2023届高考数学二轮复习思想方法与解题技巧第31讲数形结合解函数零点方程根的问题第32讲数形结合解三角问题含解析

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典型例题
【例1】(1) 已知 a>0, 函数 f(x)=x2+2ax+a,x⩽0,-x2+2ax-2a,x>0 若关于 x 的方程 f(x)=ax恰有 2 个互异的实数解,则a的取值范围是。
(2) 已知函数 f(x)=ex,x⩽0,ln⁡x,x>0,g(x)=f(x)+x+a, 若 g(x) 存在 2 个零点, 则a的取值范围是( ).
A. [-1,0)B. 0,+∞C. [-1,+∞)D. [1,+∞)
【分析】
第(1)问,主要考查函数的零点、利用零点个数求参数的取值范围,考查的核心素养是直观想象和逻辑推理.通常研究方程根的情况,可以通过构造函数,研究函数的单调性、最值、图像的变化趋势等求解.根据题目要求,画出函数图像,通过数形结合思想去分析问题,可以使问题的求解有一个清晰、直观的整体展现.本题可以针对x≤0和x>0直接构造分段函数,利用图像法求解,也可以参变分离构造函数结合导数知识及数形结合求解,第(2)问,破解此类题的关键:一是会转化,先把函数的零点问题转化为方程根的问题,再转化为两个函数图像的交点问题;二是会借形解题,即作出两函数的图像,数形结合可快速找到参数所满足的不等式,解不等式即可求出参数的取值范围.
【解析】
(1) 【解法一】
当x⩽0时, 由x2+2ax+a=ax得a=-x2-ax;
当 x>0 时, 由 -x2+2ax-2a=ax 得 a=-12x2+a2x,
令 g(x)=-x2-ax,x⩽0,-12x2+a2x,x>0 则 g(x)=-x+a22+a24,x⩽0,-12x-a22+a28,x>0
作出直线y=a与函数g(x)的图像, 如5-60(a)所示.
若f(x)=ax恰有 2 个互异的实数解,则a>a28且a∴a<8且a>4.∴4【解法二】
当x⩽0时,由x2+2ax+a=ax得a=-x2-ax;
当 x>0 时, 由 -x2+2ax-2a=ax, 得 2a=-x2+ax,
令g(x)=-x2-ax,x⩽0,-x2+ax,x>0.作出直线y=a,y=2a, 函数g(x)的图像如图5-60(b)所示,
g(x)的最大值为-a24+a22=a24.
若f(x)=ax恰有 2 个互异的实数解, 则a【解法三】
当x⩽0时,由f(x)=ax得x2+2ax+a=ax,
得x2＋ax＋a＝0，得a(x＋1)＝-x2，得a＝-x2x＋1
设g(x)＝-x2x＋1，则g'(x)＝2x(x＋1)-x2(x＋1)2＝-x2＋2x(x＋1)2
由g'(x)＞0得-2＜x＜-1或-1＜x＜0，此时递增，
由g'(x)＜0得x＜-2，此时递减，即
当x＝-2时，g(x)取得极小值为g(-2)＝4，
当x＞0时，由f(x)＝ax得x2＋2ax-2a＝ax，得x2-ax＋2a＝0，得a(x-2)＝x2；
当x＝2时，方程不成立；
当x≠2时，a＝x2x-2．
设h(x)＝x2x-2，则h'(x)＝2x(x-2)-x2(x-2)2＝x2-4x(x-2)2，
由h'(x)＞0得x＞4，此时递增，
由h'(x)＜0得0＜x＜2或2＜x＜4，此时递诚，
即当x＝4时，h(x)取得极小值为h(4)＝8，
要使f(x)＝ax恰有2个互异的实数解，则由图5-60(c)知4＜a＜8，故答案为(4，8)．
(2)
