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中考数学二轮复习重难点复习题型09 二次函数综合题 类型九 二次函数与菱形有关的问题(专题训练)(2份打包,原卷版+解析版)
展开1.(2022·湖南湘潭)已知抛物线 SKIPIF 1 < 0 .
(1)如图①,若抛物线图象与 SKIPIF 1 < 0 轴交于点 SKIPIF 1 < 0 ,与 SKIPIF 1 < 0 轴交点 SKIPIF 1 < 0 .连接 SKIPIF 1 < 0 .
①求该抛物线所表示的二次函数表达式;
②若点 SKIPIF 1 < 0 是抛物线上一动点(与点 SKIPIF 1 < 0 不重合),过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 轴于点 SKIPIF 1 < 0 ,与线段 SKIPIF 1 < 0 交于点 SKIPIF 1 < 0 .是否存在点 SKIPIF 1 < 0 使得点 SKIPIF 1 < 0 是线段 SKIPIF 1 < 0 的三等分点?若存在,请求出点 SKIPIF 1 < 0 的坐标;若不存在,请说明理由.
(2)如图②,直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 轴交于点 SKIPIF 1 < 0 ,同时与抛物线 SKIPIF 1 < 0 交于点 SKIPIF 1 < 0 ,以线段 SKIPIF 1 < 0 为边作菱形 SKIPIF 1 < 0 ,使点 SKIPIF 1 < 0 落在 SKIPIF 1 < 0 轴的正半轴上,若该抛物线与线段 SKIPIF 1 < 0 没有交点,求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围.
【答案】(1)① SKIPIF 1 < 0 ,②存在,点P坐标为(2,-3)或( SKIPIF 1 < 0 ,- SKIPIF 1 < 0 ),理由见解析
(2)b< SKIPIF 1 < 0 或b> SKIPIF 1 < 0
【分析】(1)①直接用待定系数法求解;②先求出直线AB的解析式,设点M(m,m-3)点P(m,m2-2m-3)若点 SKIPIF 1 < 0 是线段 SKIPIF 1 < 0 的三等分点,则 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ,代入求解即可;
(2)先用待定系数法求出n的值,再利用勾股定理求出CD的长为5,因为四边形CDFE是菱形,由此得出点E的坐标.再根据该抛物线与线段 SKIPIF 1 < 0 没有交点,分两种情况(CE在抛物线内和CE在抛物线右侧)进行讨论,求出b的取值范围.
(1)
①解:把 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 代入 SKIPIF 1 < 0 ,得
SKIPIF 1 < 0 ,
解得: SKIPIF 1 < 0 ,
∴ SKIPIF 1 < 0
②解:存在,理由如下,
设直线AB的解析式为y=kx+b,把 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 代入,得
SKIPIF 1 < 0 ,
解得 SKIPIF 1 < 0 ,
∴直线AB的解析式为y=x-3,
设点M(m,m-3)、点P(m,m2-2m-3)
若点 SKIPIF 1 < 0 是线段 SKIPIF 1 < 0 的三等分点,
则 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ,
即 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ,
解得:m=2或m= SKIPIF 1 < 0 或m=3,
经检验,m=3是原方程的增根,故舍去,
∴m=2或m= SKIPIF 1 < 0
∴点P坐标为(2,-3)或( SKIPIF 1 < 0 ,- SKIPIF 1 < 0 )
(2)解:把点D(-3,0)代入直线 SKIPIF 1 < 0 ,解得n=4,
∴直线 SKIPIF 1 < 0 ,
当x=0时,y=4,即点C(0,4)
∴CD= SKIPIF 1 < 0 =5,
∵四边形CDFE是菱形,
∴CE=EF=DF=CD=5,
∴点E(5,4)
∵点 SKIPIF 1 < 0 在抛物线 SKIPIF 1 < 0 上,
∴(-3)2-3b+c=0,
∴c=3b-9,
∴ SKIPIF 1 < 0 ,
∵该抛物线与线段 SKIPIF 1 < 0 没有交点,
分情况讨论
当CE在抛物线内时
52+5b+3b-9<4
解得:b< SKIPIF 1 < 0
当CE在抛物线右侧时,
3b-9>4
解得:b> SKIPIF 1 < 0
综上所述,b< SKIPIF 1 < 0 或b> SKIPIF 1 < 0
【点睛】此题考查了二次函数和一次函数以及图形的综合,解题的关键是数形结合和分情况讨论.
