中考数学二轮复习重难点复习题型06 几何最值（专题训练）（2份打包，原卷版+解析版）

题型六几何最值（专题训练）

1.如图，△ABC中，AB＝AC＝10，tanA＝2，BE⊥AC于点E，D是线段BE上的一个动点，则的最小值是(     )

【答案】B

【详解】

如图，作DH⊥AB于H，CM⊥AB于M．

∵BE⊥AC，

∴∠AEB=90°，

∵tanA==2，设AE=a，BE=2a，

则有：100=a2+4a2，

∴a2=20，

∴a=2或-2（舍弃），

∴BE=2a=4，

∵AB=AC，BE⊥AC，CM⊥AB，

∴CM=BE=4（等腰三角形两腰上的高相等））

∵∠DBH=∠ABE，∠BHD=∠BEA，

∴，

∴DH=BD，

∴CD+BD=CD+DH，

∴CD+DH≥CM，

∴CD+BD≥4，

∴CD+BD的最小值为4．

故选B．

2.如图，在中，，，，点O是AB的三等分点，半圆O与AC相切，M，N分别是BC与半圆弧上的动点，则MN的最小值和最大值之和是（    ）

A．5 B．6 C．7 D．8

【答案】B

【详解】

如图，设⊙O与AC相切于点D，连接OD，作垂足为P交⊙O于F，

此时垂线段OP最短，PF最小值为，

∵，，

∴

∵，

∴

∵点O是AB的三等分点，

∴，，

∴，

∵⊙O与AC相切于点D，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴MN最小值为，

如图，当N在AB边上时，M与B重合时，MN经过圆心，经过圆心的弦最长，

MN最大值，

,

∴MN长的最大值与最小值的和是6．

故选B．

3.如图，在矩形纸片ABCD中，，，点E是AB的中点，点F是AD边上的一个动点，将沿EF所在直线翻折，得到，则的长的最小值是　　

A． B．3 C． D．

【答案】D

【详解】

以点E为圆心，AE长度为半径作圆，连接CE，当点在线段CE上时，的长取最小值，如图所示，

根据折叠可知：．

在中，，，，

，

的最小值．

故选D．

4.如图，四边形ABCD是菱形，AB=4，且∠ABC=∠ABE=60°，G为对角线BD（不含B点）上任意一点，将△ABG绕点B逆时针旋转60°得到△EBF，当AG+BG+CG取最小值时EF的长（　　）

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】

解：如图，

∵将△ABG绕点B逆时针旋转60°得到△EBF，

∴BE=AB=BC，BF=BG，EF=AG，

∴△BFG是等边三角形．

∴BF=BG=FG，．

∴AG+BG+CG=FE+GF+CG．

根据“两点之间线段最短”，

∴当G点位于BD与CE的交点处时，AG+BG+CG的值最小，即等于EC的长，

过E点作EF⊥BC交CB的延长线于F，

∴∠EBF=180°-120°=60°，

∵BC=4，

∴BF=2，EF=2，在Rt△EFC中，

∵EF2+FC2=EC2，

∴EC=4．

∵∠CBE=120°，

∴∠BEF=30°，

∵∠EBF=∠ABG=30°，

∴EF=BF=FG，

∴EF=CE=，

故选：D．

5.如图，中，，，，是内部的一个动点，且满足，则线段长的最小值为________.

【答案】2：

【详解】

∵∠PAB+∠PBA=90°

∴∠APB=90°

∴点P在以AB为直径的弧上（P在△ABC内）

设以AB为直径的圆心为点O，如图

接OC，交☉O于点P，此时的PC最短

∵AB=6，

∴OB=3

∵BC=4

∴

∴PC=5-3=2

6.如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC上一点，且BE=1，F为AB边上的一个动点，连接EF，以EF为边向右侧作等边△EFG，连接CG，则CG的最小值为　　．

【分析】同样是作等边三角形，区别于上一题求动点路径长，本题是求CG最小值，可以将F点看成是由点B向点A运动，由此作出G点轨迹：

考虑到F点轨迹是线段，故G点轨迹也是线段，取起点和终点即可确定线段位置，初始时刻G点在位置，最终G点在位置（不一定在CD边），即为G点运动轨迹．

CG最小值即当CG⊥的时候取到，作CH⊥于点H，CH即为所求的最小值．

根据模型可知：与AB夹角为60°，故⊥．

过点E作EF⊥CH于点F，则HF==1，CF=，

所以CH=，因此CG的最小值为．

7.如图，矩形中，，，点是矩形内一动点，且，则的最小值为_____．

【答案】

【详解】

为矩形，

又

点到的距离与到的距离相等，即点线段垂直平分线上，

连接，交与点，此时的值最小，

且

故答案为：

8.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝5，点P是AC上的动点，连接BP，以BP为边作等边△BPQ，连接CQ，则点P在运动过程中，线段CQ长度的最小值是______．

