2022-2023学年云南省昆明市西山区高二上学期2月期末考试数学试题含解析

2022-2023学年云南省昆明市西山区高二上学期2月期末考试数学试题

一、单选题

1．已知全集，，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据对数函数单调性求集合B，再根据集合间的运算求解.

【详解】由题意可得：，

则，可得.

故选：D.

2．已知复数满足，其中为虚数单位，则（    ）

A． B． C．1 D．2

【答案】C

【分析】先求出复数，再利用求模的公式即可求出答案.

【详解】因为，

所以，

所以

故选：C.

3．已知等差数列的前项和为，且，，则（    ）

A．7 B．5 C．4 D．

【答案】B

【分析】根据等差中项分析运算.

【详解】因为数列为等差数列，可得，则，

，则，

由，即.

故选：B.

4．设平面向量，若，则等于（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据，可得，从而可求出，再根据向量的模的计算公式计算即可.

【详解】因为，所以，即，解得，

即，则，

所以.

故选：B.

5．地震的震级直接与震源所释放的能量大小有关，可以用关系式表达：，其中M为震级，E为地震能量.2022年11月21日云南红河发生了3.6级地震，此前11月19日该地发生了5.0级地震，则第一次地震能量大约是第二次地震能量的（    ）倍（参考数据，）

A．100 B．120 C．125 D．160

【答案】C

【分析】根据题意结合对数运算分析求解.

【详解】设3.6级地震的地震能量为，5.0级地震的地震能量为，

由题意可得，两式相减得，

因为2.1更接近于2.09，可得，

结合选项可知：所以第一次地震能量大约是第二次地震能量的125倍.

故选：C.

6．已知甲、乙两名同学在高三的6次数学测试的成绩统计如图，则下列说法不正确的是（    ）

A．若甲、乙两组数据的平均数分别为，，则

B．若甲、乙两组数据的方差分别为，，则

C．甲成绩的极差小于乙成绩的极差

D．甲成绩比乙成绩稳定

【答案】B

【分析】由折线图甲乙同学成绩的分布情况即可作出判断.

【详解】对于A，由折线图可知，甲同学的平均成绩高于乙同学的平均成绩，A正确；

对于B，由折线图可知，甲同学的成绩较乙同学的成绩更稳定，所以，B错误，

对于C，由折线图可知，甲成绩的极差小于乙成绩的极差，C正确；

对于D，甲成绩比乙成绩稳定，D正确.

故选：B

7．已知长方体的体积为16，，与相交于点E，则三棱锥的外接球的表面积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据已知线面关系，判断三棱锥的外接球球心的位置并计算出求得半径，从而得外接球的表面积即可.

【详解】解：设，则由长方体的体积公式，得，解得，

所以，

由题可知，四边形为正方形，所以，

所以外接圆的圆心为AD的中点，记为点M，如下图：

又是直角三角形，同理外接圆的圆心为AC的中点，记为点N，

过点M，N分别作平面与平面的垂线，两条垂线的交点为AC的中点N，

所以三棱锥的外接球的球心是AC的中点N.

又，所以外接球半径，所以外接球的表面积为.

故选：D.

8．已知是上的奇函数，且，当时，，则（    ）

A． B．1 C．0 D．2

【答案】A

【分析】根据奇函数的性质得到，再分析得到函数的周期，根据周期性及所给函数解析式计算可得.

【详解】因为是定义在上的奇函数， 则，

又，即，

所以，所以是以为周期的周期函数，

当时，，所以，

，

所以.

故选：A

二、多选题

9．已知函数的图象的相邻两个最高点的距离为，，则下列说法正确的是（    ）

A． B．的图像关于直线对称

C．函数为奇函数 D．函数在上单调递增

【答案】AC

【分析】对于A：根据函数的周期求；再根据求.对于B、C、D：结合三角函数的性质逐项分析判断.

【详解】对于A：由题意可得：，且，解得，故A正确；

可得，

因为，即，

且，可得，

故.

对于B：因为不是最值，

所以的图像不关于直线对称，故B错误；

对于C：是奇函数，故C正确；

对于D：因为，则，

且在上不单调，所以函数在上不单调，故D错误；

故选：AC.

10．在正方体中，M，N分别为AB，AD的中点，则下列说法正确的是（    ）

A．平面平面

B．平面平面

C．与平面所成角的正弦值为

D．与平面所成角的正弦值为

【答案】ABC

【分析】对于A、B：根据线面、面面垂直的判断定理分析判断；对于C、D：根据线面夹角的定义分析计算.

【详解】设正方体的棱长为4，

因为平面，平面，则，

又因为，，平面，

所以平面，

对于A：因为M，N分别为AB，AD的中点，则//，

可得平面，

且平面，所以平面平面，故A正确；

对于B：因为平面，所以平面平面，故B正确；

对于C：设，连接，

因为平面，则与平面所成角为，

可得，则，

所以与平面所成角的正弦值，故C正确；

对于D：设，连接，

因为平面，则与平面所成角为，

可得，

所以与平面所成角的正弦值，故D错误；

故选：ABC.

