中考训练难点探究专题:相似与特殊几何图形的综合问题(选做)专项训练与解析
展开难点探究专题:相似与特殊几何图形的综合问题(选做)
——突破相似中的综合问题及含动点的解题思路
类型一 相似与特殊三角形
1.一块直角三角板ABC按如图放置,顶点A的坐标为(0,1),直角顶点C的坐标为(-3,0),∠B=30°,则点B的坐标为______________.
第1题图 第2题图
2.如图,已知△ABC、△DCE、△FEG、△HGI是4个全等的等腰三角形,底边BC、CE、EG、GI在同一直线上,且AB=2,BC=1,连接AI,交FG于点Q,则QI=________.
3.(2016·福州中考)如图,在△ABC中,AB=AC=1,BC=,在AC边上截取AD=BC,连接BD.
(1)通过计算,判断AD2与AC·CD的大小关系;
(2)求∠ABD的度数.
类型二 相似与特殊四边形
4.如图,在矩形ABCD中,E是AD边的中点,BE⊥AC,垂足为点F,连接DF,分析下列四个结论:①△AEF∽△CAB;②CF=2AF;③DF=DC.其中正确的结论有( )
A.3个 B.2个 C.1个 D.0个
第4题图 第5题图 第6题图
5.如图,△ABC和△DBC是两个具有公共边的全等三角形,AB=AC=3cm,BC=2cm.将△DBC沿射线BC平移一定的距离得到△D1B1C1,连接AC1,BD1.如果四边形ABD1C1是矩形,那么平移的距离为________cm.
6.如图,矩形ABCD中,AB=,BC=,点E在对角线BD上,且BE=1.8,连接AE并延长交DC于点F,则=________.
7.如图,在▱ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,点E、F是AD上的点,且AE=EF=FD.连接BE、BF,使它们分别与AO相交于点G、H.
(1)求EG∶BG的值;
(2)求证:AG=OG;
(3)设AG=a,GH=b,HO=c,求a∶b∶c的值.
类型三 运用相似解决几何图形中的动点问题
8.如图,在正方形ABCD中,M是BC边上的动点,N在CD上,且CN=CD,若AB=4,设BM=x,当x=________时,以A、B、M为顶点的三角形和以N、C、M为顶点的三角形相似.
第8题图 第9题图
9.如图,△ABC≌△DEF(点A、B分别与点D、E对应),AB=AC=5,BC=6,△ABC固定不动,△DEF运动,并满足点E在BC边从B向C移动(点E不与B、C重合),DE始终经过点A,EF与AC边交于点M,当△AEM是等腰三角形时,BE=________.
10.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=5cm,∠BAC=60°,动点M从点B出发,在BA边上以每秒2cm的速度向点A匀速运动,同时动点N从点C出发,在CB边上以每秒cm的速度向点B匀速运动,设运动时间为t秒(0≤t≤5),连接MN.
(1)若BM=BN,求t的值;
(2)若△MBN与△ABC相似,求t的值;
(3)当t为何值时,四边形ACNM的面积最小?并求出最小值.
11.如图,正方形ABCD的边长为3cm,P,Q分别从B,A出发沿BC,AD方向运动,P点的运动速度是1cm/秒,Q点的运动速度是2cm/秒,连接AP并过Q作QE⊥AP垂足为E.
(1)求证:△ABP∽△QEA;
(2)当运动时间t为何值时,△ABP≌△QEA?
(3)设△QEA的面积为y,用运动时间t表示△QEA的面积y(不要求考虑t的取值范围).[提示:解答(2)(3)时可不分先后]
类型四 相似中的探究型问题
12.从三角形(不是等腰三角形)一个顶点引出一条射线与对边相交,顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形,如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形,另一个与原三角形相似,我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线.
(1)如图①,在△ABC中,CD为角平分线,∠A=40°,∠B=60°,求证:CD为△ABC的完美分割线;
(2)在△ABC中,∠A=48°,CD是△ABC的完美分割线,且△ACD为等腰三角形,求∠ACB的度数;
(3)如图②,△ABC中,AC=2,BC=,CD是△ABC的完美分割线,且△ACD是以CD为底边的等腰三角形,求完美分割线CD的长.
参考答案与解析
1.(-3-,3) 解析:如图,过点B作BE⊥x轴于点E.易证△EBC∽△OCA,∴==.∵点A的坐标为(0,1),点C的坐标为(-3,0),∴OA=1,OC=3,∴AC==.在Rt△ACB中,∠B=30°,∴AB=2AC=2,∴BC==,∴=.∴BE=3,EC=,∴EO=EC+CO=+3,∴点B的坐标为(-3-,3).
2. 解析:∵△ABC、△DCE、△FEG是三个全等的等腰三角形,∴HI=AB=2,GI=BC=1,BI=4BC=4,∴==,=,∴=.又∵∠ABI=∠ABC,∴△ABI∽△CBA,∴=.∵AB=AC,∴AI=BI=4.∵∠ACB=∠FGE,∴AC∥FG,∴==,∴QI=AI=.
3.解:(1)∵AB=AC=1,BC=,∴AD=,DC=1-=.∴AD2==,AC·CD=1×=.∴AD2=AC·CD;
(2)∵AD=BC,AD2=AC·CD,∴BC2=AC·CD,即=.又∵∠C=∠C,∴△BCD∽△ABC.∴==1,∠DBC=∠A.∴DB=CB=AD.∴∠A=∠ABD,∠C=∠BDC.设∠A=x,则∠ABD=x,∠DBC=x,∠C=2x.∵∠A+∠ABC+∠C=180°,∴x+2x+2x=180°,解得x=36°,∴∠ABD=36°.
