中考数学二轮复习重难点复习题型03 方程应用 类型三 二次方程（专题训练）（2份打包，原卷版+解析版）

题型三 方程应用

类型三 二次方程（专题训练）

1.（2022·重庆）学校连续三年组织学生参加义务植树，第一年共植树400棵，第三年共植树625棵．设该校植树棵数的年平均增长率为x，根据题意，下列方程正确的是（       ）

A．   B．   C．   D．

【答案】B

【分析】第一年共植树400棵，第二年植树400（1+x）棵，第三年植树400（1+x）²棵，再根据题意列出方程即可．

【详解】第一年植树为400棵，第二年植树为400（1+x）棵，第三年400（1+x）²棵，根据题意列出方程：．故选：B．

【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，属于增长率的常规应用题，解决此类题目要多理解、练习增长率相关问题．

2.（2022·重庆）小区新增了一家快递店，第一天揽件200件，第三天揽件242件，设该快递店揽件日平均增长率为，根据题意，下面所列方程正确的是（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】平均增长率为x，关系式为：第三天揽件量＝第一天揽件量×（1＋平均增长率）2，把相关数值代入即可．

【详解】解：由题意得：第一天揽件200件，第三天揽件242件，

∴可列方程为：，故选：A．

【点睛】此题考查一元二次方程的应用，得到三天的揽件量关系式是解决本题的突破点，难度一般．

3.（2022·新疆）临近春节的三个月，某干果店迎来了销售旺季，第一个月的销售额为8万元，第三个月的销售额为11.52万元，设这两个月销售额的月平均增长率为x，则根据题意，可列方程为（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】设这两个月销售额的月平均增长率为x，则第二个月的销售额是万元，第三个月的销售额为万元，即可得．

【详解】解：设这两个月销售额的月平均增长率为x，则第二个月的销售额是万元，第三个月的销售额为万元，∴故选C．

【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是能够求出第二个月的销售额和第三个月的销售额．

4.（2022·山东泰安）我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，遣人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株楼后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为x株，则符合题意的方程是（       ）

A．   B．  C．   D．

【答案】A

【分析】设这批椽的数量为x株，则一株椽的价钱为3（x−1）文，利用总价＝单价×数量，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．

【详解】解：∵这批椽的数量为x株，每株椽的运费是3文，少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，∴一株椽的价钱为3（x−1）文，依题意得：3（x−1）x＝6210，故选：A．

【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．

5.（2021·黑龙江鹤岗市·中考真题）有一个人患了流行性感冒，经过两轮传染后共有144人患了流行性感冒，则每轮传染中平均一个人传染的人数是（    ）

A．14 B．11 C．10 D．9

【答案】B

【分析】

设每轮传染中平均一个人传染了x个人，由题意可得，然后求解即可．

【详解】

解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人，由题意可得：

，

解得：（舍去），

故选B．

【点睛】

本题主要考查一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程的应用是解题的关键．

6．（2021·内蒙古通辽市·中考真题）随着互联网技术的发展，我国快递业务量逐年增加，据统计从2018年到2020年，我国快递业务量由507亿件增加到833.6亿件，设我国从2018年到2020年快递业务量的年平均增长率为x，则可列方程为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】

根据题意，业务量由507亿件增加到833.6亿件，2020年快递业务量为833.6亿件，逐年分析即可列出方程．

【详解】

设从2018年到2020年快递业务量的年平均增长率为x，

2018年我国快递业务量为：507亿件，

2019年我国快递业务量为：=亿件，

2020年我国快递业务量为：+，

根据题意，得：

故选C．

【点睛】

本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出一元二次方程．

7.（2021·福建中考真题）某市2018年底森林覆盖率为63%．为贯彻落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念，该市大力开展植树造林活动，2020年底森林覆盖率达到68%，如果这两年森林覆盖率的年平均增长率为x，那么，符合题意的方程是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】

设年平均增长率为x，根据2020年底森林覆盖率＝2018年底森林覆盖率乘，据此即可列方程求解．

【详解】

解：设年平均增长率为x，由题意得：

，

故选：B．

【点睛】

此题主要考查了一元二次方程的应用，关键是根据题意找到等式两边的平衡条件，列出方程即可．

8.（2021·湖北襄阳市·中考真题）随着生产技术的进步，某制药厂生产成本逐年下降．两年前生产一吨药的成本是5000元，现在生产一吨药的成本是4050元．设生产成本的年平均下降率为，下面所列方程正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】

根据题意找到对应的等量关系：2年前的生产成本×（1-下降率）²=现在的生产成本，把相关的数据带入计算即可.

