2023届高考数学二轮复习思想方法与解题技巧第17讲运用辅助元法巧解数学题第18讲三角换元__三角学的智慧之果含解析

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辅助元法可以把分散的条件联系起来，或者把隐含的条件显示出来，或者把条件与结论联系起来，或者变换为熟悉的形式，把繁难的计算和推理论证简化，从而达到化难为易、化繁为简、化未知为已知的目的，有利于问题的解决.换元中一定要注意新元的约束条件和整体置换策略的运用，适时补充条件以符合原未知数取值范围的要求.
辅助元法的基本步骤如下：
（1）把原问题中某个式子或某几个式子分别看成一个整体；
（2）引人新元代替这些式子，使以新元为基础的问题较为简洁易解；
（3）对以新元为基础的问题进行解答，得出结果；
（4）再代回原来的式子中求出原变量的结果.
合理运用辅助元法【分析】，可以使解题能力更上一个台阶.
典型例题
【例1】（1）解方程：；
（2）解方程：；
（3）解方程：.
【分析】通过换元化无理为有理，思考的方法是对的，但上述方程中无理式不止一个，关键要认清这些无理式之间的关系，即通过运算或变形有可能得到什么结果，第（1）问可采用平均代换，第（2）（3）问可引进两个新元，寻求两个新元之间的联系.
【解析】（1）令，则.由上述两式平方之差，有
，即.
于是，即.
从而，即，解得
经检验，是原方程的解.
（2）设，于是有方程组；
当，得：③
由①和③解得：，.
解这个方程得：
当时，适合原方程.所以原方程的解是
（3）注意到三次根式与的立方和为常数.
故可设，则.
又由原方程得，即.
从而，
.
于是是方程的两个根，解得
当时，；当时，.
经检验，都适合原方程，所以原方程的解是.
【例2】（1）解方程：；
（2）已知函数，若实数使得有实根，
求的最小值；
（3）方程的两个正数解满足，求的取值范围.
【分析】第（1）问是解指数方程，由于底数不相同，无法化为同底，故需设两个新元，再通过分解因式得两个新元之间的关系再解之.第（2）问，函数解析式中含有和，令.通过局部换元、整体处理使原问题转化为关于的二次函数.又由于有范围限制，可采用变更主元，即以为主元，得到直线方程，转化为点到直线的距离问题，解题中出现的形式，又一次局部换元（中途换元在变换过程中才能发现），在多次换元过程中，新元的范围确定非常重要.第（3）问，方程
有正根，用韦达定理使用表示，将超越式变更为关于的代数不等式，并把用表示的式子代入，即可得关于的不等式，即可求出的取值范围，整体代换在解题过程中发挥重要要作用.
【解析】（1）原方程变形为.
设，则有，
分解方程左边，则有.所以或，即或.
由，可得，解得.
由，可得，解得.
经检验，均为原方程的解.
（2）由可得
.
令，则原问题转化为方程根的讨论.
若将如视作主元，为参数，则方程变为.
为直线上一点，则.
设原点到直线的距离为.则.
再令，则（当且仅当时取等号）.
由于在上单调递增，故当时，函数取最小值，
即的最小值为.
（3）因为，所以，故或，
由韦达定理得，从而可得①
又由已知，得，即
从而有，故，
所以即
由此可得
又因为，所以②
由①②得的取值范围范为.
【例3】（1）解不等式：；
（2）解不等式：；
（3）已知，为锐角，求证：.
【分析】本例第（1）（2）两问是解无理不等式，一般将其转化为有理不等式组.若运用换元法，即抓住无理式结构，用一个变量进行代换，则立即转化为有理不等式，解之就不难了，当然在解答时，对于新元的取值范围应予以重视.第（3）问是三角不等式证明.可采用整体换提元，即令，通过寻找问题中隐含的几何意义转化为解析几何知识证明是个“好念头.”
【解析】（1）令，则，于是，原不等式可化为.
即，解得，且，即.
由此解得原不等式解集为.
（2）令，则. 于是原不等式可化为.
解得，且，即，变形为
解得或.
由此得原不等式的解集为.
（3）证明：令，
则可看成是过两点的直线的斜率，
而动点的轨迹方程为.
当直线与曲线相切时，有最小值，
设过定点且与椭圆相切的直线方程为，代人椭圆方程，得
令，得且，
于是
【例4】（1）求函数的最小值；
（2）设，求的最大值和最小值；
（3）已知，证明：，并讨论为何值时等号成立.
【分析】第(1)问，若用代数方法求解肯定较烦琐，观察本题结构，联想到与分别是复数与的模，代入即可求解.第(2)问，通过换元转化为二次函数区间最值问题.第(3)问，可通过初等函数的代换，将三角不等式的证明转化为代数不等式的证明，关键是寻找合适的代换，而万能置换正合适.
【解析】（1）设，则，.
又因为，所以.
当且仅当时取等号，此时，即.
故的最小值是.
（2）设，则，
从而时取最小值：
当时，时取最大值：；当时，时取最大值：.
的最小值为最大值为
（3）证明：令，则由知，由万能公式，原不等式可化为.
用乘上面不等式两端，问题变为证明，
展开化简，得，即.
由于以上每步可逆，故原不等式成立.等号当且仅当即，即时成立.
故当时，原不等式中等号成立.
