2022-2023学年贵州省六盘水市第八中学高二上学期第一次月考数学试题含解析

这是一份2022-2023学年贵州省六盘水市第八中学高二上学期第一次月考数学试题含解析，共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年贵州省六盘水市第八中学高二上学期第一次月考数学试题 一、单选题1．已知集合U={−2，−1，0，1，2，3}，A={−1，0，1}，B={1，2}，则（    ）A．{−2，3} B．{−2，2，3} C．{−2，−1，0，3} D．{−2，−1，0，2，3}【答案】A【分析】首先进行并集运算，然后计算补集即可.【详解】由题意可得：，则.故选：A.【点睛】本题主要考查并集、补集的定义与应用，属于基础题.2．复数等于 A．8 B．－8 C．8i D．－8i【答案】D【分析】利用复数的除法及乘方运算即得.【详解】因为.故选：D. 3．在中，已知，则角为（    ）A． B． C．或 D．或【答案】C【分析】直接利用正弦定理即可得出答案.【详解】解：在中，已知，因为，所以，所以或，所以或.故选：C.4．若，，，则A． B． C． D．【答案】A【详解】因为，，，因此选A 5．在平行六面体中，若，则（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用向量的加法公式，对向量进行分解，进而求出，，的值.【详解】解：，又因，，，，，，故选：.6．设有直线m、n和平面、.下列四个命题中，正确的是A．若m∥,n∥,则m∥nB．若m,n,m∥,n∥,则∥C．若，m,则mD．若，m，m,则m∥【答案】D【详解】当两条直线同时与一个平面平行时，两条直线之间的关系不能确定，故A不正确，B选项再加上两条直线相交的条件，可以判断面与面平行，故B不正确，C选项再加上m垂直于两个平面的交线，得到线面垂直，故C不正确，D选项中由α⊥β，m⊥β，m，可得m∥α，故是正确命题，故选D 7．某校共有学生2000名，各年级男、女生人数表１，已知在全校学生中随机抽取1名，抽到初二年级女生的概率是0.19. 现用分层抽样的方法在全校抽取６４名学生，则应在初三年级抽取的学生人数为 初一年级初二年级初三年级女生373xy男生377370z A．24 B．18 C．16 D．12【答案】C【详解】试题分析：由题意可知，因此三年级的总人数为，所以应在三年级抽取的学生人数为人，故选C.【解析】分层抽样. 8．定义域为的奇函数的图象关于直线对称，当时，，则（    ）A．-2 B．0 C．2 D．4【答案】C【分析】根据函数的奇偶性和对称性可以确定函数的周期，利用周期性进行求解即可.【详解】因为函数的图象关于直线对称，所以，因此有，可得，因为函数是奇函数，所以可得，即有，从而，因此该函数的周期为，当时，，所以，的图象关于直线对称，，，故选：C 二、多选题9．下列函数中，既为奇函数又在定义域内单调递增的是（    ）A． B．C． D．【答案】AC【解析】分别利用奇偶性的定义判断每个选项中函数的奇偶性，对于符合奇函数的选项再接着判断其单调性即可.【详解】四个函数的定义域为，定义域关于原点对称A：记，所以，所以函数是奇函数，又因为是增函数，是减函数，所以是增函数，符合题意；B：记，则，所以函数是偶函数，不符合题意；C：记，则，所以函数是奇函数，根据幂函数的性质，函数是增函数，符合题意；D：记，则，所以函数为偶函数.故选：AC10．分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件“第一枚正面朝上”，事件“第二枚正面朝上”，下列结论中正确的是（    ）A．该试验样本空间共有个样本点 B．C．与为互斥事件 D．与为相互独立事件【答案】ABD【分析】由题可得样本空间及事件样本点，结合互斥事件，独立事件的概念及古典概型概率公式逐项分析即得.