【详解】

设这种药品的成本的年平均下降率为x，根据题意得：

故选：C.

【点睛】

本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是能从题意中找到对应的等量关系.

9.（2020·广西河池?中考真题）某年级举办篮球友谊赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，共要比赛36场，则参加此次比赛的球队数是（　　）

A．6 B．7 C．8 D．9

【答案】D

【解析】

【分析】

根据球赛问题模型列出方程即可求解．

【详解】

解：设参加此次比赛的球队数为x队，根据题意得：

x（x﹣1）＝36，

化简，得x2﹣x﹣72＝0，

解得x1＝9，x2＝﹣8（舍去），

答：参加此次比赛的球队数是9队．

故选：D．

【点睛】

本题考查了一元二次方程的应用，解决本题的关键是掌握一元二次方程应用问题中的球赛问题．

10.（2022·浙江杭州）某网络学习平台2019年的新注册用户数为100万，2021年的新注册用户数为169万，设新注册用户数的年平均增长率为x（），则_________（用百分数表示）．

【答案】30%

【分析】由题意：2019年的新注册用户数为100万，2021年的新注册用户数为169万，即可列出关于x的一元二次方程，解方程即可．

【详解】解：设新注册用户数的年平均增长率为x（），则2020年新注册用户数为100（1+x）万，2021年的新注册用户数为100（1+x）2万户，

依题意得100（1+x）2=169，

解得：x1=0.3，x2=-2.3（不合题意舍去），

∴x=0.3=30%，故答案为：30%．

【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．

11.（2021·江苏盐城市·中考真题）劳动教育己纳入人才培养全过程，某学校加大投入，建设校园农场，该农场一种作物的产量两年内从300千克增加到363千克．设平均每年增产的百分率为，则可列方程为________．

【答案】

【分析】

此题是平均增长率问题，一般用增长后的量＝增长前的量×（1+增长率），结合本题，如果设平均每年增产的百分率为x，根据“粮食产量在两年内从300千克增加到363千克”，即可得出方程．

【详解】

解：设平均每年增产的百分率为x；

第一年粮食的产量为：300（1+x）；

第二年粮食的产量为：300（1+x）（1+x）＝300（1+x）2；

依题意，可列方程：300（1+x）2＝363；

故答案为：300（1+x）2＝363．

【点睛】

本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程中求平均变化率的方法．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2＝b．

12．（2021·四川宜宾市·中考真题）据统计，2021年第一季度宜宾市实现地区生产总值约652亿元，若使该市第三季度实现地区生产总值960亿元，设该市第二、三季度地区生产总值平均增长率为x，则可列方程__________．

