2023届高考数学二轮复习思想方法与解题技巧第49讲横向化归解题法第50讲同向化归解题法含解析

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典型例题
【例 1 】设且方程至少有一个实数解,试求的最小值.
【分析】本例是一个有实数解的高次方程,求方程系数构成的代数式的最小值. 从方程角度去解是困难的,但是我们分析方程系数的特点,发现其具有对称性, 且又都是一次的,如果把它看成是的方程,显然是一条直线的方程;如果设,可看成点在圆上,则原命题等价变换成直线与圆的位置关系问题,即求直线与圆至少有一个公共点时,半径平方的最小值. 这就是运用同构变换等手段将复杂的高次方程问题化归为熟悉、容易处理的直线与圆的位置关系问题.
【解析】因方程至少有一个实数解, 不妨设为, 代人得
设, 构造直线, 圆. 则两者之间必有公共点, 因此圆心到直线的距离小于或等于半径,
所以, 即的最小值为, 当且仅当时取得最小值.
【例 2】如图所示, , 边长为的正三角形在内滑动(不能翻转),使得点始终在上, 点始终在上,求点的轨迹方程.
【分析】
本例中点在射线上移动, 点在射线上移动, 求正三角形另一个顶点的轨迹方程,常用的求轨迹方程的基本方法如直接法、转移法、参数法很难用上,定义法则根本不相关. 对于这类与旋转有关的轨迹问题, 采用复数方法来处理具有方便、直观,简捷的优点, 因为复数的向量表示把代数与几何融为一体, 复数的乘法运算反映在几何上正好是向量的旋转. 这种横向化归命题实质上也是同构变换.
【解析】
如图所示, 以为原点, 所在直线为轴建立复平面.
设点对应的复数分别为，
则,
又可由逆时针旋转而得到.
.
又, 即,
将①②代人, 整理得: ,
故点的轨迹方程为在内的部分.
【例 3】在平面直角坐标系中, 设是椭圆上的一个动点,求的最大值.
【分析】
本例思考方法不同导致形成求解过程的多样性, 可以横向化归转化为由方程组有解求的最大值, 可以利用椭圆的参数方程横向化归为求三角函数的最大值, 也可以纵向化归,通过坐标变换讨论圆与直线有公共点时求的最大值.
【解析】
【解法1】由方程组消去后整理得方程①方程①有实根,则判别式, 解得.
的最大值为
【解法2】椭圆的参数方程为为参数，代入
得, 当, 即时,
的最大值为
【解法3】对椭圆和直线方程进行如下坐标变换:
令
此时圆方程②和直线③仍有公共点,
则圆②的圆心到直线的距离,
解得, 故的最大值为 2 .
第50讲同向化归解题法
同向化归就是把面临的新问题进行命题分割或命题分解,化归为某一（或几）个可简捷处理的子问题,解决了这一(或几)个子问题, 从而也就解决了所有子问题,或在推演中，进行同理推导同解变形化简等,这种化归是在同一层次上“平行”转化.
典型例题
【例 1】已知数列都是公差为 1 的等差数列,其首项分别为, 且, 设, 求数列的前 10 项和.
【分析】当我们接触的问题存在着大量可能的答案(或中间过程), 而暂时又无法用迻辑方法排除时,我们只能对每一种可能的情况逐个加以讨论, 解决了这些子问题, 原来的命题也就完全解决了, 本例中由条件可知的取值有多种情况,必须对每种情况进行研究, 才能得到原问题的最后结果.
【解析】由题设, 可将适合条件的可能情况一一列举出来,一共有 4 种
情况: 下面逐一求解
子问题 : 当时, .
.
子问题 : 当时, .
子问题 : 当时, .
子问题(4) : 当时, .
因此, 无论哪种情况, 均得到数列的前 10 项和为 85 .
【例2】设, 若, 求使得成立的的取值范围.
【分析】
本题结构较为复杂,初看似乎难以下手去做, 若根据同向化归解题法, 把原问题分解为几个基本的子问题, 然后逐个解决,所有的子问题全部解决了,整个大问题也就获解了. 由题意, 原问题可以分解为如下 4 个子问题：
子问题 1 : 由方程, 求的值;
子问题 2: 由方程, 求的值;
子问题求的值;
子问题 4 : 解不等式组求的取值范围.
【解析】
按上述子问题的顺序逐一解答.
子问题由.
.
子问题由.
, 把代人得: .
子问题.
子问题 4 : 由上述所求各值, 原不等式可化为:
, 此即为的取值范围.
【例 3 】一个小于 400 的 3 位数, 它是平方数, 它的前两个数字组成的两位数还是平方数, 其个位数也是一个平方数,求这个 3 位数.
【分析】
可采用同向化归解题法和枚举与笑选并用的策略, 即依据题中限定的三个条件步步深入,面对枚举出的情况逐步排除不符合条件的三位数,确定满足条件的三位数.
【解析】
本题共提出 3 个条件:
(1) 一个小于 400 的三位数是平方数;
(2) 这个三位数的前两位数字组成的两位数还是平方数;
(3) 这个三位数的个位数也是一个平方数.
先找出满足第一个条件的三位数:
再考虑第二个条件, 从中选出符合条件者: .
最后考虑第三个条件, 排除不符合条件的 256 ,于是找到答案是 169 和 361 .
【例4】设集合, 又设集合是关于的不等式组的解集，且, 试确定的取值范围.
【分析】
若设集合是不等式(1)的解集,集合是不等式(2)的解集, 则, 由于两个不等式都含参数,求并非易事,既要分类讨论又极易出错, 如果运用同向化归,则简捷多了! 根据题设且. 两个参数“分而治之”, 清清楚楚！
【解析】
若记为不等式①的解集; 记为不等式②的解集, 则. 于是且. 结合图像易得且且