山东师范大学附属中学2023届九年级模拟检测（二）数学试卷（含解析）

2023年模拟测试数学试题（二）

一、选择题（共40分，每题4分）

1．的绝对值是（　　）

A．2 B． C． D．

2．年十三届全国人大五次会议审议通过的政府工作报告中提出，今年城镇新增就业目标为人以上．数据用科学记数法表示应为（       ）

A． B． C． D．

3．如图所示三棱柱的主视图是（       ）

A． B． C． D．

4．如图，平行线，被直线所截，平分，若，则的度数是（       ）

A． B． C． D．

5．北京冬奥会和冬残奥会组委会收到来自全球的会徽设计方案共4506件，其中很多设计方案体现了对称之美．以下4幅设计方案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（       ）

A． B． C． D．

6．化简的结果是（       ）

A． B． C． D．

7．根据图像，可得关于x的不等式的解集是（       ）

A． B． C． D．

8．一次函数与反比例函数在同一坐标系中的大致图象是（       ）

A． B． 

C． D．

9．如图，在△ABC中，AB＝AC，以点C为圆心，CB长为半径画弧，交AB于点B和点D，再分别以点B，D为圆心，大于BD长为半径画弧，两弧相交于点M，作射线CM交AB于点E．若AE＝2，BE＝1，则EC的长度是（          ）

A．2 B．3 C． D．

10．定义：我们将顶点的横坐标和纵坐标互为相反数的二次函数称为“互异二次函数”．如图，在正方形中，点，点，则互异二次函数与正方形有交点时的最大值和最小值分别是（       ）

A．4，-1 B．，-1 C．4，0 D．，-1

二、填空题（共24分，每题4分）

11．因式分解：x2﹣4y2＝__．

12．分式方程的解是______．

13．“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示）．小亮随机地向大正方形内部区域投飞镖．若直角三角形两条直角边的长分别是2和1，则飞镖投到小正方形（阴影）区域的概率是_____

14．如图，以正方形ABCD的AB边向外作正六边形ABEFGH，连接DH，则∠ADH=____________°

15．A，B两地相距240 km，甲货车从A地以40km/h的速度匀速前往B地，到达B地后停止，在甲出发的同时，乙货车从B地沿同一公路匀速前往A地，到达A地后停止，两车之间的路程y（km）与甲货车出发时间x（h）之间的函数关系如图中的折线所示．其中点C的坐标是，点D的坐标是，则点E的坐标是__________．

16．如图，在菱形中，，点在边上，将沿直线翻折，得到，点的对应点是点．若，，则的长是_______．

三、解答题

17．计算：

18．解不等式组：，并写出它的正整数解．

19．如图，矩形ABCD中，点M在DC上，AM=AB，且BN⊥AM，垂足为N，证明：△ABN≌△MAD；

20．为宣传6月8日世界海洋日，某校九年级举行了主题为“珍惜海洋资源，保护海洋生物多样性”的知识竞赛活动．为了解全年级500名学生此次竞赛成绩（百分制）的情况，随机抽取了部分参赛学生的成绩进行整理、描述和分析，其中部分学生的成绩在这一组的数据为：80，89，88，81，82，87，85，83，83，87，88，86，84，83，并绘制了如下不完整的统计表和统计图（如图）．

知识竞赛成绩分组统计表

请根据图表信息解答以下问题：

(1)本次调查一共随机抽取了_____个参赛学生的成绩；

(2)表1中______；

(3)所抽取的参赛学生的成绩的中位数是______分；

(4)请你估计，该校九年级竞赛成绩达到80分以上（含80分）的学生约有多少人？

21．如图，为的直径，直线与相切于点，，垂足为，交于点，连接．

(1)求证：平分；

(2)若，，求的半径．

22．年月日是我国第个“全国消防宣传日”，该年“消防宣传月”活动的主题是“落实消防责任，防范安全风险”．为落实该主题，济南市消防大队到建东小区进行消防演习．已知，图1是一辆登高云梯消防车的实物图，图2是其工作示意图，起重臂可伸缩（），且起重臂可绕点在一定范围内转动，张角为（），转动点距离地面的高度为．

(1)当起重臂长度为，张角，求云梯消防车最高点距离地面的高度；

(2)已知该小区层高为，若某居民家突发险情，请问该消防车有效救援能达到几层？请说明理由．（结果精确到，参考数据：，，，）

23．为响应传统文化进校园的号召，某校决定从网店购买《论语》和《弟子规》两种图书以供学生课外阅读．已知两种图书的购买信息如下表：

(1)《论语》和《弟子规》每本的价格分别是多少元？

(2)若学校计划购买《论语》和《弟子规》两种图书共100本，《弟子规》的数量不超过《论语》数量的2倍．请设计出最省钱的购买方案，并求出此方案的总费用．

24．反比例函数在第一象限内的图象与的边交于点，与斜边交于点，已知点A坐标，．

(1)求m，n以及反比例函数的解析式；

(2)求的面积；

(3)设P是线段边上的点，是否存在点P，以B，C，P为顶点的三角形与相似？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．