函数g(x)＝f(x)＋x＋a存在2个零点，即关于x的方程f(x)＝-x-a有2个不同的实根，即函数f(x)的图像与直线y＝-x-a有2个交点，作出直线y＝-x-a与函数f(x)的图像，如图5-61所示，由图可知，-a⩽1，解得a⩾-1，故选C
【例2】(1)已知函数f(x)＝1x＋1-3，x∈(-1，0]，x，x∈(0，1]，且g(x)＝f(x)-mx-m在(-1，1]内有且仅有两个不同的零点，则实数m的取值范围是( )．
A．-94，-2∪0，12B．-114，-2∪0，12
C．-94，-2∪0，23D．-114，-2∪0，23
(2)定义在R上的奇函数f(x)，当x⩾0时，f(x)＝lg⁡12(x＋1)，x∈[0，1)1-|x-3|，x∈[1，＋∞)则
关于x的函数F(x)＝f(x)-a(0＜a＜1)的所有零点之和为( )．
A．2a-1B．2-a-1C．1-2-aD．1-2a
【分析】
第(1)问，函数g(x)＝f(x)-mx-m的零点个数问题就是曲线y＝f(x)和动直线y＝m(x＋1)的交点个数问题，需要画出函数图像，利用数形结合思想直观判断出交．点个数，而y＝f(x)是分段函数，要注意自变量的取值范围，即在函数的定义域内画图，再利用直线y＝m(x＋1)过定点(-1，0)，通过转动直线判断何时有两个交点，利用分界点处直线的料率求解范围．第(2)问，先画出当x⩾0时，f(x)的图像，再根据f(x)在R上是奇函数，其图像关于原点对称补上x⩽0的图像．并在同一坐标平面内画上直线y＝a(0＜a＜1)，可以直观地看到两图像交点的个数，根据对称性，很容易求出所有零点之和．
【解析】
(1)g(x)＝f(x)-mx-m在(-1，1]内有且仅有两个不同的零点⇔函数y＝f(x)的图像与函数y＝m(x＋1)的图像在(-1，1]内有两个交点，在同一直角坐标系内作出函数f(x)＝1x＋1-3，x∈(-1，0]，x，x∈(0，1]和函数y＝m(x＋1)的图像，如图5-62所示．
当直线y＝m(x＋1)与y＝1x＋1-3，x∈(-1，0]和y＝x，x∈(0，1]都相交时，0＜m⩽12；
当直线y＝m(x＋1)与y＝1x＋1-3，x∈(-1，0]有两
个交点时，由方程组y＝m(x＋1)，y＝1x＋1-3消元得1x＋1-3＝
m(x＋1)，即m(x＋1)2＋3(x＋1)-1＝0，化简得mx2＋(2m＋3)x＋m＋2＝0，当Δ＝9＋4m＝0，即m＝-94时，直线y＝m(x＋1)与y＝1x＋1-3相切，当直线y＝m(x＋1)过点(0，-2)时，m＝-2，
∴m∈-94，-2
综上，实数m的取值范围是-94，-2∪0，12，故选A．
(2)当-1⩽x＜0时，1⩾-x＞0；x⩽-1时，-x⩾1，又f(x)为奇函数，
∴x＜0时，f(-x)＝-f(x)＝lg2⁡(1-x)，x∈(-1，0]，|x＋3|-1，x∈(-∞，-1]．
画出y＝f(x)和y＝a(0＜a＜1)的图像如图5-63所示，共有5个交点，设其横坐标从左到右分别为x1，x2，x3，x4，x5，则x1＋x22＝-3，x4＋x52＝3⇒x1＋x2＋x4＋x5＝0，而lg2⁡1-x3＝a⇒x3＝1-2a
可得x1＋x2＋x3＋x4＋x5＝1-2a，故选D．
【例3】(1)定义域为R的偶函数f(x)满足对∀x∈R，有f(x＋2)＝f(x)-f(1)，且当x∈[2，3]时，f(x)＝-2x2＋12x-18，若函数y＝f(x)-lga⁡(|x|＋1)在(0，＋∞)上至多有3个零点，则a的取值范围是( )．
A．55，1B．55，1∪(1，＋∞)
C．0，55D．33，1