【详解】对于A：试验的样本空间为：正，正，正，反，反，正，反，反，共个样本点，故A正确对于B：由题可知正，正，正，反，正，反，反，反，显然事件，事件都含有“正，反这一结果，故，故B正确；对于C：事件，事件能同时发生，因此事件不互斥，故C不正确；对于D：，，，所以，故D正确．故选：ABD.11．函数（其中）的图象如图所示，则下列说法正确的是（    ）A．是函数的周期B．C．为了得到的图象，只需将的图象向左平移个单位长度D．为了得到的图象，只需将的图象向左平移个单位长度【答案】ABD【分析】根据可得最小正周期，再求得，代入分析可得，可判断AB，再结合三角函数图象变化的性质判断CD即可.【详解】对A，由图可知，，最小正周期T满足，所以，所以是函数的周期，故正确；对B，，即，将代入可得，得，又，所以，故B正确；对C，由上述结论可知，为了得到，应将函数向左平移个单位长度.故C错误，D正确.故选：ABD.12．如图，已知正方体的棱长为2，，，分别为，，的中点，以下说法正确的是（    ）A．三棱锥的体积为2B．平面C．异面直线EF与AG所成的角的余弦值为D．过点，，作正方体的截面，所得截面的面积是【答案】BD【分析】对A，直接由锥体体积公式求解判断；对BC，结合建系法直接判断；对D，补全截面直接判断.【详解】对A，，故A错误；对B，以为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，，，则，，，，，则平面，B正确；对C，，，，故C错误；对D，作中点，的中点，的中点，连接，则正六边形为对应截面面积，正六边形边长为，则截面面积为：，故D正确.故选：BD 三、填空题13．已知向量，，，若与垂直，则_________.【答案】【分析】利用向量坐标垂直数量积为0求参数.【详解】解：由题意得：因为与垂直，所以，即所以，解得.故答案为：14．已知函数​，则​____________.【答案】/【分析】根据分段函数解析式计算可得.【详解】解：因为，又，所以，所以​.故答案为：15．如图，已知球O的面上四点，DA⊥平面ABC．AB⊥BC，DA=AB=BC=，则球O的体积等于________．【答案】【详解】由题意，三角形DAC,三角形DBC都是直角三角形，且有公共斜边，所以DC边的中点就是球心（到D、A、C、B四点距离相等），所以球的半径就是线段DC长度的一半，即，所以球的体积.故答案为：.16．如图，直三棱柱中，，点分别是棱的中点，一只蚂蚁从点出发，绕过三棱柱的一条棱爬到点处，则这只蚂蚁爬行的最短路程是__________．【答案】/【分析】要使爬行的最短路程，只要将底面和侧面展在同一个平面，连接，求出的长度即可.【详解】若将底面沿展开使其与侧面在同一个平面，连接，因为，所以与棱不相交，所以不合题意，若将底面沿展开和侧面展在同一个平面，连接，则与棱相交，符合题意，此时为这只蚂蚁爬行的最短路线，如图所示，过作的平行线，过作的平行线，交于点，交于，因为，点分别是棱的中点，所以，，，所以，所以,所以，故答案为： 四、解答题17．如图，在棱长为2的正方体中，为线段的中点，为线段的中点．(1)求直线与平面所成角的余弦值．(2)求直线到平面的距离．【答案】(1)(2) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法求得直线与平面所成角的正弦值，再由平方关系求余弦值.（2）利用向量法证明平面，求得点到平面的距离即可.【详解】（1）建立如图所示空间直角坐标系，则，，，，，，，，，所以，，设平面的法向量为，，令，可得，故可取.设直线与平面所成角，所以，可得.直线与平面所成角的余弦值.（2）由（1）知，，平面的法向量为，因为，所以，又平面，所以平面，设到平面的距离为，则，由直线与平面平行的性质知，直线到平面的距离为.18．在中，内角的对边分别为，且.（1）求角的大小；（2）①，②，③以上三个条件任选两个，求边，角.【答案】（1）；（2）答案见解析.【分析】（1）由正弦定理化边为角，可求得；（2）选①②，由正弦定理化角为边，再由余弦定理可得，由勾股定理逆定理得角；选①③，由正弦定理求得，得角，在直角三角形中求得；选②③，由正弦定理直接求得，再由勾股定理逆定理得角．