【答案】．

【详解】

解：如图，取AB的中点E，连接CE，PE．

∵∠ACB=90°，∠A=30°，
∴∠CBE=60°，
∵BE=AE，
∴CE=BE=AE，
∴△BCE是等边三角形，
∴BC=BE，
∵∠PBQ=∠CBE=60°，
∴∠QBC=∠PBE，
∵QB=PB，CB=EB，
∴△QBC≌△PBE（SAS），
∴QC=PE，
∴当EP⊥AC时，QC的值最小，
在Rt△AEP中，∵AE=，∠A=30°，
∴PE=AE=，
∴CQ的最小值为．

故答案为：

9.如图，在正方形ABCD中，AB＝8，AC与BD交于点O，N是AO的中点，点M在BC边上，且BM＝6．P为对角线BD上一点，则PM﹣PN的最大值为　　．

【答案】2

【分析】作以BD为对称轴作N的对称点N'，连接PN'，MN'，依据PM﹣PN＝PM﹣PN'≤MN'，可得当P，M，N'三点共线时，取“＝”，再求得＝，即可得出PM∥AB∥CD，∠CMN'＝90°，再根据△N'CM为等腰直角三角形，即可得到CM＝MN'＝2．

【解答】解：如图所示，作以BD为对称轴作N的对称点N'，连接PN'，MN'，

根据轴对称性质可知，PN＝PN'，

∴PM﹣PN＝PM﹣PN'≤MN'，

当P，M，N'三点共线时，取“＝”，

∵正方形边长为8，

∴AC＝AB＝，

∵O为AC中点，

∴AO＝OC＝，

∵N为OA中点，

∴ON＝，

∴ON'＝CN'＝，

∴AN'＝，

∵BM＝6，

∴CM＝AB﹣BM＝8﹣6＝2，

∴＝

∴PM∥AB∥CD，∠CMN'＝90°，

∵∠N'CM＝45°，

∴△N'CM为等腰直角三角形，

∴CM＝MN'＝2，

即PM﹣PN的最大值为2，

故答案为：2．

【点评】本题主要考查了正方形的性质以及最短路线问题，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．

10.如图，是等边三角形，，N是的中点，是边上的中线，M是上的一个动点，连接，则的最小值是________．

【答案】

【分析】

根据题意可知要求BM+MN的最小值，需考虑通过作辅助线转化BM，MN的值，从而找出其最小值，进而根据勾股定理求出CN，即可求出答案．

【解析】

解：连接CN，与AD交于点M，连接BM．（根据两点之间线段最短；点到直线垂直距离最短），是边上的中线即C和B关于AD对称，则BM+MN=CN，则CN就是BM+MN的最小值．

∵是等边三角形，，N是的中点，
∴AC=AB=6,AN=AB=3, ,

∴.

即BM+MN的最小值为．

故答案为：.

【点睛】

本题考查的是轴对称-最短路线问题，涉及到等边三角形的性质，勾股定理，轴对称的性质，等腰三角形的性质等知识点的综合运用．

11.如图，在中，∠ACB=90°，BC=12，AC=9，以点C为圆心，6为半径的圆上有一个动点D．连接AD、BD、CD，则2AD+3BD的最小值是　　．

【分析】首先对问题作变式2AD+3BD=，故求最小值即可．

考虑到D点轨迹是圆，A是定点，且要求构造，条件已经足够明显．

当D点运动到AC边时，DA=3，此时在线段CD上取点M使得DM=2，则在点D运动过程中，始终存在．

问题转化为DM+DB的最小值，直接连接BM，BM长度的3倍即为本题答案．

12.如图，四边形ABCD中，AB∥CD，∠ABC＝60°，AD＝BC＝CD＝4，点M是四边形ABCD内的一个动点，满足∠AMD＝90°，则点M到直线BC的距离的最小值为_____．

【答案】

【解析】

【分析】

取AD的中点O，连接OM，过点M作ME⊥BC交BC的延长线于E，点点O作OF⊥BC于F，交CD于G，则OM+ME≥OF．求出OM，OF即可解决问题．

【详解】

解：取AD的中点O，连接OM，过点M作ME⊥BC交BC的延长线于E，点点O作OF⊥BC于F，交CD于G，则OM+ME≥OF．

∵∠AMD＝90°，AD＝4，OA＝OD，

∴OM＝AD＝2，

∵AB∥CD，

∴∠GCF＝∠B＝60°，

∴∠DGO＝∠CGE＝30°，

∵AD＝BC，

∴∠DAB＝∠B＝60°，

∴∠ADC＝∠BCD＝120°，

∴∠DOG＝30°＝∠DGO，

∴DG＝DO＝2，

∵CD＝4，

∴CG＝2，

∴OG＝2，GF＝，OF＝3，

∴ME≥OF﹣OM＝3﹣2，

∴当O，M，E共线时，ME的值最小，最小值为3﹣2．

【点睛】

本题考查解直角三角形，垂线段最短，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．

13.如图，四边形 是菱形，B=6，且∠ABC=60° ，M是菱形内任一点，连接AM，BM，CM，则AM+BM+CM 的最小值为________．

【答案】

【详解】

将△BMN绕点B顺时针旋转60度得到△BNE，∵BM=BN，∠MBN=∠CBE=60°，∴MN=BM ∵MC=NE∴AM+MB+CM=AM+MN+NE．当A、M、N、E四点共线时取最小值AE．