25．（1）【问题呈现】如图1，和都是等边三角形，连接，．请判断与的数量关系：_________．

（2）【类比探究】如图2，和都是等腰直角三角形，．连接，．请写出与的数量关系：________．

（3）【拓展提升】如图3，和都是直角三角形，，且．连接，．

①求的值；

②延长交于点，交于点．求的值．

26．如图1，抛物线与轴交于点、（点在点左侧），与轴交于点，点是抛物线上一个动点，连接

(1)求抛物线的函数表达式；

(2)如图2所示，当点在直线上方运动时，连接，求四边形面积的最大值，并写出此时点坐标．

(3)若点是轴上的一个动点，点是抛物线上一动点，的横坐标为．试判断是否存在这样的点，使得以点为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．

答案

1．A

解：

故选A

2．B

解：数据用科学记数法表示应为．

故选：B.

3．C

解：三棱柱的主视图为：．

故选：C．

4．A

解：∵∠EFD＝，且FG平分∠EFD

∴∠GFD＝∠EFD＝

∵AB∥CD

∴∠EGF＝∠GFD＝

故选A

5．C

解：A、既不是轴对称图形，又不是中心对称图形，该选项不符合题意；

B、不是轴对称图形，是中心对称图形，该选项不符合题意；

C、既是轴对称图形，又是中心对称图形，该选项符合题意；

D、既不是轴对称图形，又不是中心对称图形，该选项不符合题意；

故选：C．

6．B

解：

．

故选：B．

7．D

解：根据图象可得：不等式kx＞−x＋3的解集为：x＞1．

故选：D．

8．B

一次函数与y轴交点为（0，1），A选项中一次函数与y轴交于负半轴，故错误；

B选项中，根据一次函数y随x增大而减小可判断a<0，反比例函数过一、三象限，则-a>0，即a<0，两者一致，故B选项正确；

C选项中，根据一次函数y随x增大而增大可判断a>0，反比例函数过一、三象限，则-a>0，即a<0，两者矛盾，故C选项错误；

D选项中，根据一次函数y随x增大而减小可判断a<0，反比例函数过二、四象限，则-a<0，即a>0，两者矛盾，故D选项错误；

故选：B．

9．D

由作法得CE⊥AB，则∠AEC＝90°，

AC＝AB＝BE+AE＝2+1＝3，

在Rt△ACE中，CE＝．

故选D．

10．D

解：由正方形的性质可知：B（2,2）；

若二次函数与正方形有交点,则共有以下四种情况:

当时，则当A点在抛物线上或上方时，它们有交点，此时有，

解得：；

当时，则当C点在抛物线上或下方时，它们有交点，此时有，

解得：；

当时，则当O点位于抛物线上或下方时，它们有交点，此时有，

解得：；

当时，则当O点在抛物线上或下方且B点在抛物线上或上方时，它们才有交点，此时有，

解得：；

综上可得：的最大值和最小值分别是，．

故选：D．

11．

解：x2﹣4y2＝（x+2y）（x﹣2y）．

故答案为：

12．

解：方程的两边同乘x（x-3），得

3x-9=2x，

解得x=9．

检验：把x=9代入x（x-3）=54≠0．

∴原方程的解为：x=9．

故答案为：x=9．

13．##0.2

解：由题意可得大正方形的面积为：22+12=5，小正方形的面积为12=1，所以

P（飞镖投到小正方形（阴影）区域）= .

故答案是：．

14．15

解：∵正六边形ABEFGH的内角为120°，

正方形ABCD的内角为90°，

∴∠DAH =360°-90°-120°=150°，

∵AB=AH，

∴∠ADH= ×（180°-150°）=15°，

故答案为15

15．

解：设乙货车的行驶速度为

由题意可知，图中的点D表示的是甲、乙货车相遇

点C的坐标是，点D的坐标是

此时甲、乙货车行驶的时间为，甲货车行驶的距离为，乙货车行驶的距离为

乙货车从B地前往A地所需时间为

由此可知，图中点E表示的是乙货车行驶至A地，EF段表示的是乙货车停止后，甲货车继续行驶至B地

则点E的横坐标为4，纵坐标为在乙货车停止时，甲货车行驶的距离，即

即点E的坐标为

故答案为：．

16．

解：菱形，

，，

，

，

，

，

将沿直线翻折，得到，

，，

，

，

，

，

在中，由勾股定理得：

，

故答案为：．

17．

解：原式

18．，1

解：，

解不等式①得：，

解不等式②得：，

不等式组的解集为：，

则它的正整数解为1．

19．证明：∵四边形ABCD是矩形，

∴DC∥AB，∠D=90°

∴∠DMA=∠MAB

∵BN⊥AM，

∴∠D=∠ANB=90°

又∵AM=AB

∴△ABN≌△MAD（AAS）．

20．(1)50

(2)8

(3)

