2023届高考数学二轮复习思想方法与解题技巧第29讲数形结合研究函数的性质第30讲数形结合解不等式含解析

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典型例题
【例1】（1）设a,b,c均为正数, 且2a=lg12⁡a,12b=lg12⁡b,12c=lg2⁡c, 则a,b,c从小到大的排列顺序为；
(2) 已知函数y=f(x)的反函数为y=f-1(x), 又方程f(x)+x-2=0与f-1(x)
+x-2=0的实数解分别为α与β, 则α+β的值为。
【分析】
构造相应函数解析式,作出图像,由图像比较值的大小或求相应值之和.
【解析】
（1）由题意分别画出函数y=2x,y=12x,y=lg2⁡x,y=lg⁡12x的图像,如图5-44
所示. 可得a(2) ∵α是方程f(x)=2-x的解,
∴α是两函数y=f(x)与y=2-x图像的交点A的横坐标.
同理, β是函数y=f-1(x)与y=2-x图像的交点B的横坐标.
函数y=f(x)与y=f-1(x)的图像关于直线y=x对称,
又A,B都在直线y=2-x上, 而且直线y=2-x与y=x垂直,
所以A,B两点关于直线y=x对称,即A,B两点的纵、横坐标是一种互换关系,
所以点A的坐标为(α,β), 它在直线y=2-x上,
如图5-45所示, β=2-α, 即α+β=2.
【例2】 (1) 已知函数设a∈R,若关于x的不等式在R上恒成立,则a的取值范围是（）
A. -4716,2B.-4716,3916C. [-23,2]
（2）已知函数f(x)=x(1+a|x|), 设关于x的不等式f(x+a)A, 若-12,12⊆A, 则实数a的取值范围是（）.
A. 1-52,0B.1-32,0
C. 1-52,0∪0,1+32D. -∞,1-52
【分析】
第(1)问主要考查分段函数与不等式恒成立问题,意在考查化归与转化能力、运算求解能力以及分类讨论思想,在处理含参不等式恒成立问题时,要充分利用函数的图像求解.第(2)问主要考查函数的单调性、二次函数性质,考查数形结合思想、分类讨论思想,解题的关键是将f(x)写成分段函数,再对影响图像开口方向的字母a分类讨论,结合图像将⊆A 转化为关于a的不等式,解之即得结果.
【解析】
(1) 根据题意,作出f(x)的大致图像如图5-46所示,以函数f(x)的图像之“静”制约函数图像之“动”,函数的图像可由函数的图像经过平移生成.当a<0时向右平移-2a个单位,当a>0时向左平移2a个单位,在平移过程中必须保证函数的图像始终在函数f(x)图像的“下方”(可有重合点),由图像不难发现在移动的过程中f(x)的图像的“左段”与函数的图像(折线)的左支相切是极限状态,即当x≤1时,若要恒成立,结合图像,只需,即,故对于方程,Δ=,解得a≥;当x>1时,若要恒成立,结合图像,只需即,又,当且仅当,即x=2时等号成立,∴a≤2.
综上,a的取值范围是,故选 A.
(2) 易知f(x)=ax2+x,x⩾0-ax2+x,x<0
(1) 当a>0时,作出f(x)的图像如图5-47所示, 可知f(x)单调递增,
∴f(x+a)由及图像可知：故选A。
【例3】 (1) 设非空集合 A={x∣-2⩽x⩽a},B={y∣y=2x+3, 且 x∈A},C=
z∣z=x2 且 x∈A, 若 C⊆B, 求实数 a 的取值范围;
(2) 当 x∈0,12 时不等式 2x-lga⁡x<0 恒成立,求实数 a 的取值范围.
【分析】
第(1)问,由于a为参变数,所以定义域范围是变动的,的定义域右端点x=a有3种不同的位置情况,在讨论C⊆B 时必须分类求解;第(2)问,分别作出函数及的图像,利用图像的形象性、直观性来分析解决问题.
【解析】
(1) ∵函数y=2x+3在[-2,a]上是单调递增函数,∴-1⩽y⩽2a+3, 即 B={y∣-1⩽y⩽2a+3}.
作出z=x2的图像,如图5-49所示. 该函数定义域右端点x=a有 3 种不同的位置情况：
①当 -2⩽a<0 时, a2⩽z⩽4, 即 C=z∣a2⩽z⩽4, 见图 5-49(a).
要使C⊆B, 需2a+3⩾4, 得a⩾12, 与-2⩽a<0矛盾;
②当 0⩽a⩽2 时, 0⩽z⩽4, 即 C={z∣0⩽z⩽4}, 见图 5-49(b).
要使，必须且只需解得；
③当 a>2 时, 0⩽z⩽a2, 即 C=z∣0⩽z⩽a2, 见图 5-49(c).
要使C⊆B, 必须且只需解得综上所述, a的取值范围是12,3.
(2) 要使不等式2x【例4】已知函数f(x)=13x3+12ax2+bx在区间[-1,1),(1,3]上各有一个极值点.
