2023届高考数学二轮复习微专题42线性约束条件下的非线性目标函数取值范围问题学案

这是一份2023届高考数学二轮复习微专题42线性约束条件下的非线性目标函数取值范围问题学案，共7页。

例题1(2018·扬州一模)若实数x，y满足eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x≤4，,y≤3，,3x＋4y≥12，))则x2＋y2的取值范围是________________．
例题2(2018·苏锡常镇一模)若二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)在区间[1，2]上有两个不同的零点，则eq \f(f（1）,a)的取值范围为________________．
变式1若实数a，b，c，d满足eq \f(a2－2lna,b)＝eq \f(3c－4,d)＝1，则(a－c)2＋(b－d)2的最小值是________________．
变式2若关于x的方程x2－(a2＋b2－6b)x＋a2＋b2＋2a－4b＋1＝0的两根x1，x2满足x1≤0≤x2≤1，则a2＋b2＋4a的取值范围为________________．
串讲1已知实数x，y满足不等式|x|＋|y|≤1，则z＝eq \f(y－2,x－2)的最大值为________________．
串讲2已知P(x，y)的坐标满足eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\r(3)x－y＜0，,x－\r(3)y＋2＜0，,y≥0，))则eq \f(\r(3)x＋y,2\r(x2＋y2))的取值范围为________________．
已知实数x，y满足约束条件eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x－y≤0，,x＋y－5≥0，,y－3≤0，))若不等式m(x2＋y2)≤(x＋y)2恒成立，则实数m的最大值是________________．
在平面直角坐标系xOy中，若动点P(a，b)到直线l1：y＝x，l2：y＝－x＋1的距离分别为d1，d2，且满足d1＋2d2＝2eq \r(2)，求a2＋b2的最大值为________．
答案：eq \f(17,2).
解法1如图，可求得Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(1,2)))，∴OA＝eq \f(\r(2),2)，3分
当点P在l2上方时，a2＋b2＝eq \(OP,\s\up6(→))2＝d12＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)＋d2))eq \s\up12(2)＝
eq \f(5,4)d12－eq \f(3\r(2),2)d1＋eq \f(9,2)，6分
∵d1∈[0，2eq \r(2)]，且eq \f(\f(2\r(3),2),2×\f(5,4))＝eq \f(3\r(2),5)