(4)320人

（1）解：本次调查一共随机抽取学生：（人），

故答案为50；

（2）解：；

故答案为8；

（3）本次调查一共随机抽取50名学生，

∴中位数落在组，

将C组的数据从小到大排列：80，81，82，83，83，83，84，85，86， 87， 87，88，88，89，

∴中位数为：（分），

故答案为：．

（4）该校九年级竞赛成绩达到80分以上（含80分）的学生有：

（人），

故该校九年级竞赛成绩达到80分以上（含80分）的学生约有320人．

21.（1）证明：如图所示，连接，

∵为的切线，

∴，即，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴，

又∵，

∴，

∴，

∴平分．

（2）解：如图所示，连接，

∵，，，

∴， 且，，

∴，

∵是直径，

∴，

∵在中，，

∴，即，

∴半径为．

22．（1）解：如图所示，过点作，垂足为，过点作，垂足为，

则，，

∵，

∴，

在中，，，

∴（），

∴（），

∴云梯消防车最高点距离地面的高度为．

（2）解：该消防车能有效救援层，理由如下，

当，时，能达到最高高度，

∵，

∴，

在中，，

∴（），

∴（），

∵，

∴该消防车能有效救援层．

23．（1）解：设《论语》每本的价格为元，《弟子规》每本的价格为元，

由题意得：，

解得，符合题意，

答：《论语》每本的价格为20元，《弟子规》每本的价格为15元．

（2）解：设购买《论语》图书的数量为本，则购买《弟子规》图书的数量为本，

由题意得：，

解得，

设购买方案的总费用为元，

则，

由一次函数的性质可知，当时，随的增大而增大，

因为是正整数，

所以当时，取得最小值，最小值为，

答：最省钱的购买方案是购买《论语》图书的数量为34本，购买《弟子规》图书的数量为66本，此方案的总费用为1670元．

24．（1）解：过点E作轴，垂足为F．

∵点A坐标，点，

∴，，，

∵在中，，

∴，

∴．

∴点．

将点代入反比例函数中，

∴，

∴反比例函数为．

将点代入反比例函数中，

∴．

（2）解：设直线的解析式为，

代入、，

得，解得：，

∴直线为．

∵点，，

∴点B的横坐标为4，

将代入中，得，

∴．

∴，

过点E作，垂足为H．

∴，

∴的面积．

（3）如图2，作于，于，则，

∴，

当时，，

∴，

，

，

，

可得：，解得：，

∴点的坐标为；

如图3，当时，，

∵，，由勾股定理，，

∴，可得：，

∴，，，

，

∴，解得：，

∴点的坐标为，，

点的坐标为或，．

25．解：（1）∵和都是等边三角形，

∴，

∴，

∴在，中，

，

∴，

∴，

故答案为：．

（2）结论：或，理由如下，

∵和都是等腰直角三角形，，

∴，

∵∴，

∴，且，

∴，

∴，

∴或，

故答案为：或；

（3）①∵，，

∴，

∴，即，

∴，

设，在中，，

同理，在中，设，则，

∴，，即，

∴，

∴；

②由①得：，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

在中，

∴，

∴．

26．（1）解：∵抛物线经过点、，

∴，解得，，

∴该抛物线的表达式为．

（2）解：∵，

∴抛物线的对称轴为直线，

∵点和点关于直线对称，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

如图2，过点作轴交于点，

设所在直线的解析式为：，过点，

∴，即所在直线的解析式为：，

设，则，

∴，

∴，

∴，

∴，

∵，

∴当时，有最大值，最大值为，

∴点的坐标为．

（3）解：抛物线的表达式为，点的横坐标为，

∴，即，且，

①如图所示，四边形为平行四边形，

∴，且，

∴点的纵坐标为，，解得，，，

∴点的坐标为，

∴，

设点，

∵，

∴，则，即；

②如图所示，四边形是平行四边形，过点作轴于，过点作轴于，

∴，，，

∴，

∴，且,设，，

∴，解得，，，

当时，，即，则；当时，，即，则，

∴点的坐标为或；

③如图所示，四边形为平行四边形，

∴，，

∴设，则，

∴，即点的坐标为；

综上所示，点的坐标为或或或．