2023届高考数学二轮复习思想方法与解题技巧第71讲合情推理演绎推理第72讲直接证明间接证明含解析

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典型例题
【例1】（1）观察下列等式：
照此规律，第个等式可为,
(2)古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数,如三角形数,第个三角形为,记第个边形数为,以下列出了部分边形数中第个数的表达式:
三角形数,
正方形数,
五边形数,
六边形数,
可以推测的表达式,由此计算,
【分析】合情推理的意思是“合乎情理”的推理，前提为真，结论可能为真的推理叫合情推理，它是一种或然性推理，得出的结论可能为真，也可能为假，本例两小题，在数与式的归纳中考查合情推理。第（1）问，归纳总结时，观察等号左边式子的变化规律，右边结果的特点，然后归纳出一般结论，弄清行数、项数及其变化规律是解答本题的关键。第（2）问，题中给出的是一组数，呈现一定的规律，采用从特殊到一般的思维方法，分两步走,第一步:观察,归纳出第二步：计算,也可以观察探知的系数,是等差数列,可设.
【解析】（1）把已知等式与行数对应起来，则每一个等式左边的式子依次是自然数的平方相加减，个数是个；等式右边可转化为自然数前项和，再依次加上“、一”符号
所以.
（2）解法一由,
推测.
从而,故填1000.
解法二 设.
其中是以为首项,为公差的等差数列,即,
则是以为首项,为公差的等差数列,即,
则,所以.
当时,.
【例2】已知,求证:.
【分析】证明中的论题给出了要证明什么；证明中的论据给出用什么来证明；证明中的论证给出是怎样证明的。
论题、论据、论证可看作证明中的三要素.
证明时要求论题真实、论据确凿、论证严密.
证明的表达方式：在证明的具体表述时基本上都采用“三段论”方式。它包括：
（1）大前提已知的一般性原理
（2）小前提所研究的特殊情况
（3）结论根据一般原理，对特殊情况作出的判断。
通常对于较复杂的论证，总是采用一连串的“三段论”方式，把前一个三段论的结论作为下一个三段论的前提，当然，为了表达方便，一般都省略了大前提，甚至在某些情况下可以省略小前提，本例首先完整地显示各个三段论，再给出简略的证明过程让我们领会一下法国数学家、哲学家庞加莱（，1854-1912）的一段话，加深对演绎推理的理解，他说：“数学证明不是三段论的简单排列，而是由被安置在确定序中的三段论组成，这个序比排列于其中的元素重要得多，如果对着序，比方说，有某种感受或某种直觉，我们就能从总体上一下子领悟到整个推理.”
【解析】
证明①因为一个实数的平方是一个非负数,(大前提）
(小前提)
所以.(结论)
②因为不等式的两边同时加上一个数或等式,不等式仍成立,(大前提）
(小前提)
所以,
③同理,.
④因为同向不等式相加,所得不等式与原不等式同向,(大前提)
(小前提)
所以,
即.(结论)
⑤因为不等式的两边除以同一个正数,不等式仍成立,(大前提)
(小前提)
所以.（结论)
上述证明过程通常可以简略地表述为:
因为,所以,所以,
同理.
所以,
所以,即.
【例3】数列的前项和记为,已知,求证:(1)数列是等比数列;
(2).
【分析】第（1）问，可由等比数列的定义及与的关系加以证明；第（2）问可由第（1）问的结论作为大前提继续运用演绎推理“三段论”推出。演绎推理是数学逻辑思维的主要形式，担负着判断命题真假的主要使命，如果说合情推理是以感性思维为主，只需有感而发，那么演绎推理则以理性思维为主，要求言必有据.
【解析】证明(1)因为,
所以,即,所以,故是以1为首项,2为公比的等比数列.
(2)由(1)可知,
所以.
又因为.
所以对于任意正整数,都有.
【例4】(1)(蝴蝶定理)过圆$AB$弦的中点任意作两弦和与交弦于点求证:;
(2)已知任意二次曲线是曲线的弦,是的中点,过点任意作弦,过点另作一条任意二次曲线,如果曲线与直线交于点,求证:.
【分析】本例两小题是演绎推理的证明方法在解析几何中的应用，第（1）问，运用曲线系证明蝴蝶定理比用平面几何知识证明要简便许多。第（2）问是平面几何蝴蝶定理的推广，从圆一步飞跃到任意的二次曲线，联结圆上四点的两直线和边直接换成一般的二次曲线，从蝴蝶定理的特殊图形里看到一般的二次曲线，升级换代、一次到位，不是拾级而上，而是直上高楼，美景无限，下面先从如图13-1所示图形看一看，里面是否隐藏着一只飞舞的蝴蝶？
【解析】(1)如图所示,以为原点,所在直线为轴建立直角坐标系,设圆方程为.
设直线的方程分别为,将它们合并为,于是过的曲线系方程为
令,得,即过点的曲线系与交于点的横坐标是方程的两根,由韦达定理得,即是的中点,故.
(2)证明如图所示,取直线为轴,为原点,方向为轴的正方向建立直角坐标系.
设,则点的坐标为,点的坐标为.
二次曲线通过点,
在曲线的方程中,当时,应有.
因而二次曲线的方程形如:①
又弦都通过原点,且与直线相交（因而都不是轴),
可设它们的方程分别为,
这一对直线和合在一起,可以看成一条退化二次曲线,其方程为②
曲线①和②相交于点,利用曲线系知识,通过的二次曲线系的方程为③
若曲线③中的一条二次曲线交轴于点和点,
则在(3)式中,以代人,得④
和应是所得二次方程④的两个实数根,由二次方程根与系数的关系,得,即.
