2022-2023学年河南省平顶山市高二上学期期末考试数学试题含解析

这是一份2022-2023学年河南省平顶山市高二上学期期末考试数学试题含解析，共16页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年河南省平顶山市高二上学期期末数学试题 一、单选题1．直线的倾斜角为（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】求出直线的斜率，然后根据斜率的定义即可求得倾斜角.【详解】直线可化为，则斜率，又倾斜角，满足，所以倾斜角为.故选：D2．下列有关数列的说法正确的是（    ）A．数列1，0，，与数列，，0，1是相同的数列B．如果一个数列不是递增数列，那么它一定是递减数列C．数列0，2，4，6，8，…的一个通项公式为D．数列，…的一个通项公式为【答案】D【分析】根据数列的定义和表示方法，逐一判断，即可得到本题答案.【详解】对于选项A，数列1，0，-1，-2与数列-2，-1，0，1中的数字排列顺序不同，不是同一个数列，故A错误；对于选项B，常数数列既不是递增数列，也不是递减数列，故B错误；对于选项C，当时，，故C错误；对于选项D，因为，…，所以数列的一个通项公式为，故D正确.故选：D3．已知直线l过点且方向向量为，则l在x轴上的截距为（    ）A． B．1 C． D．5【答案】A【分析】先根据方向向量求得直线的斜率，然后利用点斜式可求得直线方程，再令，即可得到本题答案.【详解】因为直线的方向向量为，所以直线斜率，又直线过点，所以直线方程为，即，令，得，所以在x轴上的截距为-1.故选：A4．已知，“直线与平行”是“”的（    ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】根据平行的成比例运算即可求解.【详解】直线与平行则，所以，解得，经检验，均符合题意，故选：C.5．已知等差数列中，，是函数的两个零点，则（    ）A．3 B．6 C．8 D．9【答案】B【分析】由等差数列的性质进行计算即可.【详解】由已知，函数的两个零点，即方程的两根，，∴，∵数列为等差数列，∴，∴.故选：B.6．已知圆关于y轴对称的圆与直线相切，则m的值为（    ）A． B．3 C．或3 D．1或【答案】C【分析】先求出关于y轴对称的圆的标准方程，然后利用圆心到切线的距离等于半径，列出方程求解，即可得到本题答案.【详解】由圆，可得标准方程，圆心为，半径，故关于轴对称的圆的圆心为，半径，则其标准方程为，又因为圆与直线相切，所以圆心到切线的距离等于半径，即，解得或.故选：C7．已知数列满足，且，则数列的前项和为（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】由等比数列的定义判断出数列为等比数列，再使用分组求和法求解即可.【详解】∵数列满足，且，∴数列是首项为，公比为的等比数列，∴，∴数列的前项和为，.故选：B.8．已知椭圆过点且与双曲线有相同焦点，则椭圆的离心率为（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】由题可得，，联立方程可求得，然后代入公式，即可求得本题答案.【详解】因为椭圆与双曲线有相同焦点，所以椭圆两个焦点分别为，则①，又椭圆过点，所以②，结合①，②得，，所以，故选：C9．已知圆与圆的公共弦长为2，则m的值为（    ）A． B． C． D．3【答案】A【分析】根据圆的圆心和半径公式以及点到直线的距离公式，以及公共线弦方程的求法即可求解.【详解】联立和,得，由题得两圆公共弦长，圆的圆心为，半径为，圆心到直线的距离为，所以，平方后整理得,，所以或（舍去）；故选：A.10．“斐波那契数列”又称黄金分割数列，指的是这样一个数列：1，1，2，3，5，8，13，…，即斐波那契数列满足，，设其前n项和为，若，则（    ）A． B．m C． D．【答案】C【分析】由斐波那契数列满足，归纳可得，令，即可求得本题答案.【详解】因为斐波那契数列满足，所以，，，……，则.故选：C11．如图，在直四棱柱中，底面ABCD是边长为2的正方形，，M，N分别是，AB的中点，设点P是线段DN上的动点，则MP的最小值为（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】建立空间直角坐标系，设出点的坐标，根据两点距离公式表示，利用二次函数求值域，即可得到本题答案.【详解】以点为坐标原点，分别以所在直线为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系.因为底面ABCD是边长为2的正方形，，所以，∵点在平面上，∴设点的坐标为，∵在上运动，∴ ，∴，∴点的坐标为，∴，∵，∴当时， 取得最小值.故选：D12．已知双曲线C：的焦点到渐近线的距离为，直线l与C相交于A，B两点，若线段的中点为，则直线l的斜率为（    ）A． B．1 C． D．2【答案】B【分析】先利用题目条件求出双曲线的标准方程，然后利用点差法即可求出直线的斜率.【详解】因为双曲线的标准方程为，所以它的一个焦点为，一条渐近线方程为，所以焦点到渐近线的距离，化简得，解得，所以双曲线的标准方程为，设，所以①，②，①-②得，，化简得③，因为线段的中点为，所以，代入③，整理得，显然，所以直线的斜率.故选：B 二、填空题13．