【答案】

【分析】

根据题意，第一季度地区生产总值平均增长率第三季度地区生产总值，按照数量关系列方程即可得解．

【详解】

解：根据题意，第一季度地区生产总值平均增长率第三季度地区生产总值

列方程得：，

故答案为：．

【点睛】

本题主要考查了增长率的实际问题，熟练掌握相关基本等量关系是解决本题的关键．

13．（2021·山东枣庄市·中考真题）若等腰三角形的一边长是4，另两边的长是关于的方程的两个根，则的值为______．

【答案】8或9

【分析】

分4为等腰三角形的腰长和4为等腰三角形的底边长两种情况，再利用一元二次方程根的定义、根的判别式求解即可得．

【详解】

解：由题意，分以下两种情况：

（1）当4为等腰三角形的腰长时，则4是关于的方程的一个根，

因此有，

解得，

则方程为，解得另一个根为，

此时等腰三角形的三边长分别为，满足三角形的三边关系定理；

（2）当4为等腰三角形的底边长时，则关于的方程有两个相等的实数根，

因此，根的判别式，

解得，

则方程为，解得方程的根为，

此时等腰三角形的三边长分别为，满足三角形的三边关系定理；

综上，的值为8或9，

故答案为：8或9．

【点睛】

本题考查了一元二次方程根的定义、根的判别式、等腰三角形的定义等知识点，正确分两种情况讨论是解题关键．需注意的是，要检验三边长是否满足三角形的三边关系定理．

14.（2022·四川眉山）建设美丽城市，改造老旧小区．某市2019年投入资金1000万元，2021年投入资金1440万元，现假定每年投入资金的增长率相同．

(1)求该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率；

(2)2021年老旧小区改造的平均费用为每个80万元．2022年为提高老旧小区品质，每个小区改造费用增加15%．如果投入资金年增长率保持不变，求该市在2022年最多可以改造多少个老旧小区？

【答案】(1)20%  (2)18个

【分析】（1）先设该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为，根据2019年投入资金2021年投入的总资金，列出方程求解即可；

（2）由（1）得出的资金年增长率求出2022年的投入资金，然后2022年改造老旧小区的总费用要小于等于2022年投入资金，列出不等式求解即可．

【解析】(1)解：设该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为，

根据题意得：，解这个方程得，，，

经检验，符合本题要求．

答：该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为20%．

(2)设该市在2022年可以改造个老旧小区，

由题意得：，解得．

∵为正整数，∴最多可以改造18个小区．

答：该市在2022年最多可以改造18个老旧小区．

【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，不等式的应用，解决此题的关键是找到相应的等量关系和相应的不等关系，列出正确的方程和不等式．

15.（2022·湖北宜昌）某造纸厂为节约木材，实现企业绿色低碳发展，通过技术改造升级，使再生纸项目的生产规模不断扩大．该厂3，4月份共生产再生纸800吨，其中4月份再生纸产量是3月份的2倍少100吨．(1)求4月份再生纸的产量；(2)若4月份每吨再生纸的利润为1000元，5月份再生纸产量比上月增加．5月份每吨再生纸的利润比上月增加，则5月份再生纸项目月利润达到66万元．求的值；(3)若4月份每吨再生纸的利润为1200元，4至6月每吨再生纸利润的月平均增长率与6月份再生纸产量比上月增长的百分数相同，6月份再生纸项目月利润比上月增加了．求6月份每吨再生纸的利润是多少元？

【答案】(1)4月份再生纸的产量为500吨(2)的值20(3)6月份每吨再生纸的利润是1500元

【分析】（1）设3月份再生纸产量为吨，则4月份的再生纸产量为吨，然后根据该厂3，4月份共生产再生纸800吨，列出方程求解即可；

（2）根据总利润=每一吨再生纸的利润×数量列出方程求解即可；

（3）设4至6月每吨再生纸利润的月平均增长率为，5月份再生纸的产量为吨，根据总利润=每一吨再生纸的利润×数量列出方程求解即可；

【解析】(1)解：设3月份再生纸产量为吨，则4月份的再生纸产量为吨，

由题意得：，解得：，∴，

答：4月份再生纸的产量为500吨；

(2)解：由题意得：，

解得：或（不合题意，舍去）

∴，∴的值20；

(3)解：设4至6月每吨再生纸利润的月平均增长率为，5月份再生纸的产量为吨，

∴

答：6月份每吨再生纸的利润是1500元．

【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，一元二次方程的应用，正确理解题意，列出方程求解是解题的关键．

16.（2021·湖南张家界市·中考真题）2021年是中国共产党建党100周年，全国各地积极开展“弘扬红色文化，重走长征路”主题教育学习活动，我市“红二方面军长征出发地纪念馆”成为重要的活动基地．据了解，今年3月份该基地接待参观人数10万人，5月份接待参观人数增加到12.1万人．