2.(2021·湖南中考真题)如图,在直角坐标系中,二次函数 SKIPIF 1 < 0 的图象与x轴相交于点 SKIPIF 1 < 0 和点 SKIPIF 1 < 0 ,与y轴交于点C.
(1)求 SKIPIF 1 < 0 的值;
(2)点 SKIPIF 1 < 0 为抛物线上的动点,过P作x轴的垂线交直线 SKIPIF 1 < 0 于点Q.
①当 SKIPIF 1 < 0 时,求当P点到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离最大时m的值;
②是否存在m,使得以点 SKIPIF 1 < 0 为顶点的四边形是菱形,若不存在,请说明理由;若存在,请求出m的值.
【答案】(1)b= SKIPIF 1 < 0 ,c= SKIPIF 1 < 0 ;(2)① SKIPIF 1 < 0 ;②不存在,理由见解析
【分析】
(1)将A(-1,0),B(3,0)代入y=x2+bx+c,可求出答案;
(2)①设点P(m,m2-2m-3),则点Q(m,m),再利用二次函数的性质即可求解;
②分情况讨论,利用菱形的性质即可得出结论.
【详解】
解:(1)∵抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于点A(-1,0),B(3,0),
∴ SKIPIF 1 < 0 ,
解得: SKIPIF 1 < 0 ,
∴b= SKIPIF 1 < 0 ,c= SKIPIF 1 < 0 ;
(2)①由(1)得,抛物线的函数表达式为:y=x2 SKIPIF 1 < 0 ,
设点P(m,m2-2m-3),则点Q(m,m),
∵0
∵-1<0,
∴当 SKIPIF 1 < 0 时,PQ有最大值,最大值为 SKIPIF 1 < 0 ;
②∵抛物线的函数表达式为:y=x2-2x-3,
∴C(0,-3),
∴OB=OC=3,
由题意,点P(m,m2-2m-3),则点Q(m,m),
∵PQ∥OC,
当OC为菱形的边,则PQ=OC=3,
当点Q在点P上方时,
∴PQ= SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 ,
∴ SKIPIF 1 < 0 ,
解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ,
当 SKIPIF 1 < 0 时,点P与点O重合,菱形不存在,
当 SKIPIF 1 < 0 时,点P与点B重合,此时BC= SKIPIF 1 < 0 ,菱形也不存在;
当点Q在点P下方时,
若点Q在第三象限,如图,
∵∠COQ=45°,
根据菱形的性质∠COQ=∠POQ=45°,则点P与点A重合,
此时OA=1 SKIPIF 1 < 0 OC=3,菱形不存在,
若点Q在第一象限,如图,
同理,菱形不存在,
综上,不存在以点O、C、P、Q为顶点的四边形是菱形.
【点睛】
本题是二次函数综合题,考查的是二次函数的性质,菱形的判定和性质等知识,其中,熟练掌握方程的思想方法和分类讨论的思想方法是解题的关键.
3.(2021·湖北恩施土家族苗族自治州·中考真题)如图,在平面直角坐标系中,四边形 SKIPIF 1 < 0 为正方形,点 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 轴上,抛物线 SKIPIF 1 < 0 经过点 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 两点,且与直线 SKIPIF 1 < 0 交于另一点 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求抛物线的解析式;
(2) SKIPIF 1 < 0 为抛物线对称轴上一点, SKIPIF 1 < 0 为平面直角坐标系中的一点,是否存在以点 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 为顶点的四边形是以 SKIPIF 1 < 0 为边的菱形.若存在,请求出点 SKIPIF 1 < 0 的坐标;若不存在,请说明理由;
(3) SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 轴上一点,过点 SKIPIF 1 < 0 作抛物线对称轴的垂线,垂足为 SKIPIF 1 < 0 ,连接 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 .探究 SKIPIF 1 < 0 是否存在最小值.若存在,请求出这个最小值及点 SKIPIF 1 < 0 的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ;(2)存在以点 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 为顶点的四边形是以 SKIPIF 1 < 0 为边的菱形,点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ;(3) SKIPIF 1 < 0 存在最小值,最小值为 SKIPIF 1 < 0 ,此时点M的坐标为 SKIPIF 1 < 0 .
