2023届高考数学二轮复习思想方法与解题技巧第11讲待定系数法换元法转换法是运用函数方程思想方法解题过程中的三大法宝第12讲联用函数方程思想方法含解析

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典型例题
【例1】设抛物线过点和.
（1）试用表示和;
（２）对于任意非零实数,抛物线都不过点,试求的值.
【分析】
对本题题意的理解是关键,什么是抛物线都不过某点呢?换一种说法是:将该点的坐标代入所给的抛物线方程,方程无实数解,所以本题体现了一种等价转换的思想以及待定系数法在研究函数与方程问题中的应用.
【解析】依题意,解得
(2),将代人,得,整理得.
由题意,关于的方程无非零实数解,
由得;由得.
故所求的值为或.
【例2】（1）已知数列中,,且,求这个数列的通项公式;
（2）已知数列中,,求通项公式.
法构造新的特殊数列,从而使问题获解;第问,一般解法是设待定系数,即由配方,得,令,解得,从而构造等差数列.当然,如果直接对递推关系变形很难看出解题者的数学核心素养.
【解析】(1)先对递推式进行变形,.即.
设,则.(1)
引人待定系数,使满足.
展开得.(2)
对照(1)式和(2)式,可得方程组解得
即数列是以为首项,3为公比的等比数列,
所以.
于是,.
（2）由条件可得.令,则数列可化为两类等差数列,其中是以为首项,为公差;是以为首项,为公差.
因此,.
所以.
故
可简化为.
【例3】设为实数,函数的最大值为.
(1)设,求的取值范围,并把表示为的函数;
(2)求;
(3)试求满足的所有实数.
D
【分析】
本例是一道苐进式的综合题,主要考查函数、方程等基础知识,考查分类与整合以及函数与方程的思想方法和综合运用数学知识分析问题、解决问题的能力,难度上循序渐进,第(1)问考查变量代换的技巧,难点在新变量范围的确定,可以有不同的方法求解;第(2)问是含参函数在区间上最大值的求法.分类与整合并结合函数单调性是解答的关键;第问实质是解方程,由于是分段的,对于方程解的讨论更要分类全面、环环相扣.正如罗素所言:“数学不仅拥有真理,而且还拥有至高的美一种冷峻而严肃的美,正像雕塑所具有的美一样……”本题的解决过程不仅能显示解题者的数学功力,也展现了“一种冷峻而严肃的美”.
【解析】(1)【解法一】 (代数法)令,要使有意义,必须即.
(1)的取值范围是,
由(1)式得,故.
【解法二】（三角换元法)令.
由于,所以,即,又
故
（2）由题意知即为函数的最大值.
注意到直线是抛物线的对称轴,故分以下几种情况讨论.
①当时,函数的图像是开口向上的一段抛物线,,知在上单调递增,.
②当时,.
③当时,函数的图像是开口向下的一段抛物线.若即,则;
若,即,则;若,即,则.综上可得:
(3)①当时,,此时.由,解得,与矛盾.
②当时,.此时.,解得与矛盾.
③当时,,此时,
所以
④当时,,此时.由即得.解得与矛盾.
⑤当时,,此时.
由即得,解得与矛盾.
(6)当时,,此时.
由即得.解得,由得.
综上可得,满足的所有实数为或.
【例4】
如图所示,设直线与椭圆相切,切点为,点是坐标原点在直线上的正投影,求的最大值和最小值.
【分析】
本例的解答分3步:第一步,求出切线的方程和直线的方程;第二步,求出点的坐标用点的坐标表示,运用两点间距离公式求得关于的函数关系式;第三步,进入求最值的流程,然而函数解析式太复杂了,可通过换元法变为基本函数求最值问题,当然新元的取值范围一定要紧紧㧓住!
【解析】设,则(点在椭圆上),切线的方程为(已知切点求䢶圆的切线方程),由得直线的方程为.联立两直线方程,求得点的坐标为
，
设,则
(由基本不等式求得).
当且仅当,即时等号成立.
函数在区间上有最大值,最小值即的最大值和最小值分别为.
第12讲 联用函数与方程思想方法
有些较为复杂的数学问题,解决它常常不止需要一种数学思想,而是多种数学思想方法的联合应用.函数与方程的思想常常和转化与化归的思想联用.特别是函数思想与方程思想就是在不断转换过程中使问题一步步获得解决.转换的途径为“函数→方程→函数”或“方程→函数→方程”,而且在转换过程中不等式知识发挥重要作用.在联用函数与方程思想解题时又常常需要借助函数图像的变换求解.
典型例题
【例1】
(1)设函数则满足的的取值范围是_________;
(2)已知,函数在区间上的最大值是5,则的取值范围是_________.