第18讲三角换元——三角学的智慧之果
变量代换是借助于引人新变量来实现问题转化的一种【分析】，新变量的引人没有固定的形式，它依赖问题本身的结构和特点，许多代数题目都可以根据题目的特点，应用三角函数进行适当的代换，结合三角恒等式，将代数问题转化为三角问题，使问题得以简捷地获解，当然，用三角函数或三角函数式代换代数式中的变量时应由旧变量的取值范围
确定新元的取值范围．推而广之，将某一个系统中的问题对应地转化到另一个系统中去解决，这是变量代换最本质的作用．
三角换元主要用来解决如下结构的数学问题：
（1）型：可设，去求解．对的取值范围作相应限定，下同．
（2）与型：可设或去解．
（3）型：可设，去解．
（4）型：可设去解．
（5）或型：可设或去解．
（6）、型：可设，运用万能置换公式去解．
（7）型：可设，，运用两角和或差的正切公式去解．
由函数式隐含的几何意义，通过三角换元转化为运用数形结合法去解，如有些问题可在三角换元后转化为直线与二次曲线的关系问题．
典型例题
【例1】（1）求函数的最大值和最小值；
（2）求函数的值域；
（3）求函数的值域；
（4）已知，求的最值．
【分析】
无理函数的最值或值域的求法是一个难点，难在如何才能去掉根号使之成为有理函数，而三角换元借助于三角公式能实现这一转化，问题在于所给出的函数解析式常常并非一目了然地能找到三角换元的途径，需要对解析式中的被开方式实施变形，找准方向，实现三角换元．对于第（1）问中含有两个无理式，则必须找到两个无理式中被开方式的关联，一步到位实现化无理为有理、化一般代数式为三角式的目标，第（4）问是二元函数，关键在于如何由条件，实施三角换元，且要总体考虑，当然三角换元必须由条件对角的范围进行限定．在这一限定下运用三角知识，求解三角换元可使较复杂的问题简单化．
【解析】
（1）由于，故可令．
则原式变为．
当，即时，取得最大值；
当，即时，取得最小值．
（2）函数的定义域为，令，．
则．
由于，．
而当时，为减函数，此时，
当时，为增函数，此时．故函数的值域为．
（3）【解法一】
，可设．
则．
设，则，从而．
（其中，）．
，．，且，，
．故函数的值域为．
【解法二】
由解法一得，则为与点连线的斜率．
设过点的直线方程为，即，显然，当直线与半圆，相切时，，解得，数形结合易得，即．．故函数的值域为．
（4）令，，则．
又．
当，时，；
当，时，．
【例2】（1）已知实数，，满足，，则的最大值是________；
（2）对于，当非零实数，满足，且使最大时，的最小值为________．
【分析】
第（1）问，由于条件是三元等式，如何实现三角换元需要精心构思，可以有多种三角换元的方法；第（2）问，若将变形为．联想到三角公式，可令，从而求的最大值转化为三角函数求最大值．从而说明了数学是灵动的，通过思维完成构想，一旦成功何等快意，正如欧阳修的诗句：“一阅声长听不尽，轻舟短楫去如飞．
【解析】
（1）【解法一】
将代入得．
整理得，令
．则．的最大值为．
【解法二】
将代入得．
令，，代入上式得．由椭圆的参数方程
．
的最大值为．
【解法三】
由得．
令．代入得．
当时，得．
即，解得即．
的最大值为．
（2）由得．
令
则
当时，，
此时．
的最小值为．
【例3】（1）给定数列，且，求；
（2）数列，满足：，，，．求证：对任意的恒有．
用三角换元的方法求解或证明．第（1）问，由递推式的结构特点，可构造两角和的正切公式求解．第（2）问，涉及两个递推数列且所给递推式又都是无理式，若能通过巧妙的三角换元并借助当时，有可得到极其简捷的证法．三角换元的妙用常常可以达到神奇的解题效果．
【解析】
（1）由递推式的结构特点，可构造三角公式求解．
．令．
则．
，，，
而，．
（2）证明仔细观察数列，的递推关系式可以发现：，．
由此令，．则有，
从而构造三角函数得到数列是首项为，公比为的等比数列，同理可得．
利用熟悉的不等式：，则．此处，
则有．
【例4】（1）已知，且，求证：；
（2），，，均为正数，且，求证：；
（3）求证：．
（4）设，，是正实数，且，求证：．
【分析】
代数问题三角化，可以充分利用三角函数的特有性质，使较为复杂的不等式的证明问题得以简化，但要注意角的范围和三角函数的有界性．第（1）问，通过三角换元，弦化切，运用基本不等式证明；第（2）问，即使是三角换元也可以有多种证法，可以通过这些方法错炼发散思维能力，力求对突破难点有所禆益；第（3）问，所证不等式即为求函数的值域是否为，但是在运用三角换元时由于形式上不是很明朗，故必须先对被开方式进行适当变形，找到如何实施三角换元化无理为有理的途径；第（4）问，由得，其特征与两角和的正切公式相似，证明思路顿时凸现！
【解析】
（1）证明由，，，设，．
则有：
当且仅当，即．也就是，从而，时取得等号．
（2）证法一依题设，，．
．
即．
证法二由证法一题设可得：，．
，故原不等式得证．
证法三由证法一题设可得：，，
（3），，设
则，
又有，得，．
从而
故
(4) 设,
由得.