（1）求这两个月参观人数的月平均增长率；

（2）按照这个增长率，预计6月份的参观人数是多少？

【答案】（1）10%；（2）13.31万

【分析】

（1）设这两个月参观人数的月平均增长率为，根据题意列出等式解出即可；

（2）直接利用（1）中求出的月平均增长率计算即可．

【详解】

（1）解：设这两个月参观人数的月平均增长率为，

由题意得：，

解得：，（不合题意，舍去），

答：这两个月参观人数的月平均增长率为．

（2）（万人），

答：六月份的参观人数为13.31万人．

【点睛】

本题考查了二次函数和增长率问题，解题的关键是：根据题目条件列出等式，求出增长率，再利用增长率来预测．

17．（2021·山东东营市·中考真题）“杂交水稻之父”——袁隆平先生所率领的科研团队在增产攻坚第一阶段实现水箱亩产量700公斤的目标，第三阶段实现水稻亩产量1008公斤的目标．

（1）如果第二阶段、第三阶段亩产量的增长率相同，求亩产量的平均增长率；

（2）按照（1）中亩产量增长率，科研团队期望第四阶段水稻亩产量达到1200公斤，请通过计算说明他们的目标能否实现．

【答案】（1）20%；（2）能

【分析】

（1）设亩产量的平均增长率为x，依题意列出关于x的一元二次方程，求解即可；

（2）根据（1）求出的平均增长率计算第四阶段亩产量即可．

【详解】

解：（1）设亩产量的平均增长率为x，根据题意得：

，

解得：，（舍去），

答：亩产量的平均增长率为20%．

（2）第四阶段的亩产量为（公斤），

∵，

∴他们的目标可以实现．

【点睛】

本题主要考查由实际问题抽象出一元二次方程，掌握2次变化的关系式是解决本题的关键．

18.（2021·辽宁本溪市·中考真题）某网店销售一款市场上畅销的蒸蛋器，进价为每个40元，在销售过程中发现，这款蒸蛋器销售单价为60元时，每星期卖出100个．如果调整销售单价，每涨价1元，每星期少卖出2个，现网店决定提价销售，设销售单价为x元，每星期销售量为y个．

（1）请直接写出y（个）与x（元）之间的函数关系式；

（2）当销售单价是多少元时，该网店每星期的销售利润是2400元？

（3）当销售单价是多少元时，该网店每星期的销售利润最大？最大利润是多少元？

【答案】（1）y=-2x+220；（2）当销售单价是70元或80元时，该网店每星期的销售利润是2400元；（3）当销售单价是75元时，该网店每星期的销售利润最大，最大利润是2450元．

【分析】

（1）根据题意中销售量y（个）与售价x（元）之间的关系即可得到结论；

（2）根据题意列出方程（-2x+220）（x-40）=2400，解方程即可求解；

（3）设每星期利润为w元，构建二次函数模型，利用二次函数性质即可解决问题．

【详解】

（1）由题意可得，y=100-2（x-60）=-2x+220；

（2）由题意可得，

（-2x+220）（x-40）=2400，

解得，，，

∴当销售单价是70元或80元时，该网店每星期的销售利润是2400元．

答：当销售单价是70元或80元时，该网店每星期的销售利润是2400元．

（3）设该网店每星期的销售利润为w元，由题意可得

w=（-2x+220）（x-40）=，

当时，w有最大值，最大值为2450，

∴当销售单价是75元时，该网店每星期的销售利润最大，最大利润是2450元．

答：当销售单价是75元时，该网店每星期的销售利润最大，最大利润是2450元．

【点睛】

本题考查了二次函数的应用，解题的关键是构建二次函数模型，利用二次函数的性质解决最值问题．

19.（2020·重庆中考真题）为响应“把中国人的饭碗牢牢端在自己手中”的号召，确保粮食安全，优选品种，提高产量，某农业科技小组对A、B两个玉米品种进行实验种植对比研究．去年A、B两个品种各种植了10亩．收获后A、B两个品种的售价均为2.4元/kg，且B品种的平均亩产量比A品种高100千克，A、B两个品种全部售出后总收入为21600元．