【分析】
第（1）问旨在考查分段函数与不等式的解法;第(2)问旨在考查耐克函数与绝对值函数的性质,可以结合函数图像解,也可以转化为解绝对值不等式,这三题虽是小题,但思维量颇大,值得推敲.
（1）【解法一】
当时,不等式可化为解得,又适合；
当时,不等式可化为,即,结合函数.在区间内单调递增易知不等式显然成立.适合.
综上,所求的取值范围是.
【解法二】
（根据函数性质讨论求解）
当时,恒成立,
当,即时,,
当,即时,,则不等式恒成立,
当时,.综上,所求的取值范围是.
【解法三】
(结合函数图像求解).
由图像变换可画出与的图像,如图所示.并求出交点坐标为.由图像可知,满足的解为,故所求的取值范围是
（2）【解法一】
（由极值点与区间端点综合讨论求解)
由题意可知函数的极值点为.
则解得，故的取值范围是.
【解法二】
(结合“耐克函数”在的性质讨论求解)
结合函数的图像易知,当时,,
若,则时,,显然最大值是5,适合题意;若,则当.时,由题设知应满足,解得,
又适合题意;
若,则当时,.由题设知,解得,这与矛盾.综上,的取值范围是.
【解法三】
（通过函数图像变换求解）
当时,.
，
时,的图像可由的图像向下平移个单位,然后关于轴翻折后再向上平移个单位得到..如图所示.
最多向下平移个单位,才能保证
故的取值范围是.
【解法四】
(转化为含参数绝对值不等式恒成立求解)
由题意可知函数在区间上的最大值是5,不等式在区间上恒成立,
即不等式在区间上恒成立.
即不等式组在区间上恒成立.,故的取值范围是
【例2】已知函数,当点在函数图像上时,点在函数图像上.
(1)求的表达式;
(2)若为图像上的3点,且满足的实数有且只有两个不同的值,求实数的取值范围.
【分析】
需求出.的解析式,问题便转化为一元二次方程的根的分布问题,结合二次函数的图像进行分析,转化为解相应的不等式组.
【解析】
(1)由题意,得,令,
则,并且.
(2)由,
得
于是化简得
.
问题等价于方程有且仅有两个不等的实根,记,则在上有两个不等实根的充要条件.
解得.
【例3】已知函数在区间上有最大值4和最小值1.设.
(1)求的值;
(2)不等式在上恒成立,求实数的取值范围;
(3)方程有3个不同的实数解,求实数的取值范围.
【分析】
函数是方程与不等式的“中介”,它们既有区别,又联系紧密.第(1)问,由题设所给二次函数在区间上的最值,运用待定系数法确定之值,实质是使原问题转化为解方程组问题,由于二次项系数可正可负,则又必须分类讨论;第(2)问是含参数不等式恒成立问题,通过参变分离又使问题转化为函数的最小值的求解;第(3)问是方程根的分布问题,使之转化为函数图像的交点问题,重在对问题中的变量的动态研究,通过解不等式组使问题获解.
【解析】(1).
①当时,在上单调递增,于是
②当时,在上单调递减,于是即故舍去
综上所述,.
(2)由(1)知,于是.
由,有,即在[上恒成立.
记,则在上恒成立.又(当时),故,即的取值范围是.
(3)依题意,.
于是.记,如图所示.
则有根,且或,
设,
则或即或解得.
故的取值范围是.
【例4】已知二次函数的导函数的图像与直线平行,且在
处取得极小值,设,
(1)若曲线上的点到点的距离的最小值为,求的值;
(2)如何取值时,函数存在零点,并求出零点.
【分析】
本题考查函数和方程、倒数、两点间距离公式、基本不等式、一元二次方程解的讨论等知识,考查函数与方程、化归与转化、分类与整合的数学思想方法,以及抽象概括能力、推理能力、运算求解能力和创新意识,应当看到:二次函数、一元二次方程和一元二次不等式是一个有机的整体,要深刻理解它们相互之间的关系,能用函数思想来研究方程和不等式,用方程理论探究函数图像的某种状态,而零点正是函数与方程的契合点,不等式的解法则起到桥梁的作用.
【解析】设二次函数为,
的图像与直线平行,.
又在处取得极小值,即当时,
.
（1）已知,设曲线上点的坐标为,则点到点的距离为
当且仅当时等号成立.
的最小值为
①当时,解得.
②当时,解得,故或.
（2）的零点即方程的解.
与有相同的解.
①若.
所以函数有零点.
②若的判别式.
若,此时函数有一个零点.
若
当,或时,方程有两个【解】
和,
此时函数有两个零点和.
若.
当,或时,方程无实数解,此时函数没有零点.