2023届高考数学二轮复习思想方法与解题技巧第51讲逆向化归解题法第52讲互变思想在解题中的运用含解析

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典型例题
【例 1 】已知, 求的值.
【分析】若直接从条件出发通过变形求的值, 其运算肯定繁杂,顺繁则逆,如果从这个所求式出发却易得, 故逆向化归求解本题较为方便.
【解析】
设, 两边平方,得: .
由已知条件可得.
代换后得, 即, 亦即, 亦即, 解得或 (不合题意, 舍去).
故知.
【例 2】解方程: .
【分析】
若直接解此无理方程,运算量相当大, 由根式联想到两点间的距离并通过升维化归为一个动点到两个定点距离之差,进而联想到双曲线方程,这是一种妙思巧解.
【解析】
原方程可化为. 令, 得:
上式表示动点到的距离之差为 6 的点的轨迹.
显然是双曲线的左支, 其标准方程为: .
当时, , 故原方程的解为.
【例 3】若, 求证: .
【分析】
不论是综合法还是分析法证明此题都很困难,运用反证法即假设结论的反面即成立,结合条件推出与假设予盾, 反证法也是逆向化归解题法的一种.
【解析】
【证明】
假设.
而取等号的条件为, 显然不可能, 所以.
则, 而, 故.
所以, 从而, 所以.
所以, 所以.
这与假设矛盾, 故.
【例 4】已知集合,
若, 求实数的取值范围.
【分析】
易求得集合, 而集合中对应方程的两个根为和若要确定集合, 则需要对的取值分类讨论, 同时为使成立,还要对或 4 与或的大小关系进行分类讨论. 两重讨论甚为烦琐,按照正难则反的解题原则, 从的反面方向去思考,适时采取逆向化归措施, 正如德国数学家雅可比(C. G. J. Jacbi, )所言,“运用逆向思维, 要经常反向思考问题”,常常可找到简捷的解法.
【解析】
易得, 设函数.
当时, 由于抛物线开口向上, 则
解得
故要使, 只须或.
第52讲互变思想在解题中的运用
矛盾着的东西往往也都互相联系着,不但可以在一定条件下共处于一个统一体中,而且可以在一定条件下互相转变, 如“熟悉”与“陌生”,“合”与“分”,“正”与“逆”,“动”与 “静”,“进”与退”,“一般”与特殊”,“强化”与“弱化”,“抽象”与“具体”,“直”与“曲”,“主” 与“次”,“整体”与“部分”,“有限”与“无限”,“或然”与“必然”等. 一个事物矛盾的两个方面, 既是对立又是统一的,更是可以相互转换的, 从哲学上讲既是“一分为二”,又是“合二为一”, 互变是化归的一种手段, 但比化归更深刻,哲学的意味更浓, 当今学术界倡导的批判性思维,在数学上的体现就是“互变”,就是对立又统一的辩证思想.
关于互变思想在解题中的运用,本书各章都有涉及,在“转化与变换的思想”这一章中已有多个专题进行论述. 本章及本专题对此稍加拓展,可以这样来表述:互变思想是指在处理、解决数学问题的过程中有意识地考虑对问题进行相互变化, 从彼此相反的状态、形式中寻找相互变化的途径.
典型例题
【例 1 】在实数集内解方程: .
【分析】
本题是一个四次方程,且系数含无理数, 用通常的方法不易求解,但如果把视为主元, 把视为参数, 由, 可得以为主元的二次方程,解之就简单了, 这种题中元素之间角色的互换为某些看似难以解答的问题开辟了一条通道.
【解析】
原方程变为.
解上述关于的二次方程得: .
于是.
【例 2】在坐标平面上有一运动着的梯形, 梯形在的条件下运动,求原点到直线的最短距离.
【分析】
相对于原点, 梯形是在运动的,直线是动直线,很难表示,若 "动”与“静”互换角式,将梯形看作是静止的, 则原点是运动的, 就成为两个定点, 则的轨迹可求, 也就成为定直线了,解题思路在角色的“动”“静”互变中产生了.
【解析】
因为梯形是运动的, 所以动直线的方程难以表示, 即使求得,也必含参数且比较复杂. 若将梯形看作静止而原点是运动的, 则由可知, 动点的轨迹是以为焦点的椭圆. 建立以中点为“原点”, 中垂线为轴的新坐标交, 则直线的方程为: , 动点的轨迹方程为 , 设在新坐标下的坐标为, 则到直线的距离为,
当且仅当时, 原点到直线的最短距离为.
【例 3】在中,求证: .
【分析】
三角形中三角不等式的证明是个难点,运用放缩的技巧是必然的,问题在于如何进行适当的放缩,如果把两角视为整体变形,则如何处理? 总要为配套另一个角, 这个角必须与三角形内角相关,容易想到, 引进这个角. 这样我们可以试试加上三角形三内角和的平均值的正弦来证.
【解析】
【证明】
.
.
【例 4】已知函数满足: , 且, 当时,如果存在正项数列满足条件：
（1）求数列的通项公式;
（2）求证: ;
(3) 求证: .
【分析】
第问,由条件求得递推关系后运用累乘法是求数列通项公式的一种常用方法. 第 (2)、第两问是数列不等式的证明,一般对于分母是两个或多个相继整数积的倒数和小于某常数的不等式的证明,通常对不等式左边用放缩裂项法,适当放缩使之能够裂项相消. 这里面放缩的技巧很重要, 而通分与裂项又正是相反的两种变形手段.
【解析】
由①②得
从而
④式代人③式得, 由此可得.
(2) 由①得, 当时,有
(3) , 关键是如何进行裂项.
若能出现的模型就好了. 我们进行逆向变形, 即从出发变形,
显然有
故要, 也就是要成立, 而此式显然成立. 这就是说, 所证式从第 2 项起每一项均可裂成递归的两项之差. 于是, 有
.