(2)设f(x)是定义在R上且周期为1的函数，在区间[0，1)上，f(x)＝x2，x∈D，x，x∉D，其中集合D＝x∣x＝n-1n，n∈N*，则方程f(x)-lg⁡x＝0的解的个数是________．
【分析】
第(1)问，首先利用f(x)是偶函数的条件求出f(1)，进而得到函数具有周期性，然后利用函数的周期性和奇偶性作出函数f(x)的图像，利用y＝f(x)与y＝lga⁡(|x|＋1)的图像在(0，＋∞)上至多有三个交点确定a的取值范围．第(2)问，解题的基本方法同样是利用数形结合，将函数的零点问题转化为两个函数图像的交点个数问题，关键是根据题设的信息正确作出f(x)的图像．
【解析】
(1)∵函数f(x)是偶函数，
∴令x＝-1，得f(-1＋2)＝f(-1)-f(1)＝f(1)，解得f(1)＝0．
∴f(x＋2)＝f(x)-f(1)＝f(x)，即函数的周期是2．
由y＝f(x)-lga⁡(|x|＋1)＝0得f(x)＝lga⁡(|x|＋1)，令y＝lga⁡(|x|＋1)，
当x＞0时，y＝lga⁡(|x|＋1)＝lga⁡(x＋1)，函数图像过点(0，0)．
①若a＞1时，则由图像(如图5-64所示)可知，
此时函数y＝f(x)-lga⁡(|x|＋1)在(0，＋∞)上没有零点，
∴此时满足条件．
(2)若0＜a＜1，则由图像(如图5-65所示)可知，
要使两个函数y＝f(x)与y＝lga⁡(|x|＋1)在(0，，＋∞上至多有3个交点，则y＝lga⁡(|x|＋1)不能在点B(4，-2)上方，即lga⁡(|4|＋1)＜-2⇒lga⁡5＜-2⇒a＞55．
∴55＜a＜1
综上所述，满足条件的a的取值范围是55，1∪(1，＋∞)，故选B．
(2)由于f(x)∈[0，1)，因此只需考虑1⩽x＜10的情况．
在此范围内，x∈Q且x∉Z时，设x＝qp，p，q∈N*，p⩾2且p，q互质，
若lg⁡x∈Q，则由lg⁡x∈(0，1)，可设lg⁡x＝nm，m，n∈N*，m⩾2且m，n互质，
因此10nm＝qp，则10n＝qpm，此时左边为整数，右边非整数，矛盾，因此lg⁡x∉Q．
故lg⁡x不可能与每个周期内x∈D对应的部分相等，只需考虑lg⁡x与每个周期内x∉D部分的交点．画出函数草图(如图5－66所示)，
图中交点除(1，0)外其他交点横坐标均为无理数，属于每个周期x∉D的部分，且x＝1处(lg⁡x)'＝1xln⁡10＝1ln⁡10＜1
则在x＝1附近，仅有一个交点，
因此方程f(x)-lg⁡x＝0的解的个数为8．
【例4】已知a，b是实数，1和一1是函数f(x)＝x3＋ax2＋bx的两个极值点．
(1)求a和b的值；
(2)设函数g(x)的导函数g'(x)＝f(x)＋2，求g(x)的极值点；
(3)设h(x)＝f(f(x))-c，其中c∈[-2，2]，求函数y＝h(x)的零点的个数．
【分析】
本题的难点在第(3)问，探讨函数h(x)＝f(f(x))-c，c∈[-2，2]零点的个数，根据函数零点的定义可知，函数h(x)的零点就是方程h(x)＝0的实根，因此判断一个函数是否有零点，有几个零点，就是判断方程h(x)＝0是否有实根，有几个实根，但通常用代数法，即求方程h(x)＝0的实根的方法比较困难，应当运用几何法，即与y＝h(x)的图像联合起来，并利用函数的性质找出零点，但是本题直接作出y＝h(x)的图像还是困难，必须进一步转化对c的取值分类讨论确定函数y＝h(x)的零点个数．
【解析】
(1)由题意得，1和一1是方程f'(x)＝3x2＋2ax＋b＝0的两个零点，∴a＝0，b＝-3．
