).
解析：(1)由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(c＋a＝2b，,5（c－a）＝2b，))
得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝\f(4b,5)，,c＝\f(6b,5).))所以csC＝
eq \f(a2＋b2－c2,2ab)＝
eq \f(\f(16,25)b2＋b2－\f(36,25)b2,2×\f(4,5)b×b)＝eq \f(1,8)，所以sinC＝eq \f(3\r(7),8)，由△ABC的面积为eq \f(15\r(7),4)可得eq \f(1,2)absinC＝eq \f(15\r(7),4)，于是可解得ab＝20，又a＝eq \f(4,5)b，所以a＝4.
(2)由已知与(1)可知a＝eq \f(3\r(7),sinC)＝8，b＝eq \f(5,4)a＝10，所以△ABC的面积为eq \f(1,2)absinC＝eq \f(1,2)×8×10×eq \f(3\r(7),8)＝15eq \r(7).
串讲激活
串讲1
答案：(1)eq \f(π,6)；(2)eq \f(\r(3),2)或eq \f(5\r(3),2).
解析：(1)因为eq \r(3)a·sinC＝c·sin2A，所以eq \r(3)·eq \f(a,c)·sinC＝2sinAcsA.在△ABC中，由正弦定理得eq \r(3)·eq \f(sinA,sinC)·sinC＝2sinAcsA，所以csA＝eq \f(\r(3),2).因为0