(1) 求a2-4b的最大值;
(2) 当a2-4b=8时,设函数y=f(x)在点A(1,f(1))处的切线为l, 若l在点A处穿过函数y=f(x)的图像(即动点在点A附近沿曲线y=f(x)运动, 经过点A时,从l的一侧进入另一侧),求函数f(x)的表达式.
【分析】
选择图像的特殊点(即三次函数的对称中心———拐点)来精心设计试题,是本题在设计上的一个创新点,解题时需要深入分析图像特征,利用导数来求解,在解题过程中有时并非一定要作图,但一定要心中有图,由函数的性质思考图像的走向,这是非常重要的数学核心素养.
【解析】
(1) 【解法一】
∵函数f(x)=13x3+12ax2+bx在区间[-1,1),(1,3]上分别有一个极值点,∴f'(x)=x2+ax+b=0在[-1,1),(1,3]上分别有一个实根, 设两实根为x1,x2x1且当x1=-1,x2=3, 即a=-2,b=-3时等号成立.
故a2-4b的最大值是 16 .
【解法二】
∵f(x)=13x3+12ax2+bx,∴f'(x)=x2+ax+b=0在[-1,1)，(1,3]上分别有一个实根, 原问题等价于f'(-1)=1-a+b⩾0,f'(1)=1+a+b<0,f'(3)=9+3a+b⩾0.作出可行域G如图5-51所示, 令S=a2-4b, 得,寻求其几何意义,可得抛物线过点A(-2,-3)时纵截距取最小值,即
(2)【解法一】
由知,f(x)在点A(1,f(1))处的切线l 的方程是y-f(1)=f'(1)(x-1),即
∵切线l在点A(1,f(1))处穿过y=f(x)的图像,
在x=1两边附近的函数值异号,则x=1不是g(x)的极值点.
而则
,
若,则x=1和x=-1-a都是g(x)的极值点,∴1=-1-a,即a=-2.又由,得
b=-1,故
【解法二】
同解法一得.
∵切线l在点A(1,f(1))处穿过y=f(x)的图像,
∴g(x)在x=1两边附近的函数值异号,于是存在,()满足:
当0;
或当0;当1设,则有以下结论:
h(x)在x=1左右两侧同号,即
当0;当10;
或当由h(1)=0结合h(x)的结构特征(抛物线开口向上)知,x=1是h(x)的一个极值点,
则,得a=-2;
又由,得b=-1,故.
第30讲数形结合解不等式
运用数形结合思想处理不等式问题,通常是从问题的条件与结论出发,着重分析其几何意义,从图形上找到解题途径. 一般有如下两种方式:一是转化,即将代数式转化为几何式,比如含参数二次绝对值不等式的最值的求法,通过作图很容易找到取得最值的特殊点,从而使问题获解;二是构造,即构造图形或函数, 比如解无理不等式,用代数法运算量大,若通过构造函数从图形解则简捷许多. 利用数形结合思想解不等式的题型还有:解指、对数不等式,与不等式有关的恒成立问题,高次整式或分式不等式以及线性规划问题.
典型例题
【例1】(1) 若不等式9-x2⩽k(x+2)-2的解集为区间[a,b], 且b-a=2, 则；
(2) 已知函数f(x)是定义在R上的奇函数, 当x⩾0时, f(x)=12x-a2+x-2a2-3a2. 若∀x∈R,f(x-1)⩽f(x), 则实数a的取值范围为 ( ).
A. -16,16在此处键入公式。B. -66,66C. -13,13D. -33,33
【分析】
第 (1) 问,设 y=9-x2(y⩾0) 与 y=k(x+2)-2, 显见直线 y=k(x+2)-2过点A(-2,-2)且k>0, 借助图形容易得出结果. 第(2)问,通过分类讨论
先求函数f(x)在[0,+∞)上的分段解析式并画出其图像, 然后根据奇函数的性质画出函
数f(x)在(-∞,0]上的图像,得到函数f(x)在R上的图像,进而将“ ∀x∈R,f(x-1)
⩽f(x) ”转化为一元二次不等式求解.
【解析】
(1) 如图5-52所示,设y=9-x2(y⩾0)与y=k(x+2)
-2, 直线y=k(x+2)-2过点A(-2,-2).不等
式9-x2⩽k(x+2)-2的解集就是图中直线在半圆
上方的部分所对应的x的集合. 这个集合为[a,b], 且
b-a=2,
∴直线不可能是图中的m, 这由-2-(-3)≠2所决
定. ∴直线就是图中的n.
在y=9-x2中, 当x=1时, y=22,∴点B的坐标为(1,22).
把x=1,y=22代人y=k(x+2)-2, 得k=2.
(2) 因为当x⩾0时, f(x)=12x-a2+x-2a2-3a2.