(2)由(1)得f(x)＝x3-3x，g'(x)＝x3-3x＋2＝(x-1)2(x＋2)，函数y＝g'(x)的零点为-2．∴g(x)的极值点为-2．
(3)要求函数y＝h(x)的零点个数，即求f(f(x))＝c的实根个数，即求f3(x)-3f(x)＝c的实根个数，作示意图如图5-67所示，
(1)当c＝2时，f(x)＝-1或2，f(x)＝-1有3个解，f(x)＝2有2个解，
故函数y＝h(x)的零点个数为5；
(2)当c＝-2时，同理可得，函数y＝h(x)的零点个数为5；
(3)当-2＜c＜2时，f(x)有三个解，分别是t1∈(-2，-1)，t2∈(-1，1)，t3∈(1，2)
由于f(x)＝ti各有3个解，所以函数y＝h(x)的零点个数为9．
综上所述，当|c|＝2时，函数y＝h(x)有5个零点；当|c|＜2时，函数y＝h(x)有9个零点．
第32讲数形结合解三角问题
利用三角函数的图像可以确定解析式中参数的值，研究三角函数的性质可以处理三角函数的定义域、值域、单调性、周期性、奇偶性、最值以及函数零点的个数等问题．
典型例题
【例1】(1)设x∈[0，2π]，关于x的方程sin⁡x＋2|sin⁡x|-k2＋k＝0有4个实根，则实数k的取值范围是________；
(2)函数y＝3＋sin⁡x4＋2cs⁡x的最大值是，最小值是________；
(3)函数y＝sin⁡x-32＋lg⁡(2-2cs⁡x)的定义域是________．
【分析】
第(1)问，转化为在x∈[0，2π]条件下求函数f(x)＝sin⁡x＋2|sin⁡x|与函数g(x)＝k2-k图像的交点个数问题；第(2)问，结合斜率公式求动点与定点斜率的最大值、最小值；第(3)问，可借助三角函数的图像或单位圆中的三角函数线确定函数的定义域．
【解析】
（1）当x∈[0，2π]时，关于x的方程sin⁡x＋2|sin⁡x|-k2＋k＝0可化为
f(x)＝sin⁡x＋2|sin⁡x|g(x)＝k2-k，x∈[0，2π]f(x)＝g(x)
作出函数f(x)＝3sin⁡x(0⩽x＜π)，-sin⁡x(π⩽x⩽2π)和g(x)＝k2-k(0⩽x⩽2π)的图像，如图5-68所示．
∵方程有4个实根，
∴0＜k2-k＜1，
解得1-52＜k＜0或1＜k＜1＋52．
∴实数k的取值范围是1-52，0∪1，1＋52．
（2）【解法一】
y＝3＋sin⁡x4＋2cs⁡x可以化为2y＝sin⁡x-(-3)cs⁡x-(-2)，设k＝sin⁡x-(-3)cs⁡x-(-2)，则问题转化为求k的最大值、最小值．
构造点P(-2，-3)、Q(cs⁡x，sin⁡x)，点Q的轨迹是单位圆x12＋y12＝1，如图5-69所示，
切线PQ1，PQ2的斜率就是k的最大值、最小值．设直线PQ的方程为y1＋3＝kx1＋2，即kx1-y1＋2k-3＝0，由圆心到直线的距离等于半径，得|2k-3|k2＋1＝1，解得k＝6±233
∴y的最大值、最小值分别为ymax＝12kmax＝3＋33，ymin＝12kmin＝3-33．
【解法二】
如图5-70所示，构造两个点，即点P(-4，-3)和点Q(2cs⁡θ，sin⁡θ)，
这时y＝sin⁡x-(-3)2cs⁡x-(-4)＝kPQ，点Q在椭圆x124＋y12＝1上．
设直线PQ的方程为y1＋3＝kx1＋4，
即kx1-y1＋4k-3＝0，由直线和椭圆相切的条件易得k＝3±33．
∴函数的最大值和最小值分别为3＋33和3-33．
（3）【解法一】
要使函数y＝sinx-32＋lg2-2csx有意义，必须且只需sinx-32⩾0，2-2csx＞0，即sinx⩾32csx＜22