【详解】解：（1）因为在中，内角，，的对边分别为，，，所以，由正弦定理，可将化为，，则，即，所以；（2）若选①②，由可得，因为，由余弦定理可得，则，解得，由得．若选①③，由正弦定理可得，，则，所以，则；因此．若选②③，由可得，因为，所以，由得．19．近年来，我国居民体重“超标”成规模增长趋势，其对人群的心血管安全构成威胁，国际上常用身体质量指数衡量人体胖瘦程度是否健康，中国成人的数值标准是：为偏瘦；为正常；为偏胖；为肥胖．下面是社区医院为了解居民体重现状，随机抽取了100个居民体检数据，将其值分成以下五组：，，，，，得到相应的频率分布直方图．(1)根据频率分布直方图，求的值，并估计该社区居民身体质量指数的样本数据中位数；(2)现从样本中利用分层抽样的方法从，的两组中抽取6个人，再从这6个人中随机抽取两人，求抽取到两人的值不在同一组的概率．【答案】(1)；(2) 【分析】（1）根据频率分步直方图中所有矩形面积和为1计算的值，根据中位数左边的频率和为求解中位数即可；（2）根据分层抽样的定义可求得在，分别抽取人和人，再利用列举法即可求得概率.【详解】（1）根据频率分步直方图可知组距为，所有矩形面积和为，所以，解得；因为，两组频率之和为，而的频率为，故中位数在之间，设为，则，解得，即该社区居民身体质量指数的样本数据中位数为.（2）由频率分步直方图可知的频数为，的频数为，所以两组人数比值为，按照分层抽样抽取人，则在，分别抽取人和人，记这组两个样本编号为，这组编号为，故从人随机抽取人所有可能样本的构成样本空间：设事件“从6个人中随机抽取两人，抽取到两人的值不在同一组”则，故，即从这6个人中随机抽取两人，抽取到两人的值不在同一组的概率为.20．已知函数．(1)求函数的最大值；(2)把的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把得到的图象向左平移个单位，得到函数的图象，求函数的单调递减区间．【答案】(1)(2)， 【分析】（1）根据降幂公式，结合余弦函数的最值进行求解即可；（2）根据三角函数图象的变换性质，结合正弦函数的单调性进行求解即可.【详解】（1），∴当时，取得最大值；（2）把的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到，再把得到的图象向左平移个单位，得到的图象，所以，当单调递增时，单调递减，故函数的单调递减区间为，．21．如图，在四面体中，平面，，，．M是的中点，P是的中点，点Q在线段上，且．（1）证明：平面；（2）若二面角的大小为，求的大小．【答案】（1）证明见解析；（2）.【分析】（1）取中点，连接，先证明面面平行再证明线面平行；（2）根据三垂直线作法先找到二面角的平面角，然后根据线段长度关系求解出的大小.【详解】（1）取中点，连接，如下图所示：因为为中点，为中点，所以，又因为，所以，所以，又因为为中点，为中点，所以，又，所以平面平面，又平面，所以平面；（2）设，过作交于点，过作交于点，连接，如下图所示：因为平面，所以，又，所以平面，因为平面，所以，又因为，，所以平面，所以，所以二面角的平面角为，因为，所以，又因为，所以，所以，又因为，所以，又因为为直角三角形且，所以，所以，所以，所以的大小为.【点睛】本题考查空间中线面平行的证明和几何法求解二面角有关的问题，对学生的空间位置关系的理解能力与证明能力要求较高，难度一般.证明线面平行除了可以使用判定定理之外，还可以通过面面平行来证明.22．已知函数，的对称轴为且．(1)求、的值；(2)当时，求的取值范围；(3)若不等式成立，求实数的取值范围.【答案】(1)，(2)(3)或 【分析】（1）利用二次函数的对称性可求得的值，由可求得的值；（2）利用二次函数的基本性质可求得的取值范围；（3）由可得出关于的不等式，解之即可.【详解】（1）解：二次函数的对称轴方程为，可得，且.因此，，.（2）解：由（1）可知，当时，.（3）解：由，可得，可得或，解得或.