已知A（1，－2，11）、B（4，2，3）、C（x，y，15）三点共线，则xy=___________.【答案】2．【详解】试题分析：由三点共线得向量与共线，即，，，解得，，∴．【解析】空间三点共线．14．已知抛物线的焦点为F，直线与抛物线交于点M，且，则_______.【答案】2【分析】先求点的纵坐标，然后根据抛物线的定义，列出方程，即可求得的值.【详解】把代入抛物线标准方程，得，根据抛物线的定义有，，化简得，，解得.故答案为：215．已知点，点为圆上的任意一点，点在直线上，其中为坐标原点，若恒成立，则点的坐标为______.【答案】【分析】设和的坐标，由，列等式，利用点在圆上，点在直线上，化简得恒成立的条件，求得点的坐标.【详解】易知直线的方程为，由题意可设，设，则可得，由，可得，则，化简得，即，若恒成立，则，解得，故.故答案为：16．已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，其中与抛物线的焦点重合，点P在双曲线C的右支上，若，且，则的面积为_______.【答案】【分析】结合题目条件与余弦定理，先算出的值，然后代入三角形的面积公式，即可得到本题答案.【详解】由双曲线右焦点与抛物线的焦点重合，可得，所以，设，则，因为，所以，则，解得，所以，.故答案为： 三、解答题17．已知数列满足，且点在直线上.(1)求数列的通项公式；(2)设，求数列的前n项和.【答案】(1)(2) 【分析】（1）先求出数列的通项公式，从而可得到数列的通项公式；（2）根据（1）中数列的通项公式，可写出数列的通项公式，再利用裂项相消的方法即可求得前n项和.【详解】（1）由题意得，即，         所以数列是首项为，公差为2的等差数列，           故，即.（2）由（1）知，          所以.18．已知的顶点坐标分别是，，.(1)求外接圆的方程；(2)若直线l：与的外接圆相交于M，N两点，求.【答案】(1)(2) 【分析】（1）设出圆的一般方程，代入点，求出方程组的解，即可得到本题答案；（2）先求出圆心到直线的距离，即可得到，然后求出，即可得到本题答案.【详解】（1）设圆的一般方程为：，，代入点得，，解得，所以圆的一般方程为：，标准方程为：.（2）圆心到直线的距离，又因为，在等腰中，，所以圆心角，则.19．如图所示，在四棱锥中，平面ABCD，，，且，.(1)求证：平面；(2)若E为PC的中点，求与平面所成角的正弦值.【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】（1）先证，，由此即可证得平面；（2）建立空间直角坐标系，求出,平面的一个法向量为，然后利用公式，即可求得本题答案.【详解】（1）作，垂足为，易证，四边形为正方形.所以，.又，因为，所以.因为平面，平面，所以.   又，平面，平面，所以平面.         （2）以点为坐标原点，以所在的直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，.   则，，.设平面的法向量为，由，得，令，可得平面的一个法向量为.           设与平面所成角为，则.20．已知抛物线：（）的焦点为，过上一点向抛物线的准线作垂线，垂足为，是面积为的正三角形.(1)求抛物线的方程；(2)过点作直线交于，两点，记直线，的斜率分别为，，证明：.【答案】(1)(2)证明见解析 【分析】（1）由等边三角形的面积可以求出边的长，再求出中的长，即可求出的值，从而求出抛物线的标准方程；（2）设过的直线方程，与抛物线方程联立，借助，坐标表示，化简证明即可.【详解】（1）如图所示，的面积，∴，设准线与轴交于点，则在中，，∴，∴抛物线的方程为.（2）由题意知，过点的直线l的斜率存在且不为，∴设直线的方程为：（），直线的方程与抛物线的方程联立，得，消去y整理得，，当，即时，设，，则，，由第（1）问知，，∴直线的斜率，直线的斜率，∴.∴原命题得证.21．已知数列满足，且.(1)求的通项公式；(2)设，数列的前n项和为，若对任意的，不等式恒成立，求实数λ的取值范围.【答案】(1)(2) 【分析】（1）由，可得数列为等比数列，公比，代入到，算出，即可得到本题答案；（2）根据错位相减的方法求得，然后将不等式，逐步等价转化为，再利用单调性求出的最大值，即可得到本题答案.【详解】（1）因为，所以是公比为2的等比数列，所以，故，  故.（2），则，所以，         两式相减得，，    因此.          由，可得，所以，该式对任意的恒成立，则.令，则，当时，，即数列递增，当时，，即数列递减，所以当时，，           所以实数λ的取值范围是.22．已知椭圆M：的短轴长为，离心率为.(1)求椭圆M的方程；(2)若过点的两条直线分别与椭圆M交于点A，C和B，D，且共线，求直线AB的斜率.【答案】(1)(2) 【分析】（1）由短轴长可求出，由离心率为可求出，由此即可求得本题答案；（2）设点，因为共线，可设，可得，，代入椭圆方程，然后相减，即可得到本题答案.【详解】（1）因为短轴长为，所以，则，          因为离心率，所以，所以，可得，      所以椭圆M的方程为.（2）设.设，则，即，   代入椭圆方程，得，即①           同理可得②             由②-①，得，           所以，           所以直线AB的斜率.【点睛】思路点睛：把共线这个条件，转化为，是解决此题的关键.