【分析】
(1)由题意易得 SKIPIF 1 < 0 ,进而可得 SKIPIF 1 < 0 ,则有 SKIPIF 1 < 0 ,然后把点B、D代入求解即可;
(2)设点 SKIPIF 1 < 0 ,当以点 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 为顶点的四边形是以 SKIPIF 1 < 0 为边的菱形时,则根据菱形的性质可分①当 SKIPIF 1 < 0 时,②当 SKIPIF 1 < 0 时,然后根据两点距离公式可进行分类求解即可;
(3)由题意可得如图所示的图象,连接OM、DM,由题意易得DM=EM,四边形BOMP是平行四边形,进而可得OM=BP,则有 SKIPIF 1 < 0 ,若使 SKIPIF 1 < 0 的值为最小,即 SKIPIF 1 < 0 为最小,则有当点D、M、O三点共线时, SKIPIF 1 < 0 的值为最小,然后问题可求解.
【详解】
解:(1)∵四边形 SKIPIF 1 < 0 为正方形, SKIPIF 1 < 0 ,
∴ SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
∴ SKIPIF 1 < 0 ,
∴OB=1,
∴ SKIPIF 1 < 0 ,
把点B、D坐标代入得: SKIPIF 1 < 0 ,
解得: SKIPIF 1 < 0 ,
∴抛物线的解析式为 SKIPIF 1 < 0 ;
(2)由(1)可得 SKIPIF 1 < 0 ,抛物线解析式为 SKIPIF 1 < 0 ,则有抛物线的对称轴为直线 SKIPIF 1 < 0 ,
∵点D与点E关于抛物线的对称轴对称,
∴ SKIPIF 1 < 0 ,
∴由两点距离公式可得 SKIPIF 1 < 0 ,
设点 SKIPIF 1 < 0 ,当以点 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 为顶点的四边形是以 SKIPIF 1 < 0 为边的菱形时,则根据菱形的性质可分:
①当 SKIPIF 1 < 0 时,如图所示:
∴由两点距离公式可得 SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 ,
解得: SKIPIF 1 < 0 ,
∴点F的坐标为 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ;
②当 SKIPIF 1 < 0 时,如图所示:
∴由两点距离公式可得 SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 ,
解得: SKIPIF 1 < 0 ,
∴点F的坐标为 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ;
综上所述:当以点 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 为顶点的四边形是以 SKIPIF 1 < 0 为边的菱形,点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ;
(3)由题意可得如图所示:
连接OM、DM,
由(2)可知点D与点E关于抛物线的对称轴对称, SKIPIF 1 < 0 ,
∴ SKIPIF 1 < 0 ,DM=EM,
∵过点 SKIPIF 1 < 0 作抛物线对称轴的垂线,垂足为 SKIPIF 1 < 0 ,
∴ SKIPIF 1 < 0 ,
∴四边形BOMP是平行四边形,
∴OM=BP,
∴ SKIPIF 1 < 0 ,
若使 SKIPIF 1 < 0 的值为最小,即 SKIPIF 1 < 0 为最小,
∴当点D、M、O三点共线时, SKIPIF 1 < 0 的值为最小,此时OD与抛物线对称轴的交点为M,如图所示:
∵ SKIPIF 1 < 0 ,
∴ SKIPIF 1 < 0 ,
∴ SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ,
设线段OD的解析式为 SKIPIF 1 < 0 ,代入点D的坐标得: SKIPIF 1 < 0 ,
∴线段OD的解析式为 SKIPIF 1 < 0 ,
∴ SKIPIF 1 < 0 .
【点睛】
本题主要考查二次函数的综合、菱形的性质及轴对称的性质,熟练掌握二次函数的综合、菱形的性质及轴对称的性质是解题的关键.
4.(2021·山西中考真题)如图,抛物线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 轴交于 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 两点(点 SKIPIF 1 < 0 在点 SKIPIF 1 < 0 的左侧),与 SKIPIF 1 < 0 轴交于点 SKIPIF 1 < 0 ,连接 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 .