由y＝sinx的图像(如图5－71所示)可知，使sin⁡x⩾32的取值区间是2kπ＋π3，2kπ＋2π3(k∈Z)；
由y＝cs⁡x的图像(如图5-72所示)可知，使cs⁡x＜22的取值区间是2kπ＋π4，2kπ＋7π4(k∈Z)，∵2kπ＋π3，2kπ＋2π3⫋2kπ＋π4，2kπ＋7π4(k∈Z)
∴函数y＝sin⁡x-32＋lg⁡(2-2cs⁡x)的定义域为2kπ＋π3，2kπ＋2π3(k∈Z)．
【解法二】
利用单位圆中的三角函数线(如图5-73所示)阴影部分为同时满足sin⁡x⩾32，cs⁡x＜22的x的取值范围．
由终边相同的角的表示可知函数的定义域为x∣2kπ＋π3⩽x⩽2kπ＋2π3，k∈Z．
【例2】求实数a的取值范围，使得对于任意θ∈0，π2，恒有(x＋3＋2sin⁡θcs⁡θ)2＋(x＋asin⁡θ＋acs⁡θ)2⩾18
【分析】
本例用三角函数的方法直接解是困难的，如果把不等式左边看成两点距离的平方，则可以找到一种相当简捷的解法．
【解析】
原不等式可看作点P(-3-2sin⁡θcs⁡θ，-asin⁡θ-acs⁡θ)与直线l：y＝x上任意一点距离的平方大于等于18．
由点P到直线l的距离公式得|-3-2sin⁡θcs⁡θ＋asin⁡θ＋acs⁡θ|⩾12．令t＝sin⁡θ＋cs⁡θ＝2sin⁡θ＋π4∈[1，2]，
则原不等式可化为-3-t2-1＋at⩾12，
结合t的取值范围可求得a⩾72或a⩽6．
【例3】(1)若函数y＝Asin⁡(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜π2)的图像如图5-74所示，求它的解析式、初相、周期与振幅；
(2)求函数y＝sin⁡2x＋π4＋2cs⁡3x-π6的周期；
（3）设函数f(x)＝Asin⁡(ωx＋φ)(A，φ，ω是常数，A＞0，ω＞0)，若f(x)在区间π6，π2上具有单调性，且fπ2＝f2π3＝-fπ6，则f(x)的最小正周期为________．
【分析】
第(1)问，由图像求三角函数y＝Asin⁡(ωx＋φ)的解析式，进而求初相、周期、振幅．一看最高点、最低点的纵坐标，得出振幅A，若最高点、最低点末知，则看其他关键点，代入点的坐标，通过解方程组得解；二看图像反映的最小正周期，由T＝2π|ω|得到ω的值；三看呈递增趋势的零点-φω，0，由ω的值求出初相φ，取点确定φ时，应取最高点或最低点，取其他点时要检验．第(2)问，如何求函数f(x)＝f1(x)＋f2(x)＋⋯＋fn(x)的周期？只要求出f1(x)，f2(x)，⋯，fn(x)的周期依次为T1，T2，⋯，Tn，则T1，T2，⋯，Tn的最小公倍数就是函数f(x)的一个周期．第(3)问，可从函数单调性入手将逆向思维的问题转化为正向思维的问题解决，还可充分挖掘图像的几何性质一一对称性，以及对称性与周期性的关系，通过对图形的直觉观察寻找简捷的解法．
【解析】
（1）【解法一】
∵点0，32，π3，0，5π6，0在曲线上，
∴Asin⁡φ＝32Asin⁡ω⋅π3＋φ＝0Asin⁡ω⋅5π6＋φ＝0(2)由(2)(3)得ω⋅π3＋φ＝π，ω⋅5π6＋φ＝2π．∴(3)
代人(1)式得A＝3．
∴解析式为y＝3sin⁡2x＋π3，初相φ＝π3，周期T＝π，振幅A＝3．
【解法二】
由图知T2＝5π6-π3，∴T＝π，∵2πω＝π，∴ω＝2．
又图像过点π3，0，∴2⋅π3＋φ＝π，∴φ＝π3．
又点0，32在图像上，∴32＝A⋅sin⁡2⋅0＋π3，∴A＝3．