11．下列说法正确的有（    ）

A．若不等式的解集为，则

B．对任意终边不在坐标轴上的角都有恒成立

C．定义在上的奇函数在上单调递增，且，则不等式的解集为

D．函数，若恒成立，则实数的取值范围是

【答案】ABD

【分析】对于A：根据三个二次之间的关系分析运算；对于B：根据题意结合基本不等式分析运算；对于C：根据奇函数的性质结合函数单调性分析运算；对于D：根据恒成立问题解得基本不等式可得，解一元二次不等式即可.

【详解】对于A：若不等式的解集为，

则为方程的两根，且，

可得，解得，所以，故A正确；

对于B：由题意可知：，

则，

当且仅当，即时，等号成立，

所以，故B正确；

对于C：由题意可得：在上单调递增，且，

结合奇函数可得：若，则或；若，则或；

因为，则或，

可得或，解得，

所以不等式的解集为，故C错误；

对于D：因为，则，

当且仅当，即时，等号成立，

可得，解得，

所以实数的取值范围是，故D正确；

故选：ABD.

12．已知椭圆的右顶点为，过右焦点的直线交椭圆于两点，设，的斜率分别记为，以下各式为定值的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】BD

【详解】易得，设直线的方程为，与椭圆方程联立，利用韦达定理逐项判断.

【分析】解：如图所示：

由已知得，

设直线的方程为，与椭圆方程联立得，

消去得：，

设，

所以，

，

，

则（与有关，不是定值），故选项错误.

是定值，故选项B正确.

，

（与有关，不是定值）故选项C错误.

，

（定值）故选项D正确.

故选：BD

三、填空题

13．命题“，”的否定为________；

【答案】，

【分析】根据特称命题的否定分析判断.

【详解】由题意可得：命题“，”的否定为“，”.

故答案为：，.

14．写出同时满足下列条件的数列的一个通项公式：________；

①数列是递减数列，②

【答案】（答案不唯一）

【分析】本题属于开放性问题，只需找到符合题意的，令，再检验即可.

【详解】令，因为函数在定义域上单调递减，且当时，

所以单调递减，且，符合题意.

故答案为：（答案不唯一）

15．已知函数，若方程有4个不同的实数根，则实数的取值范围是________；

【答案】

【分析】原题意等价于与有四个不同的交点，结合图象分析求解.

【详解】原题意等价于与有四个不同的交点，

作出的图象，如图所示：

可得：当时，与有且仅有一个交点；

当或时，与有且仅有三个交点；

当时，与有且仅四个交点；

当时，与有且仅有两个交点；

综上所述：若与有四个不同的交点，则实数的取值范围是.

故答案为：.

16．已知的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，，若，则面积的最大值为_________.

【答案】

【分析】由正弦定理边化角，结合两角和与差的正弦公式可得，再利用余弦定理，结合基本不等式即可求解.

【详解】因为，由正弦定理可得，

整理得，

又因为，则，

可得，整理得，

且，则，

由余弦定理，即，

则，当且仅当时，等号成立，

整理得，

可得面积，

所以面积的最大值为.

故答案为：.

四、解答题

17．2022年4月16日，神舟十三号载人飞船返回舱在东风着陆场预定区域成功着陆，航天员翟志刚，王亚平，叶光富顺利出舱，神舟十三号载人飞行任务圆满完成.为纪念中国航天事业成就，发扬并传承中国航天精神，某校抽取100名学生进行了航天知识竞赛并纪录得分（满分：100分），根据得分将他们的成绩分成，，，，，六组，制成如图所示的频率分布直方图.

(1)求图中的值，并估计这100人竞赛成绩的平均数；（同一组数据用该组数据的中点值代替）

(2)估计竞赛成绩不低于60分的概率.

【答案】(1)，平均数为

(2)

【分析】（1）由频率分布直方图，利用频率和为1，列方程解出值，并利用平均数的定义求解；

（2）根据频率分布直方图，可计算竞赛成绩不低于分的概率．

【详解】（1）由题意，，

解得，

所以

，

故这人竞赛成绩的平均数为；

（2）竞赛成绩不低于分的概率为．

18．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，的外接圆半径为，

(1)求角C；

(2)若的面积为，求的周长.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据二倍角公式结合正弦定理分析运算；

（2）先利用正弦定理求得，再利用面积公式、余弦定理运算求解.

【详解】（1）因为，

由正弦定理可得，

又因为，则，

可得，即，所以.

（2）由正弦定理，可得，

因为的面积，即，可得，

由余弦定理，

即，解得或（舍去），

所以的周长为.

19．如图，在四棱锥中，底面ABCD是平行四边形，，，点E是线段AD的中点，点F在线段AP上且满足，面ABCD.

