2023年山东省济南市莱芜区中考三模数学试题(含答案)

数学学科素养展示（一）

本试题共8页，分选择题部分和非选择题部分，选择题部分满分为40分，非选择题部分满分为110分，全卷满分为150分，考试时间为120分钟．

答题前，请考生务必将自己的学校、班级、姓名、座位号写在答题卡的规定位置．

答题时，选择题部分每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．非选择题部分，用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上题号所提示的答题区域作答，直接在试题上作答无效．

本考试不允许使用计算器，考试结束后，将本试题和答题卡一并交回．

选择题部分  共40分

一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

1．16的算术平方根是（    ）

A．4     B．-4     C．±4     D．8

2．如图，以下给出的几何体中，其主视图是矩形，俯视图是圆的是（    ）

A．   B．   C．    D．

3．根据第七次人口普查的主要数据显示，莱芜区目前的常住人口是97万人．97万用科学记数法可表示为（    ）

A．    B．    C．     D．

4．如图，点P是∠AOB的角平分线OC上一点，点Q是OA上一点，且，若，则线段OQ的长是（    ）

A．1.8     B．2.5     C．3     D．2

5．下列图形中是中心对称但不是轴对称的图形是（    ）

A．   B．   C．  D．

6．如图，在数轴上，点A、B分别表示a、b，且，若，则点A表示的数为（    ）

A．-4     B．0     C．4     D．-8

7．小颖同学统计去年1～8月“书香校园”活动中全班同学的课外阅读数量（单位：本）， 绘制了如图折线统计图，下列说法正确的是（    ）

A．最大值与最小值的差是47     B．众数是42

C．中位数是58        D．每月阅读数量超过40的有4个月

8．已知m，n，5分别是等腰三角形（非等边三角形）三边的长，且m，n分别是关于x的一元二次方程的两个根，则k的值等于（    ）

A．3     B．5或9   C．5      D．9

9．如图，在中，∠BAC=90°，分别以B，C为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点M、N，作直线MN交AC于E，交BC于D，连接AD．若，AE=2，则AD=（    ）

A．      B．2     C．     D．

10．新定义：若两个函数图象有公共点，则称这两个函数图象为牵手函数．已知抛物线与线段是牵手函数，则m的取值范围是（    ）

A．     B．    C．或   D．

数学学科素养展示（一）

非选择题部分  共110分

二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．请直接填写答案．）

11．因式分解：______．

12．如果小球在如图所示的地板上自由的滚动，并随机停留在某块方砖上，那么它最终停留在阴影区域的概率是______．

13．代数式比代数式大1，则______．

14．某快递公司每天上午9:30—10:50为集中揽件和派件时段，甲仓库用来揽收快件，乙仓库用来派发快件，该时段内甲、乙两仓库的快件数量y（件）与时间x（分）之间的函数图象如图所示，那么从9：30开始，经过_______分钟时，两仓库的快递件数相同．

15．如图，折叠矩形纸片ABCD，使点D落在AB边的点M处，EF为折痕，AB=1，AD=2．则四边形CDEF面积的最小值是______．

16．如图，，，，，…，按照这样的规律下去，点的坐标为______．

三、解答题（本大题共10小题，共86分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）

17．（本题满分6分）

计算：．

18．（本题满分6分）

解不等式组，并指出它所有的非负整数解．

19．（本题满分6分）

如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，于点M，于点N，求证：．

20．（本题满分8分）

某校为了提高学生学习数学的兴趣，举办了数学竞赛活动，从八年级随机抽取了m名学生的竞赛成绩进行整理、描述和分析，部分信息如下：

数据分成5组，

A：，B：，C：，D：，E：

C组的数据是：

120，122，127，123，128，125，126，123，127，128，125，128，129，129

请结合以上信息，回答下列问题：

（1）______，并补全频数分布直方图；

（2）C组数据的众数是______，抽取的50名学生竞赛成绩的中位数是______；

（3）B组对应的扇形圆心角为______度；

（4）八年级学生参加竞赛的有300人，请你估计八年级竞赛成绩120分及以上的学生人数．

21．（本题满分8分）

如图，某数学研究小组测量山体AC的高度，在点B处测得山顶A的仰角为45°，沿BC方向前行34米至点D处，斜坡DE的坡比为1∶2，在观景台E处测得山顶A的仰角为58°，且点E到水平地面BC的垂直距离EF为8米，点B、D、C在一条直线上，AB，AE，AC在同一竖直平面内．

（1）求斜坡DE的水平宽度DF的长；

（2）求山体AC的高度大约为多少米．

（参考数据：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60，）

22．（本题满分8分）

如图，在中，以AB为直径的与BC相交于点D，过点D作的切线交AC于点E．．

（1）求证：；

（2）若的直径为13，BC=24，求DE的长．

23．（本题满分10分）

某商场分两次购进应季服装，第一次用4800元购进服装，由于服装特别畅销，很快全部售完．于是又用9000元购进了第二批服装，第二次的服装数量是第一次服装数量的，购进单价比第一次上涨了20元．