∴解析式为y＝3sin⁡2x＋π3，初相φ＝π3，周期T＝π，振幅A＝3．
（2）设y1＝sin⁡2x＋π4，则y1的最小正周期T1＝π；
y2＝2cs⁡3x-π6，则y2的最小正周期T2＝2π3，∴T1，T2的最小公倍数为2π，
∴T＝2π
（3）【解法一】
∵f(x)在区间π6，π2上具有单调性，且fπ2＝f2π3，∴x＝π2和x＝2π3均不是f(x)的极值点，其极值应该在x＝π2＋2π32＝7π12处取得．又∵fπ2＝-fπ6，∴x＝π6也不是函数f(x)的极值点．又f(x)在区间π6，π2上具有单调性，∴x＝π6-7π12-π2＝π12为f(x)的另一个相邻的极值点，故函数f(x)的最小正周期T＝2×7π12-π12＝π．
【解法二】
由f(x)在区间π6，π2具有单调性，且fπ2＝-fπ6，可知函数f(x)的一个对称中心为π3，0，由fπ2＝f2π3知函数f(x)的一条对称轴为直线x＝7π12，由f(x)在区间π6，π2上具有单调性可得T2⩾π3⇒T⩾2π3，∴7π12-π3＝π4＝T4⇒T＝π
【解法三】
由已知画出图像(如图5-75所示，
结合图像得T4＝π2＋2π32-π2＋π62＝π4，∴T＝π
【例4】（1）在长方体ABCD-A1B1C1D1中，求证：
π2＜∠A1BD1＋∠DBD1＋∠C1BD1＜3π4
(2)设x，y，z∈(0，1)，求证：x(1-y)＋y(1-z)＋z(1-x)＜1．
【分析】
这两小题都是不等式的证明，从表面看似乎与三角函数关系不大．如果我们能从不等式中找到某种几何模型，原问题就转化为三角函数问题，运用三角知识求解．事实上，第(1)问的几何模型是给出的，不等式中的三个角实质上是长方体的一条体对角线与从同一个顶点出发的三条面对角线所成的角，借助这个图形，运用一系列的三角恒等变形即可证得结果；第(2)问，联想到面积公式，通过构造三角形，利用图形进行直观转化，使得该题解法妙趣横生．
【解析】
【证明】
（1）画出长方体ABCD-A1B1C1D1如图5-76所示．
①设∠A1BD1＝α，∠DBD1＝β，∠C1BD1＝γ，则α，β，γ均为锐角，且
sin2α＋sin2β＝1-sin2γ＜1
⇒1-cs2α2＋1-cs2β2＜1
⇒cs2α＋cs2β＞0
⇒cs⁡(α＋β)cs⁡(α-β)＞0
∵csα-β＞0，
∴csα＋β＞0，
∴α＋β＜π2
同理β＋γ＜π2，γ＋α＜π2，故α＋β＋γ＜3π4．
②sin2α＋sin2β＝1-sin2γ＝cs2γ
⇒1-cs2a2＋1-cs2β2＝cs2γ
⇒cs2α＋cs2β＝2sin2γ
⇒cs2⁡(α＋β)＜cs⁡(α＋β)cs⁡(α-β)＝sin2⁡γ，
由①得cs(α＋β)＞0，sinγ＞0
⇒csα＋β＞0，sinγ＞0⇒csα＋β＜sinγ＝csπ2-γ
⇒α＋β＞π2-γ，
故α＋β＋γ＞π2
由①②得π2＜α＋β＋γ＜3π4．
（2）原不等式等价于12x(1-y)sin⁡60∘＋12y(1-z)sin⁡60∘＋12z(1-x)sin⁡60∘＜34
联想到三角形面积公式，构造三角形，利用已知图形的性质进行直观转化，如图5-77所示，作边长为1的正三角形ABC，在边AB，BC，CA上分别取点D，E，F，使AD＝x，BE＝z，CF＝y，则
DB＝1-x，CE＝1-z，AF＝1-y
∵S△FAD＋S△DBE＋S△CEF＜S△ABC（局部小于整体)，
∴12x(1-y)sin⁡60∘＋12y(1-z)sin⁡60∘＋12z(1-x)sin⁡60∘＜34
∴x(1-y)＋y(1-z)＋z(1-x)＜1