2023届高考数学二轮复习思想方法与解题技巧第03讲以分析综合两法兼用解证数学问题第04讲构造函数方程不等式模型巧用结构思想解题含解析

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(1)方法上的相互依存、相互补充;
(2)过程中的互相交替、相互转化;
(3)结论在相反的推导过程中得到验证.
分析与综合是两个方向相反的思维过程的统一,其中每一个过程之所以能够进行,就是因为:分析在自身中包含着综合,综合在自身中包含着分析,对于较为复杂的数学问题的解(证)常常是分析,综合两法兼用或者是先用分析法探求解题的起点,找到起点后再用综合法叙述解题(或证明)过程.
典型例题
【例1】已知且求证:.
【分析】
本例有多种证法,可采用综合法(由因导果),也可采用分析法(执果索因).当然由条件的特点,采用三角换元结合函数的单调性也是一种好方法.若在证明过程中构造“耐而克”函数,利用“耐克”函数的单调性,则使证明“别开生面”且相对简捷,这是本例的妙思巧证.
【解析】
【证法一】
(综合法)
(在用综合法证题过程中采用拆项不易想到)
【证法二】
(分析法)欲证原不等式成立,即证.
也即证
故
将(2)式代人(1)式,得即证,
也即证或,而不可能成立,故即证.
由且,得,因此原不等式成立.
【证法三】
(三角换元结合函数单调性)令.
则
令设
当时,
.即在上为减函数,.
,当且仅当时等号成立.
【证法四】
将展开得这3个式完全类似可类比构造函数
当时,在上是减函数,
又,即,
,
即原不等式成立.
【例2】已知函数是两两不相等的正数,且成等比数列,试判断与的大小关系,并证明该结论.
【分析】
综合法和分析法各有其优缺点,分析法利于思考,综合法宜于表达,因此,在实际解题时,常常把分析法和综合法结合起来运用,先以分析法为主余求解题思路,再用综合法表述解答或证明过程.两种方法只是解题思维的切入口不同而已,有时要把分析法和综合法结合起来交替使用,才能成功.
本例的求解过程,便是先举特例猜测结论,再用分析法给出思路,最后用综合法给出证明.
取,则
,于是由猜测.
要证明,则只需证,
即证,亦即证,
展开整理得,因为,所以只要证,显然是成立的.上面从取开始到推得的过程就是分析法,下面给出的是运用综合法证明.
【解析】
.
即从而,
因为是增函数,所以
即
故.
【例3】设函数曲线在点处的切线为
(1)求;
(2)证明:.
【分析】
第问运用综合法解很简单,第问相对而言条件复杂而所证结论简单,运用综合法困难较多,运用分析法较易找到证题思路.由于函数的结构较为复杂,在进行分析法证明的过程中技巧性强,这是一道用分析法寻找解题思路的典型案例.
【解析】(1)函数的定义域为.
由题意可得,故.
(2)证法一由(1)知,
要证,即证(1)
两边同除以即证(2)(这一步很难想到)
观察(2)式的结构,不等式中有个性质完全不同的项,尝试将它们转化为同型.
当时,变量代换.用代替可得即
故只需证即证
这只需证
令则,令得
当时在区间上递减;当时,
在区间上递增,故
于是,(4)式成立,即原不等式成立.
【证法二】
,由于,要证,即证.
即证,即证
令,考察两个函数的单调性,,
所以在上单调递减,在上单调递增(如图1-3所示).
第04讲构造函数、方程、不等式模型,巧用结构思想解题
构造某种数学模型简称为模型法,而模型是一种结构,这种结构是通过对原型的形象化或模拟与抽象而来的.它的思维程式是:问题→转化为已知的数学模型→应用已知数学模型的某些特征→问题的解决,如图2-1所示.
本专题主要以例题来阐述如何根据已知条件和结论,构造函数、方程、不等式数学模型,实施转化解题.
典型例题
【例1】(1)已知,求证:;
(2)求证:.
【分析】
若所证不等式两边符合某一函数在不同自变量时的取值特征,可构造函数,利用函数的性质来证明.第问,所证不等式两边都是的结构,故可设函数为,通过函数的单调性证明;第问,所证不等式两边都是的结构,故可设函数为也可通过函数单调性证明.
【解析】
(1)证明设.
因为.
因为,所以函数在上是增函数.
所以在上是增函数,所以,即.
(2)证明观察所证不等式左、右两边,各项的式子外形结构皆相似于的形式,
构造函数.
即由于在上单调递减,因而在上单调递增.
令则有
即
【例2】(1)若求证:;
(2)已知数列是否存在正数使对一切不等式均成立.若存在,求出的最大值.若不存在,说明理由.
【分析】
第(1)问,条件即为要证则可构造二次函数则可利用二次函数的单调性结合不等式的基本性质完成证明.而第(2)问,所证不等式两边都与相关,可采用由特殊到一般的方法.先猜测的最大值,然后用数学归纳法证明,但证明过程相对烦琐,若构造函数,运用函数的有关性质解题往往可以得到简捷的解法.
【解析】
(1)证明由已知则
构造一次函数
则在内为增函数,
又,
即
(2)这样的是存在的.
设,则
所以单调递增,为的最小值.
因为恒成立,所以,所以的最大值为.
【例3】(1)已知实数满足,求证:;
(2)若,且,求证:.
【分析】
第(1)问,由条件易得构造以为两实根的方程,运用方程理论求解;第(2)问,设由条件变形并把代入,可使用及表示,构造以为两非负实根的方程.寻求等价条件求得的取值范围.
【解析】
(1)证明由条件得.由方程根与系数的关系构造以为两根的二次方程:(1)
又方程(1)有两实根,故,从而方程两根相等,即.
(2)证明,设(1)
则(2)
由(1)式及(2)式构造一元二次方程(3)
因方程(3)有两非负实根,故
解得即
【例4】已知为两相异锐角,且满足方程.
求证:.
【分析】
本例可以通过适当构造新方程来证,而构造的方程不一样,证法繁简也不一样.证法一通过构造一元二次方程结合韦达定理求证；证法二通过构造直线方程.由点到直线的距离求证.
【解析】
【证法一】
由条件移项得.
两边平方变形可得方程.
根据条件是方程的根.
由韦达定理得,,同理可得,
【证法二】
由题设知,点和点所在的直线方程是(1)
经过两点的直线方程还可以表示为,
即
由于(1)(2)表示同一条直线,因而原点到两直线距离相等.
所以即.
所以,
,所以在上单调递增,在上单调递减,所以
由于与取得最值时的值不同,因此恒成立,故原命题成立.
上面的两种证法运用的都是分析法,其中证法二突破了只构造一个辅助函数来解决问题的常规思维,构造了两个函数,一个有最小值,一个有最大值,解法巧妙,这里运用了变式处理的分析,若心中存在“模型”意识,这种构造法顺理成章.下面试着用综合法证明,困难在于变形的思路很难想到,一旦想到了反而简单.
【证法三】
易证明(当且仅当时取等号).
因为,所以,即,故(当且仅当时,取等号)
由得,即.
两边取以为底的对数,得.
所以(当且仅当时取等号)
由于(1)(2)式等号不能同时成立,两式相加,得.两边同乘以,得.