（1）求A、B两个品种去年平均亩产量分别是多少千克？

（2）今年，科技小组优化了玉米的种植方法，在保持去年种植面积不变的情况下，预计A、B两个品种平均亩产量将在去年的基础上分别增加a%和2a%．由于B品种深受市场欢迎，预计每千克售价将在去年的基础上上涨a%，而A品种的售价保持不变，A、B两个品种全部售出后总收人将增加，求a的值．

【答案】（1）A品种去年平均亩产量是400、B品种去年平均亩产量是500千克；（2）10．

【解析】

【分析】

（1）设A、B两个品种去年平均亩产量分别是x、y千克，根据题意列出方程组，解方程组即可得到答案；

（2）根据题意分别表示A品种、B品种今年的收入，利用总收入等于A品种、B品种今年的收入之和，列出一元二次方程求解即可得到答案．

【详解】

（1）设A、B两个品种去年平均亩产量分别是x、y千克，由题意得

，

解得．

答：A．B两个品种去年平均亩产量分别是400、500千克

（2）根据题意得：．

令a%=m，则方程化为：．

整理得10m2-m=0，

解得：m1=0（不合题意，舍去），m2=0.1

所以a%=0.1，所以a=10，

答：a的值为10．

【点睛】

本题考查的是二元一次方程组的应用，一元二次方程的应用，掌握列方程或方程组解应用题的方法与步骤是解题的关键．

20.（2020·江苏宿迁?中考真题）某超市经销一种商品，每千克成本为50元，经试销发现，该种商品的每天销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）满足一次函数关系，其每天销售单价，销售量的四组对应值如下表所示：

（1）求y（千克）与x（元/千克）之间的函数表达式；

（2）为保证某天获得600元的销售利润，则该天的销售单价应定为多少？

（3）当销售单价定为多少时，才能使当天的销售利润最大？最大利润是多少？

【答案】（1）；（2）60元/千克或80元/千克；（3）70元/千克；800元

【解析】

【分析】

（1）利用待定系数法来求一次函数的解析式即可；

（2）依题意可列出关于销售单价x的方程，然后解一元二次方程组即可；

（3）利用每件的利润乘以销售量可得总利润，然后根据二次函数的性质来进行计算即可．

【详解】

解：（1）设y与x之间的函数表达式为（），将表中数据（55，70）、（60，60）代入得：

，

解得：，

∴y与x之间的函数表达式为；

（2）由题意得：，

整理得，

解得，

答：为保证某天获得600元的销售利润，则该天的销售单价应定为60元/千克或80元/千克；

（3）设当天的销售利润为w元，则：

，

∵﹣2＜0，

∴当时，w最大值=800．

答：当销售单价定为70元/千克时，才能使当天的销售利润最大，最大利润是800元．

【点睛】

本题考查了待定系数法求一次函数的解析式、一元二次方程和二次函数在实际问题中的应用，理清题中的数量关系是解题的关键．

21.（2019•广州）随着粤港澳大湾区建设的加速推进，广东省正加速布局以5G等为代表的战略性新兴产业，据统计，目前广东5G基站的数量约1.5万座，计划到2020年底，全省5G基站数是目前的4倍，到2022年底，全省5G基站数量将达到17.34万座．

（1）计划到2020年底，全省5G基站的数量是多少万座？

（2）按照计划，求2020年底到2022年底，全省5G基站数量的年平均增长率．

【答案】

（1）计划到2020年底，全省5G基站的数量是6万座．

（2）2020年底到2022年底，全省5G基站数量的年平均增长率为70%．

【解析】

（1）1.5×4=6（万座）．

答：计划到2020年底，全省5G基站的数量是6万座．

（2）设2020年底到2022年底，全省5G基站数量的年平均增长率为x，

根据题意，得：6（1+x）2=17.34，

解得：x1=0.7=70%，x2=–2.7（舍去）．

答：2020年底到2022年底，全省5G基站数量的年平均增长率为70%．

【名师点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．