(1)求 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 三点的坐标并直接写出直线 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 的函数表达式;
(2)点 SKIPIF 1 < 0 是直线 SKIPIF 1 < 0 下方抛物线上的一个动点,过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 的平行线 SKIPIF 1 < 0 ,交线段 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 .
①试探究:在直线 SKIPIF 1 < 0 上是否存在点 SKIPIF 1 < 0 ,使得以点 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 为顶点的四边形为菱形,若存在,求出点 SKIPIF 1 < 0 的坐标;若不存在,请说明理由;
②设抛物线的对称轴与直线 SKIPIF 1 < 0 交于点 SKIPIF 1 < 0 ,与直线 SKIPIF 1 < 0 交于点 SKIPIF 1 < 0 .当 SKIPIF 1 < 0 时,请直接写出 SKIPIF 1 < 0 的长.
【答案】(1)点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ,点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ,点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ,直线 SKIPIF 1 < 0 的函数表达式为: SKIPIF 1 < 0 ;直线 SKIPIF 1 < 0 的函数表达式为: SKIPIF 1 < 0 ;(2)①存在,点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ;② SKIPIF 1 < 0 .
【分析】
(1)分别令 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 时即可求解 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 三点的坐标,然后再进行求解直线 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 的函数表达式即可;
(2)①设点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ,其中 SKIPIF 1 < 0 ,由题意易得 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,当 SKIPIF 1 < 0 时,以 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 为顶点的四边形是平行四边形,进而可根据菱形的性质分当 SKIPIF 1 < 0 时, SKIPIF 1 < 0 是菱形,当 SKIPIF 1 < 0 时, SKIPIF 1 < 0 是菱形,然后分别求解即可;②由题意可作图,则由题意可得抛物线的对称轴为直线 SKIPIF 1 < 0 ,由(1)可得直线 SKIPIF 1 < 0 的函数表达式为: SKIPIF 1 < 0 ;直线 SKIPIF 1 < 0 的函数表达式为: SKIPIF 1 < 0 ,点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ,点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ,进而可得 SKIPIF 1 < 0 ,设点 SKIPIF 1 < 0 ,然后可求得直线l的解析式为 SKIPIF 1 < 0 ,则可求得点 SKIPIF 1 < 0 ,所以就有 SKIPIF 1 < 0 ,最后根据面积公式及两点距离公式可进行求解.
【详解】
解:(1)当 SKIPIF 1 < 0 时, SKIPIF 1 < 0 ,解得 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
∵点 SKIPIF 1 < 0 在点 SKIPIF 1 < 0 的左侧,
∴点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ,点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ,
当 SKIPIF 1 < 0 时, SKIPIF 1 < 0 ,
∴点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ,
设直线 SKIPIF 1 < 0 的函数表达式为 SKIPIF 1 < 0 ,代入点A、C的坐标得: SKIPIF 1 < 0 ,
解得: SKIPIF 1 < 0 ,
∴直线 SKIPIF 1 < 0 的函数表达式为: SKIPIF 1 < 0 .
同理可得直线 SKIPIF 1 < 0 的函数表达式为: SKIPIF 1 < 0 ;
(2)①存在.设点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ,其中 SKIPIF 1 < 0 ,
∵点 SKIPIF 1 < 0 ,点 SKIPIF 1 < 0 的坐标分别为 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
∴ SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
∵ SKIPIF 1 < 0 ,
∴当 SKIPIF 1 < 0 时,以 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 为顶点的四边形是平行四边形,
当 SKIPIF 1 < 0 时, SKIPIF 1 < 0 是菱形,如图所示:
∴ SKIPIF 1 < 0 ,
解得 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 (舍去),
∴点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ,
∴点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ;
当 SKIPIF 1 < 0 时, SKIPIF 1 < 0 是菱形,如图所示:
∴ SKIPIF 1 < 0 ,
解,得 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 (舍去),
∴点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ,
∴点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ;
综上所述,存在点 SKIPIF 1 < 0 ,使得以 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 为顶点的四边形为菱形,且点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ;
②由题意可得如图所示:
由题意可得抛物线的对称轴为直线 SKIPIF 1 < 0 ,由(1)可得直线 SKIPIF 1 < 0 的函数表达式为: SKIPIF 1 < 0 ;直线 SKIPIF 1 < 0 的函数表达式为: SKIPIF 1 < 0 ,点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ,点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ,
∴点 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
∴ SKIPIF 1 < 0 ,
设点 SKIPIF 1 < 0 ,
∵ SKIPIF 1 < 0 ,
∴设直线l的解析式为 SKIPIF 1 < 0 ,把点M的坐标代入得: SKIPIF 1 < 0 ,
解得: SKIPIF 1 < 0 ,
∴直线l的解析式为 SKIPIF 1 < 0 ,
∴联立直线l与直线AC的解析式得: SKIPIF 1 < 0 ,
解得: SKIPIF 1 < 0 ,
∴ SKIPIF 1 < 0 ,
∴点 SKIPIF 1 < 0 ,
∵点 SKIPIF 1 < 0 是直线 SKIPIF 1 < 0 下方抛物线上的一个动点,且 SKIPIF 1 < 0 ,
∴点M在点N的上方才有可能,
∴ SKIPIF 1 < 0 ,
∴ SKIPIF 1 < 0 ,
解得: SKIPIF 1 < 0 (不符合题意,舍去),
∴ SKIPIF 1 < 0 ,
∴由两点距离公式可得 SKIPIF 1 < 0 .