(1)当时，证明：//平面；

(2)当为何值时，平面BFE与平面PBD所成的二面角的正弦值最小？

【答案】(1)证明见详解

(2)

【分析】（1）根据线面平行的判定定理分析证明；

（2）建系，利用空间向量求二面角，并结合二次函数分析运算.

【详解】（1）设，

因为//，则，

若，即，可得，

所以//，

平面，平面，

故//平面.

（2）连接，

由题意可得：，

在中，由余弦定理，

即，可得，则，

且面ABCD，如图，以为坐标原点建立空间直角坐标系，

则，

可得，

设点，则，

因为，则，解得，即，

可得，

设平面BFE的法向量为，则，

令，则，即，

由题意可得：平面的法向量，

设平面BFE与平面PBD所成的二面角为，

则，

由题意可知：，则有：

当时，则；

当时，则，

因为，则，

关于的二次函数开口向上，对称轴，

当，即时，取到最小值，即，

可得；

综上所述：.

所以当时，取到最大值，取到最小值.

即当时，平面BFE与平面PBD所成的二面角的正弦值最小.

20．某家庭有12万元存款，为增加家庭收入，决定用其中的10万元进行风险投资.他们对甲乙两种产品进行市场调研，得到如下结论：甲产品的利润与投资额的算术平方根成正比（如图1），乙产品的利润与投资额成正比（如图2），（利润与投资额的单位均为万元）

(1)分别写出甲乙两种产品的利润，与投资额之间的函数关系；

(2)这个家庭应如何分配甲乙两种产品的投资额，可以获得最大利润，最大利润是多少？

【答案】(1)，

(2)该家庭对甲种产品投资万元，对乙种产品投资万元，可以获得最大利润，最大利润是万元.

【分析】（1）根据题意可知，甲种产品的利润，乙种产品的利润，结合图象，求解，，最后写出解析式即可；

（2）设该家庭对甲种产品投资万元，则对乙种产品投资万元，，该家庭获得的利润为，，利用换元法，结合二次函数的性质，求解即可．

【详解】（1）根据题意可知，甲种产品的利润，乙种产品的利润，

根据图象可知，，，解得，，

故，；

（2）设该家庭对甲种产品投资万元，则对乙种产品投资万元，，

该家庭获得的利润为，，

令，则，，

对应二次函数开口向下，对称轴为，所以，即为最大利润，

故该家庭对甲种产品投资万元，对乙种产品投资万元，可以获得最大利润，最大利润是万元．

21．已知是数列的前项和，①，，②，且，③，

请从①②③中选择一个条件进行求解.

注：如果选择不同的条件分别解答，则按第一个解答计分.

(1)求数列的通项公式；

(2)数列的前项和为，是否存在正整数，使恒成立？若存在，求出的最大值；若不存在，请说明理由.

【答案】(1)

(2)存在，的最大值为

【分析】（1）对①②：根据前项和与通项之间的关系，结合等比数列分析运算；对③：根据等比数列分析运算；

（2）利用裂项相消法求，根据数列单调性结合恒成立问题运算求解.

【详解】（1）若选①：，，

当时，则，即；

当时，则，可得，

整理得，

故数列是以首项，公比的等比数列，则；

若选②：，且，

令，则，

可得，两式相减得，即，

注意到，

故数列是以首项，公比的等比数列，则；

若选③：，，即，

故数列是以首项，公比的等比数列，则.

（2）存在，的最大值为.

由（1）可知：，则，

所以，

可知为递增数列，则，

所以，解得，

且为正整数，则的最大值为.

22．已知双曲线的右焦点为F，点 分别为双曲线C的左、右顶点，过点F的直线l交双曲线的右支于 两点，设直线的斜率分别为，且.

(1)求双曲线C的方程；

(2)当点P在第一象限，且时，求直线l的方程.

【答案】(1)

(2) .

【分析】（1）设点，根据，结合点P是双曲线上的点，化简求得，即得答案.

（2）设，利用两角和的正切公式化简可得，设直线，并联立双曲线方程，可得根与系数的关系，化简求得m的值，即得答案.

【详解】（1）由题意得 ，设点.

则.

因为点P是双曲线上的点，则，∴.，∴，

则双曲线C的方程为

（2）设，点P在第一象限，

则，

又，

故，

同理可得，即，

则直线l的斜率大于0，

由（1）可知 ，设直线，联立 ，

化简得 ，

则，

故,

，代入韦达定理得 ，

所以 ，解得或（舍去），

所以直线l的方程为 .

【点睛】关键点点睛：解决此类直线和圆锥曲线的位置关系的问题时，一般设出直线方程，并联立圆锥曲线，得到根与系数的关系式，化简求解，解答此题的关键在于要能利用两角和的正切公式结合进行化简得到，从而再结合根与系数的关系化简求解即可.