所以当0⩽x⩽a2时,
f(x)=12a2-x+2a2-x-3a2=-x; 当 a2【例2】设a是实数, 解关于x的不等式2x+9a2-x2>0
【分析】
原不等式化为,本题可按无理不等式求解,但如果考虑不等式两端的几何意义,则可用构造函数的方法求解,通过数形结合获得结果,这是一种值得提倡的解法,这也是高考中经常考查的数学核心能力.
【解西】原不等式可化为9a2-x2>-2x.
设 y=9a2-x2,y=-2x, 作出两个函数的图像 ( 如图 5-54 所示 ), 不等式的解集是
直线 y=-2x 在半圆 y=9a2-x2(a≠0) 下方的部分所对应的 x 的集合.
（1）当 a≠0 时,解方程 9a2-x2=-2x, 得 x1=-355|a|,x2=355|a| (舍去) ∵9a2-x2⩾0,∴-|3a|⩽x⩽|3a|. 这时原不等式的解集为 x-355a|（2）当 a=0 时, 原不等式为 2x+-x2>0. 由 -x2⩾0 得 x2⩽0.∵x2⩾0 恒成立, ∴x=0，这时原不等式为“0>0”，矛盾，∴当a=0 时,原不等式无解.
【例3】
(1) 若函数 f(x)=1x,x<0,13x,x⩾0 则不等式 |f(x)|⩾13 的解集为 ，
(2) 已知a>0,a≠1, 解不等式lga⁡4+3x-x2-lga⁡(2x-1)>lga2.
【分析】
第(1)问,由及f(x)的分段表达式,即知所求不等式的解集是以下4个不等式组的解集之并集.
①，②，③，④
若不考虑首先去掉绝对值符号,则.
这两种解法运算量都较大.第(2)问,由原不等式,得,
则当01时,不等式的解应满足运算量也较大.若两题均采用数形结合的解法,则简捷多了.
【解析】
(1)函数的图像如图5—55中的实线所示.
从而|f(x)|=-1x,x<013x,x⩾0的图像如图5-56中的实线所示. 为解不等式
|f(x)|⩾13, 须观察图像, 易解得y=13与y=|f(x)|的交点为-3,13和1,13.
故不等式|f(x)|⩾13的解集为{x∣-3⩽x⩽1}, 即[-3,1].
(2) 由原不等式得lga⁡4+3x-x2>lga⁡(4x-2),
令 y=-x2+3x+4 及 y=4x-2, 作出这两个函数的图像,其中 y=-x2+3x+
4>0 与 y=4x-2>0, 两图像的交点为 (2,6). 如图 5-57 所示, 从图像可以看出,
当 a>1 时, 应有 12 当 0∴ 原不等式的解集: 当 01 时, 为 x∣12【例4】 (1) 变量x,y满足x-4y+3⩽0,3x+5y-25⩽0,x⩾1
(1) 设z=4x-3y, 求z的最大值;
(2) 设z=yx, 求z的最小值;
(3)设 z=x2+y2, 求 z 的取值范围.
(2) 已知实数 x,y 同时满足下列条件: 2x+y-2⩾0,x-2y+4⩾0,3x-y-3⩽0,
那么x2+y2在x,y取何值时取得最大值,最小值? 最大值、最小值各是多少?
【分析】
第(1)问,挖掘代数式及的几何意义,完成符号语言与图形语言的转化,以数思形,以形辅数,准确作出可行域是关键,体现了数形结合的思想方法;第(2)问,在线性约束条件下确定可行域,设P(x,y),利用几何意义:,数形结合不难求出的最大(小)值.
【解析】
可行域如图5-58所示的阴影部分,
由 x=1,3x+5y-25=0, 解得 A1,225,
由 x=1,x-4y+3=0, 解得 C(1,1),
由x-4y+3=0,3x+5y-25=0, 解得B(5,2).
①由 z=4x-3y 得 y=43x-z3. 求 z=4x-3y
的最大值,相当于求直线 y=43x-z3 的纵截距
-z3 的最小值. 平移直线 y=43x 知, 当直线 y=43x-z3 过点 B 时, -z3 最小,
z 最大 ,∴zmax=4×5-3×2=14.
②∵z=yx=y-0x-0,∴z的值即是可行域中的点与原点连线的斜率. 观察图形可知zmin=kOB=25.
③z=x2+y2的几何意义是可行域上的点到原点O的距离的平方,结合图形可知, 可行域上的点到原点的距离中, dmin=|OC|=2,dmax=|OB|=29.∴2⩽z⩽29.
(2)不等式组表示的可行域如图5-59所示,以原点为圆心作圆,显然,当圆过点A 时,圆的半径最大,当圆与直线2x+y-2=0相切时,圆的半径最小.
解方程组得A 点坐标为(2,3).
易得原点到直线2x+y-2=0的距离d=,
并求得切点B的坐标为45,25, 故当x=2,y=3时, x2+y2有最大值, 并且最大
值为 |OA|2=13; 当 x=45,y=25 时, x2+y2 取最小值, 并且最小值为 d2=45.