第72讲 直接证明与间接证明
直接证明有两种基本方法分析法和综合法，分析法的特点是“执果索因”，综合法的特点是“执因索果”事实上，在解决问题时，经常把综合法和分析法结合起来使用。对此，在本书的“分析与综合的思想”一章中已有详细论述。间接证明有一种基本方法—反证法，其理论依据是逻辑规律中的排除法，反证法即证明结论的反面错误，从而结论正确.
本专题的重点放在反证法.
典型例题
【例1】若,求证:.
【分析】在证明本题的过程中,若从条件出发用“化弦法”得到,若继续向结论靠近,虽然可以成功,但有一定的困难.它比从拈论出发要复杂得多,技巧性也强得多,所以在使用“综合法”出现困难时,应调整思路,运用“分析法”,分析一下要证明的拈论需要怎样的充分条件才是明智之举,当然其中角的变换很重要.这也是直接证明的方法.
【解析】证明因为,所以,
所以①
以上运用综合法,由条件推得①式,下面用分析法,由结论出发(逆推).
另一方面,要证,
即证,
即证,
即证.
由于上式与①相同,于是问题得证.
（本题的证明是综合法与分析法的结合,是直接证明）
【例2】(1)已知且,求证:与中至少有一个小于2;
(2)若均为实数,且,求证:中至少有一个大于零;
(3)求证:方程有唯一解;
(4)已知,若在上最大值为2,最小值为,求证:且.
【分析】证明一个数学命题，当直接证法难以奏效时，可考虑用反证法这一间接证法，何谓反证法？一般地，在证明一个命题时，从命题结论的反面入手，先假设结论的反面成立，通过一系列正确的逻辑推理，导出与已知条件、已知公理、理、定义之一相矛盾的结果或者两个相矛盾的结果，定了“结论反面成立”的假设是错误的，从而达到了证明结论正面成立的目的，成语“自相矛盾”中，“以子之矛攻子之盾”正是采用了反证法。
运用反证法的关键在于归谬，因此，反证法又称为归谬法，数学家哈代指出：“反证法，是数学家最精良的武器.”数学教育家波利亚指出：“归谬法是利用导出一个明显的谬误来证明假设不成立，归谬法是一个数学过程，它和讽刺家所爱好的做法—反话，有几分相似，反话，很明显地采纳某个见解，强调它并且过分强调它，直到产生一个明显的谬误.”
第（1）问和第（2）问，题中涉及“至少”“至多”问题，若从正面证，则结论较多，而结论的反面较少或单一,用反证法证明为宜.第（1）问,即假设与都不小于2,推出与已知条件予盾的结论,从而否定反证假设.第(2)问假设,从而推出一个谬误的结果.第(3)问,方程有唯一解的反面是至少有两解,通过三角恒等变形推出两个相予盾的结果.第（4）问的证明有难度:一是正确写出拈论的否定形式,二是当拈论的反面不是一种情况时,该如何证明.破解第一个难点,必须熟知命题“且”的否定命题“→p或",对本题而言,结论“且“的否定形式是“或”(注意逻辑关系词“且”“或”);破解第二个难点,分及进行讨论,并逐一推出矛盾.
【解析】证明（1）假设与都不小于2,即且.
因为,所以且,则.就得到,这与已知条件矛盾.
因此,两数与都不小于2是不可能的,即这两个数与中至少有一个小于2.
(2)假设都不大于零,即,且,即
整理得,此式显然不成立,故假设不成立,所以中至少有一个大于零.
（3）设方程至少有两解,则
①一②得
③
另一方面,由,知,这与③式矛盾,假设不成立,原命题成立.
所以只有唯一解.
（4）假设或.
①当时,由,得,显然,由题意得在上是单调函数,所以的最大值为,最小值为,由已知条件得,这与相矛盾,所以.
②当时,由二次函数的对称轴为直线知在上是单调函数,故其最值在区间的端点处取得.
所以或且
则此时无解,所以.
由①②得且.
【例3】设是公比为的等比数列.
（1）推导的前项和公式;
(2)设,证明数列不是等比数列.
【分析】第（1）问,体现回归课本的导向,要注意对及的分类讨论.
第（2）问,可采用反证法,也可用特例否定法,即证明这3项无法成等比数列,从等比数列的定义上作否定.
【解析】(1）设的前项和为.
当公比时,;
当时,①
②
①-②得,且,所以.
综上,
（2）假设数列是等比数列,则对任意正整数,有,
即,
即•
又因为,所以,由,得,则.
这与已知条件矛盾,假设不成立,因此数列不是等比数列.
【例4】已知函数,且).
(1)证明:函数的图像关于点对称,并求的值;
(2)令对一切正整数都成立,猜想成立的最小正整数,并证明取最小值时成立;
(3)求证:.
【分析】本例三小题的证明运用直接法来证，第（1）问，对称的关系化归为函数式的表述,并依此规律求出的值.第（2）问,依第（1）问的结论化简,再对的最小正整数作出猜想,再用演绎推理进行证明,从而告诉我们,归纳猜想类数学问题,若猜想的结果与自然数无关,通常不用数学归纳法,本小题通过构造函数,运用函数性质进行证明.第（3）问要利用第（2）问中的结果来证,本例三小题环环相扣、层层推理,有利于提升学生数学核心素养.
【解析】证明(1)设点在函数的图像上,若点是其关于点的对称点,则,且.
即,且.
且
关于点对称.
故有
由此可猜想:,对一切有成立.
这个猜想当取最小值时成立,即,证明如下：
构造函数,则,易知在上单调递增,
在上恒成立.
从而在上递增.
又,即,显然当时,亦有
故对一切正整数,恒有,从而.
(3)由知.
取,得个不等式,再将它们相加得
即
.