∵AB=BC=BE=6，∠ABH=∠EBH=60°，∴BH⊥AE，AH=EH，∠BAH=30°，∴BH=AB=3，AH=BH=，∴AE=2AH=．

故答案为．

14.如图，在矩形ABCD中，E为AB的中点，P为BC边上的任意一点，把沿PE折叠，得到，连接CF．若AB＝10，BC＝12，则CF的最小值为_____．

【答案】8

【解析】

【分析】

点F在以E为圆心、EA为半径的圆上运动，当E、F、C共线时时，此时FC的值最小，根据勾股定理求出CE，再根据折叠的性质得到BE＝EF＝5即可．

【详解】

解：如图所示，点F在以E为圆心EA为半径的圆上运动，当E、F、C共线时时，此时CF的值最小，

根据折叠的性质，△EBP≌△EFP，

∴EF⊥PF，EB＝EF，

∵E是AB边的中点，AB＝10，

∴AE＝EF＝5，

∵AD＝BC＝12，

∴CE＝＝＝13，

∴CF＝CE﹣EF＝13﹣5＝8．

故答案为8．

【点睛】

本题考查了折叠的性质、全等三角形的判定与性质、两点之间线段最短的综合运用，灵活应用相关知识是解答本题的关键．

15、如图，△ABC中，∠BAC＝30°且AB＝AC，P是底边上的高AH上一点．若AP+BP+CP的最小值为2，则BC＝_____．

【答案】

【详解】

如图将△ABP绕点A顺时针旋转60°得到△AMG．连接PG，CM．

∵AB=AC，AH⊥BC，

∴∠BAP=∠CAP，

∵PA=PA，

∴△BAP≌△CAP（SAS），

∴PC=PB，

∵MG=PB，AG=AP，∠GAP=60°，

∴△GAP是等边三角形，

∴PA=PG，

∴PA+PB+PC=CP+PG+GM，

∴当M，G，P，C共线时，PA+PB+PC的值最小，最小值为线段CM的长，

∵AP+BP+CP的最小值为2，

∴CM=2，

∵∠BAM=60°，∠BAC=30°，

∴∠MAC=90°，

∴AM=AC=2，

作BN⊥AC于N．则BN=AB=1，AN=，CN=2-，

∴BC=．

故答案为．

16.如图所示，，点为内一点，，点分别在上，求周长的最小值_____．

【答案】周长的最小值为8

【详解】

如图，作P关于OA、OB的对称点，连结、，交OA、OB于M、N，此时周长最小，根据轴对称性质可知，，，且，，，，为等边三角形，即周长的最小值为8.

17.在正方形ABCD中，点E为对角线AC（不含点A）上任意一点，AB=；

（1）如图1，将△ADE绕点D逆时针旋转90°得到△DCF，连接EF；

①把图形补充完整（无需写画法）；  ②求的取值范围；

(2)如图2，求BE+AE+DE的最小值．

【答案】（1）①补图见解析；②；（2）

【详解】

（1）①如图△DCF即为所求；

②∵四边形ABCD是正方形，

∴BC＝AB＝2，∠B＝90°，∠DAE＝∠ADC＝45°，

∴AC＝＝AB＝4，

∵△ADE绕点D逆时针旋转90°得到△DCF，

∴∠DCF＝∠DAE＝45°，AE＝CF，

∴∠ECF＝∠ACD＋∠DCF＝90°，

设AE＝CF＝x，EF2＝y，则EC＝4−x，

∴y＝（4−x）2＋x2＝2x2−8x＋160（0＜x≤4）．

即y＝2（x−2）2＋8，

∵2＞0，

∴x＝2时，y有最小值，最小值为8，

当x＝4时，y最大值＝16，

∴8≤EF2≤16．

（2）如图中，将△ABE绕点A顺时针旋转60°得到△AFG，连接EG，DF．作FH⊥AD于H．

由旋转的性质可知，△AEG是等边三角形，

∴AE＝EG，

∵DF≤FG＋EG＋DE，BE＝FG，

∴AE＋BE＋DE的最小值为线段DF的长．

在Rt△AFH中，∠FAH＝30°，AB＝=AF，

∴FH＝AF＝，AH＝＝，

在Rt△DFH中，DF＝＝，

∴BE＋AE＋ED的最小值为．