4.A 解析:过D作DM∥BE交AC于N.∵四边形ABCD是矩形,∴AD∥BC,∠ABC=90°,AD=BC.∵BE⊥AC于点F,∴∠EAC=∠ACB,∠ABC=∠AFE=90°,∴△AEF∽△CAB,故①正确;∵AD∥BC,∴△AEF∽△CBF,∴=.∵AE=AD=BC,∴=,∴CF=2AF,故②正确;∵DE∥BM,BE∥DM,∴四边形BMDE是平行四边形,∴BM=DE=BC,∴BM=CM,∴CN=NF.∵BE⊥AC于点F,DM∥BE,∴DN⊥CF,∴DF=DC,故③正确.
5.7 解析:作AE⊥BC于E,∴∠AEB=∠AEC1=90°,∴∠BAE+∠ABC=90°.∵AB=AC,BC=2,∴BE=CE=BC=1.∵四边形ABD1C1是矩形,∴∠BAC1=90°,∴∠ABC+∠AC1B=90°,∴∠BAE=∠AC1B,∴△ABE∽△C1BA,∴=.∵AB=3cm,BE=1cm,∴=,∴BC1=9cm,∴CC1=BC1-BC=9-2=7(cm),即平移的距离为7cm.
6. 解析:∵四边形ABCD是矩形,∴∠BAD=90°.∵AB=,BC=,∴BD==3.∵BE=1.8,∴DE=3-1.8=1.2.∵AB∥CD,∴=,即=,解得DF=,则CF=CD-DF=,∴==.
7.(1)解:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD=BC,AD∥BC,∴△AEG∽△CBG,∴==.∵AE=EF=FD,∴BC=AD=3AE,∴GC=3AG,GB=3EG,∴EG∶BG=1∶3;
(2)证明:∵GC=3AG(已证),∴AC=4AG,∴AO=AC=2AG,∴GO=AO-AG=AG;
(3)解:∵AE=EF=FD,∴BC=AD=3AE,AF=2AE.∵AD∥BC,∴△AFH∽△CBH,∴===,∴=,即AH=AC.∵AC=4AG,∴a=AG=AC,b=AH-AG=AC-AC=AC,c=AO-AH=AC-AC=AC,∴a∶b∶c=∶∶=5∶3∶2.
8.2或 解析:∵在正方形ABCD中,AB=4,∴AB=BC=CD=4.∵BM=x,∴CM=4-x.∵CN=CD,∴CN=1.当△ABM∽△MCN时,=,即=,解得x=2;当△ABM∽△NCM时,=,即=,解得x=.综上所述,当x=2或时,以A、B、M为顶点的三角形和以N、C、M为顶点的三角形相似.
9.1或 解析:∵∠AEF=∠B=∠C,且∠AME>∠C,∴∠AME>∠AEF,∴AE≠AM;当AE=EM时,则△ABE≌△ECM,∴CE=AB=5,∴BE=BC-EC=6-5=1.当AM=EM时,则∠MAE=∠MEA,∴∠MAE+∠BAE=∠MEA+∠CEM,即∠CAB=∠CEA.又∵∠C=∠C,∴△CAE∽△CBA,∴=,∴CE==,∴BE=6-=,∴BE=1或.
10.解:(1)在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=5,∠BAC=60°,∴∠B=30°,∴AB=2AC=10,BC=5.由题意知:BM=2t,CN=t,∴BN=5-t.∵BM=BN,∴2t=5-t,解得t==10-15;
(2)分两种情况:①当△MBN∽△ABC时,则=,即=,解得t=;②当△NBM∽△ABC时,则=,即=,解得t=.综上所述,当t=或t=时,△MBN与△ABC相似;
(3)过M作MD⊥BC于点D,则MD∥AC,∴△BMD∽△BAC,∴=,即=,解得MD=t.设四边形ACNM的面积为y,∴y=×5×5-(5-t)·t=t2-t+=+.∴根据二次函数的性质可知,当t=时,y的值最小.此时,y最小=.
11.(1)证明:∵四边形ABCD为正方形,∴∠BAP+∠QAE=∠B=90°.∵QE⊥AP,∴∠QAE+∠EQA=∠AEQ=90°,∴∠BAP=∠EQA,∠B=∠AEQ,∴△ABP∽△QEA;
(2)解:∵△ABP≌△QEA,∴AP=AQ.在Rt△ABP与Rt△QEA中,根据勾股定理得AP2=32+t2,AQ2=(2t)2,即32+t2=(2t)2,解得t1=,t2=-(不符合题意,合去).即当t=时△ABP≌△QEA;
(3)解:由(1)知△ABP∽△QEA,∴=,∴=,整理得y=.
12.解:(1)如图①中,∵∠A=40°,∠B=60°,∴∠ACB=80°,∴△ABC不是等腰三角形.∵CD平分∠ACB,∴∠ACD=∠BCD=∠ACB=40°,∴∠ACD=∠A=40°,∴△ACD为等腰三角形.∵∠DCB=∠A=40°,∠CBD=∠ABC,∴△BCD∽△BAC,∴CD是△ABC的完美分割线;
(2)①当AD=CD时,如图②,∠ACD=∠A=48°,∵△BDC∽△BCA,∴∠BCD=∠A=48°,∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=96°;
②当AD=AC时,如图③,∠ACD=∠ADC==66°.∵△BDC∽△BCA,∴∠BCD=∠A=48°,∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=114°;
③当AC=CD时,如图④中,∠ADC=∠A=48°,∵△BDC∽△BCA,∴∠BCD=∠A=48°.∵∠ADC>∠BCD,矛盾,舍弃.∴∠ACB=96°或114°;
(3)由已知AC=AD=2,∵△BCD∽△BAC,∴=,设BD=x,∴()2=x(x+2).∵x>0,∴x=-1.∵△BCD∽△BAC,∴==,∴CD=×2=-.
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