（1）第一批和第二批服装的购进单价各是多少？

（2）商场在销售第二批服装时，库存剩余40件，全部打八折出售，若想全部售完，第二批服装的利润不低于5200元，则第二批服装售价至少定为多少元？

24．（本题满分10分）

如图，一次函数的图象与x轴交于点，与反比例函数的图象交于点，过直线AE上的点B作轴于点C，与反比例函数交于点，连接AD，DE．

（1）求k的值与B点坐标；

（2）求；

（3）若点P是直线AB上的动点，是否存在点P，使得与相似？若存在，求出此时P点的坐标；若不存在，请说明理由．

25．（本题满分12分）

某校数学兴趣小组对图形的旋转问题进行了深入探究．

专题探究

已知中，，，点M是线段AC上的一点，N是线段BC上的点，，交AC于点Q，将线段MN绕点M顺时针旋转度，得到线段MP，连接PN，PC．

（1）如图1，当时，直接写出线段PC与MQ的数量关系______；

（2）如图2，当时，判断线段PC与MQ的数量关系，并给出证明；

变式应用

（3）如图3，在中，，，，M是上的任意一点，连接，将绕点按顺时针方向旋转90°，得到线段，连接．求线段的最小值．

26．（本题满分12分）

如图，抛物线交y轴于点，并经过点，抛物线的对称轴为直线x=2，过点A作轴交抛物线于点B，点D的坐标为，连接AD，BD．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若点E从A出发，以每秒个单位长度的速度沿着射线AD运动，设点E的运动时间为m秒，过点E作于F，以EF为对角线作正方形FGEH．当点G随着E点运动到达抛物线上时，求此时m的值；

（3）在运动的过程中，是否存在以B，G，C为顶点的三角形是直角三角形，如果存在，请求出G点的坐标，若不存在，请说明理由．

数学学科素养展示（一）参考答案及评分意见

一、选择题（每小题4分，共40分）

二、填空题（每小题4分，共24分）

11．    12．    13．4    14．    15．    16．

三、解答题

17．解：原式

18．解：解不等式①，得；

解不等式②，得；

∴不等式组的解集是：；

它的非负整数解：0，1，2．

19．证明：∵四边形ABCD是矩形，∴，，，∴，

∵，，∴，

∵，∴，

∴．

20．解：（1）50；（2）128；127.5；（3）72°；

（4）∵，

∴估计八年级竞赛成绩120分及以上的学生人数是204人．

21．解：过点E作，垂足为G，

（1）∵，斜坡DE的坡比为1∶2，EF=8米，∴DF=16米，

答：斜坡DE的水平宽度16米；

（2）∵∠B=45°，∠C=90°，∴∠BAC=45°，∴，

∵，∴四边形EFCG是矩形，

设，∵BD=34，DF=16，∴，

∵，∴，

在中，，，解得，

经检验，是方程的根，

答：山体AC的高度120米．

22．（1）证明：连接OD，

∵OD是圆的半径，DE是的切线．∴．

∵．∴，∴．

∵，∴．∴，∴；

（2）解：连接AD，∵AB为直径，∴∠ADB=90°，，∴，

∵的直径为13，BC=24，∴，CD=12，

∴，

∵，∴．

23．解：（1）设第一批服装的单价是x元，则第二批服装的单价是元，

，解得：x=40，

经检验：x=40是原方程的解，元，

答：第一批和第二批服装的购进单价分别是40元和60元；

（2）设第二批服装的售价定为m元，

第二批购进数量：9000÷60=150件，

，解得，

答：第二批服装售价至少定为100元．

24．解：（1）将代入，，解得：b=1，

将代入，解得a=2，∴，

将代入，解得k=4，∴，

将x=4代入，解得y=3，∴；

（2）；

（3）∵，，，∴BD=2，BC=3，，

①当时，，，

∵，∴，

此时，此时，

②当时，，，，

，，此时，

综上，当或时相似．

25．解：（1）①；

（2）；

∵，∠BAC=120°，，

∴，，，

∵线段MN绕点M顺时针旋转度，得到线段MP，，

∴，，∴，

∴，，∴，∴；

（3）∵，，，，

∴，∵，，

∴ ，

在线段上截取，连接MP，

∴（SAS），

∴，∴当MP的值最小时，的值最小，

作于H，在中，

∵，，

∴，根据垂线段最短可知，

当点M与H重合时，PM的值最小，即的值最小，

∴的最小值为．

26．解：（1）∵抛物线过点，对称轴：x=2，

∴与x轴另一个交点为，∴设抛物线：，

将代入，，解得：，

∴抛物线的解析式为：，即：；

（2）∵，，，

∴是等腰直角三角形，∴∠BAD=45°，∵，

∴是等腰直角三角形，由题意得，则，

连接HG与EF交于I，在正方形EGFH中，，

则，，

∴，

将G点坐标代入中，

整理得：，解得：，，

∴时，G点能到达抛物线，

（3）∵，，，

∴，，

，

，

①若，则，

解得：，此时，

②若，则，

整理得：，解得：，，

此时，，

③若，，解得：，

此时，

综上所述：点G的坐标是，，，．