【点睛】
本题主要考查二次函数的综合及菱形的性质,熟练掌握二次函数的综合及菱形的性质是解题的关键.
5.(2021·内蒙古)如图,抛物线 SKIPIF 1 < 0 交x轴于 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 两点,交y轴于点C,动点P在抛物线的对称轴上.
(1)求抛物线的解析式;
(2)当以P,B,C为顶点的三角形周长最小时,求点P的坐标及 SKIPIF 1 < 0 的周长;
(3)若点Q是平面直角坐标系内的任意一点,是否存在点Q,使得以A,C,P,Q为顶点的四边形是菱形?若存在,请直接写出所有符合条件的点Q的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ;(2) P点坐标为(1,2), SKIPIF 1 < 0 的周长最小值为 SKIPIF 1 < 0 ;(3) Q点坐标存在,为(2,2)或(4, SKIPIF 1 < 0 )或(4, SKIPIF 1 < 0 )或( SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 )或( SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 )
【分析】
(1)将 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 代入即可求解;
(2)连接BP、CP、AP,由二次函数对称性可知,BP=AP,得到BP+CP=AP+CP,当C、P、A三点共线时,△PBC的周长最小,由此求出AC解析式,将P点横坐标代入解析式中即可求解;
(3)设P点坐标为(1,t),Q点坐标为(m,n),按AC为对角线,AP为对角线,AQ为对角线分三种情况讨论即可求解.
【详解】
解:(1)将 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 代入二次函数表达式中,
∴ SKIPIF 1 < 0 ,解得 SKIPIF 1 < 0 ,
∴二次函数的表达式为: SKIPIF 1 < 0 ;
(2)连接BP、CP、AP,如下图所示:
由二次函数对称性可知,BP=AP,
∴BP+CP=AP+CP,
SKIPIF 1 < 0
BC为定直线,当C、P、A三点共线时, SKIPIF 1 < 0 有最小值为 SKIPIF 1 < 0 ,
此时 SKIPIF 1 < 0 的周长也最小,
设直线AC的解析式为: SKIPIF 1 < 0 ,代入 SKIPIF 1 < 0 ,
∴ SKIPIF 1 < 0 ,解得 SKIPIF 1 < 0 ,
∴直线AC的解析式为: SKIPIF 1 < 0 ,
二次函数的对称轴为 SKIPIF 1 < 0 ,代入 SKIPIF 1 < 0 ,得到 SKIPIF 1 < 0 ,
∴P点坐标为(1,2),
此时 SKIPIF 1 < 0 的周长最小值= SKIPIF 1 < 0 ;
(3) SKIPIF 1 < 0 设P点坐标为(1,t),Q点坐标为(m,n),
分类讨论:
情况一:AC为菱形对角线时,另一对角线为PQ,
此时由菱形对角互相平分知:AC的中点也必定是PQ的中点,
由菱形对角线互相垂直知: SKIPIF 1 < 0 ,
∴ SKIPIF 1 < 0 ,解得 SKIPIF 1 < 0 ,
∴P点坐标为(1,1),对应的Q点坐标为(2,2);
情况二:AP为菱形对角线时,另一对角线为CQ,
同理有: SKIPIF 1 < 0 ,解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ,
∴P点坐标为(1, SKIPIF 1 < 0 )或(1, SKIPIF 1 < 0 ),对应的Q点坐标为(4, SKIPIF 1 < 0 )或(4, SKIPIF 1 < 0 );
情况三:AQ为菱形对角线时,另一对角线为CP,
SKIPIF 1 < 0 设P点坐标为(1,t),Q点坐标为(m,n),
同理有: SKIPIF 1 < 0 ,解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ,
∴P点坐标为(1, SKIPIF 1 < 0 )或(1, SKIPIF 1 < 0 ),对应的Q点坐标为(-2, SKIPIF 1 < 0 )或(-2, SKIPIF 1 < 0 );
纵上所示,Q点坐标存在,为(2,2)或(4, SKIPIF 1 < 0 )或(4, SKIPIF 1 < 0 )或( SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 )或( SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ).
