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    2023届高考数学二轮复习微专题20圆锥曲线的离心率问题学案

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    这是一份2023届高考数学二轮复习微专题20圆锥曲线的离心率问题学案,共8页。


    例题1设F为双曲线E:eq \f(x2,a2)-eq \f(y2,b2)=1(a>0,b>0)的左焦点.过点F的直线L与双曲线右支交点P,与圆O:x2+y2=a2恰好切于线段PF的中点M,则双曲线E的离心率为________________.
    例题2设双曲线eq \f(x2,a2)-eq \f(y2,b2)=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,点P在双曲线的右支上,且PF1=4PF2,则此双曲线离心率的取值范围为________________.
    变式1如图,已知F1,F2是椭圆C:eq \f(x2,a2)+eq \f(y2,b2)=1(a>b>0)的左、右焦点,点P在椭圆C上,线段PF2与圆x2+y2=b2相切于点Q,且点Q为线段PF2的中点,则椭圆C的离心率为________________.
    变式2如图,椭圆C:eq \f(x2,a2)+eq \f(y2,b2)=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F2的直线交椭圆于P,Q两点,且PQ⊥PF1.若PF1=PQ,求椭圆C的离心率e.
    串讲1设F1,F2是椭圆E:eq \f(x2,a2)+eq \f(y2,b2)=1(a>b>0)的左、右焦点,若在右准线上存在点P,使线段PF1的中线过点F2,则椭圆E的离心率e的取值范围是________________.
    串讲2如图,在平面直角坐标系xOy中,F是椭圆eq \f(x2,a2)+eq \f(y2,b2)=1(a>b>0)的右焦点,直线y=eq \f(b,2)与椭圆交于B,C两点,且∠BFC=90°,则该椭圆的离心率是________________.
    (2018·全国Ⅲ卷)设F1,F2是双曲线C:eq \f(x2,a2)-eq \f(y2,b2)=1(a>0,b>0)的左、右焦点,O是坐标原点.过F2作C的一条渐近线的垂线,垂足为P.若|PF1|=eq \r(6)|OP|,则C的离心率为________________.
    已知椭圆eq \f(x2,a2)+eq \f(b2,b2)=1(a>b>0)左焦点F1和右焦点F2,上顶点A,线段AF2的中垂线交椭圆于点B,若左焦点F1在线段AB上,求椭圆的离心率.
    答案:eq \f(\r(3),3).
    解法1由题意可知AB=BF2,1分
    设BF1=x,则BF1+BF2=x+x+a=2a,得x=eq \f(a,2),3分
    故eq \(AF1,\s\up6(→))=2eq \(F1B,\s\up6(→))易得B(-eq \f(3,2)c,-eq \f(b,2)),6分
    代入椭圆方程可得e=eq \f(\r(3),3).8分
    解法2(关键步提示)直线AF1:eq \f(x,-c)+eq \f(y,b)=1与AF2中垂线y-eq \f(b,2)=eq \f(c,b)(x-eq \f(c,2))2分
    的交点B(eq \f(a2c,2(c2-b2)),b(1+eq \f(a2,2(c2-b2))))代入椭圆方程,5分
    微专题20
    例题1
    答案:eq \r(5).
    解析:设双曲线的右焦点为F2,连接PF2,因为OM为△FPF2的中位线,所以PF2=2a,PF=PF2+2a=4a,又因为OM⊥PF,所以PF2⊥PF,在△FPF2中,由勾股定理得(2c)2=(2a)2+(4a)2,所以离心率为eq \r(5).
    例题2
    答案:eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(1,\f(5,3))).
    解析:PF1-PF2=2a,得PF2=eq \f(2,3)a≥c-a,又因为e>1,所以双曲线的离心率的取值范围为eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(1,\f(5,3))).
    变式联想
    变式1
    答案:eq \f(\r(5),3).
    解析:连接PF1,OQ,因为OQ为△F1PF2的中位线,所以PF1=2b.
    PF2=2a-2b,又因为OQ⊥PF2,所以PF1⊥PF2,在△F1PF2中,由勾股定理得(2b)2+(2a-2b)2=(2c)2,消去c2得2b2+a2-2ab=a2-b2,得3b=2a,所以e=eq \f(c,a)=eq \f(\r(5),3).
    变式2
    答案:eq \r(6)-eq \r(3).
    解析:连接F1Q.从而有PF1+PQ+PF2=4a,因为PF1=PQ且PF1⊥PQ,所以PF1=eq \f(4a,2+\r(2))=4a-2eq \r(2)a,PF2=2eq \r(2)a-2a,因为△PF1F2为直角三角形,PF12+PF22=F1F22,(4a-2eq \r(2)a)2+(2eq \r(2)a-2a)2=4c2,所以(2a-eq \r(2)a)2+(eq \r(2)a-a)2=c2,e2=(2-eq \r(2))2+(eq \r(2)-1)2,e2=3(eq \r(2)-1)2,椭圆C的离心率e=eq \r(6)-eq \r(3).
    串讲激活
    串讲1
    答案:eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),3),1)).
    解析:如图,由题意知,PF2=F1F2=
    2c,又PF2≥AF2=eq \f(a2,c)-c,
    2c≥eq \f(a2,c)-c,又0<e<1,所以,eq \f(\r(3),3)≤e<1,椭圆E的离心率e的取值范围是eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),3),1)).
    串讲2
    答案:eq \f(\r(6),3).
    解析:F(c,0),直线y=eq \f(b,2)与椭圆方程联立可得Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-\f(\r(3)a,2),\f(b,2))),Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3)a,2),\f(b,2))),由∠BFC=90°可得eq \(CF,\s\up6(→))·eq \(BF,\s\up6(→))=0,eq \(BF,\s\up6(→))=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(c+\f(\r(3)a,2),-\f(b,2))),eq \(CF,\s\up6(→))=
    eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(c-\f(\r(3)a,2),-\f(b,2))),则c2-eq \f(3,4)a2+eq \f(1,4)b2=0,由b2=a2-c2可得,eq \f(3,4)c2=eq \f(1,2)a2,则e=eq \f(c,a)=eq \r(\f(2,3))=eq \f(\r(6),3).
    新题在线
    答案:eq \r(3).
    解析:不妨设一条渐近线为y=eq \f(b,a)x,直线PF2:y=-eq \f(a,b)(x-c),联立解得P(eq \f(a2,c),eq \f(ab,c)),由PF12=6OP2得(eq \f(a2,c)+c)2+eq \f(a2b2,c2)=6a2,消去b2得c2=3a2,所以离心率为eq \r(3).
    离心率问题是考查重点.每年高考中几乎是必考内容.不仅填空题经常考查,也经常在大题中出现,本专题着重研究圆锥曲线的离心率问题.
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