【点睛】
本题考查了待定系数法求二次函数解析式,二次函数对称性求线段最值问题及菱形的存在性问题,本题第三问难度大一些,熟练掌握各图形的性质是解决本题的关键.
6.(2020•重庆)如图,在平面直角坐标系中,已知抛物线y=x2+bx+c与直线AB相交于A,B两点,其中A(﹣3,﹣4),B(0,﹣1).
(1)求该抛物线的函数表达式;
(2)点P为直线AB下方抛物线上的任意一点,连接PA,PB,求△PAB面积的最大值;
(3)将该抛物线向右平移2个单位长度得到抛物线y=a1x2+b1x+c1(a1≠0),平移后的抛物线与原抛物线相交于点C,点D为原抛物线对称轴上的一点,在平面直角坐标系中是否存在点E,使以点B,C,D,E为顶点的四边形为菱形,若存在,请直接写出点E的坐标;若不存在,请说明理由.
【分析】(1)将点A、B的坐标代入抛物线表达式,即可求解;
(2)△PAB面积SPH×(xB﹣xA)(x﹣1﹣x2﹣4x+1)×(0+3)x2x,即可求解;
(3)分BC为菱形的边、菱形的的对角线两种情况,分别求解即可.
【解析】(1)将点A、B的坐标代入抛物线表达式得,解得,
故抛物线的表达式为:y=x2+4x﹣1;
(2)设直线AB的表达式为:y=kx+t,则,解得,
故直线AB的表达式为:y=x﹣1,
过点P作y轴的平行线交AB于点H,
设点P(x,x2+4x﹣1),则H(x,x﹣1),
△PAB面积SPH×(xB﹣xA)(x﹣1﹣x2﹣4x+1)×(0+3)x2x,
∵0,故S有最大值,当x时,S的最大值为;
(3)抛物线的表达式为:y=x2+4x﹣1=(x+2)2﹣5,
则平移后的抛物线表达式为:y=x2﹣5,
联立上述两式并解得:,故点C(﹣1,﹣4);
设点D(﹣2,m)、点E(s,t),而点B、C的坐标分别为(0,﹣1)、(﹣1,﹣4);
①当BC为菱形的边时,
点C向右平移1个单位向上平移3个单位得到B,同样D(E)向右平移1个单位向上平移3个单位得到E(D),
即﹣2+1=s且m+3=t①或﹣2﹣1=s且m﹣3=t②,
当点D在E的下方时,则BE=BC,即s2+(t+1)2=12+32③,
当点D在E的上方时,则BD=BC,即22+(m+1)2=12+32④,
联立①③并解得:s=﹣1,t=2或﹣4(舍去﹣4),故点E(﹣1,3);
联立②④并解得:s=1,t=﹣4±,故点E(1,﹣4)或(1,﹣4);
②当BC为菱形的的对角线时,
则由中点公式得:﹣1=s﹣2且﹣4﹣1=m+t⑤,
此时,BD=BE,即22+(m+1)2=s2+(t+1)2⑥,
联立⑤⑥并解得:s=1,t=﹣3,
故点E(1,﹣3),
综上,点E的坐标为:(﹣1,2)或(﹣3,﹣4)或(﹣3,﹣4)或(1,﹣3)
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