2022-2023学年广东省佛山市荣山中学高二上学期期中数学试题含解析

2022-2023学年广东省佛山市荣山中学高二上学期期中数学试题

一、单选题

1．若且与相互独立,则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】代入相互独立事件概率公式求解即可.

【详解】由题意知与相互独立,

则.

故选:A.

2．若空间中任意四点O，A，B，P满足＝m＋n，其中m＋n＝1，则（    ）

A．P∈直线AB

B．P∉直线AB

C．点P可能在直线AB上，也可能不在直线AB上

D．以上都不对

【答案】A

【分析】利用减法法则化简已知得，再根据，有公共起点A，即可判断得解.

【详解】因为m＋n＝1，所以m＝1－n，

所以＝(1－n)·＋n，

即＝n()，

即，所以与共线．

又，有公共起点A，所以P，A，B三点在同一直线上，即P∈直线AB.

故选：A

3．若直线过点，，则此直线的倾斜角是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据斜率的坐标表示以及，故可得结果.

【详解】由题意知，直线的斜率，

即直线的倾斜角满足，

又，，

故选：C

【点睛】本题主要考查斜率与倾斜角的关系，属基础题.

4．盒子里有4个白球和5个黑球，从中任取一个，取出白球的概率是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】用古典概型求解.

【详解】盒子里共有9个球，其中4个白球，所以由古典概型得从中任取一个，取出白球的概率是.

故选：B

5．如图.空间四边形OABC中，，点M在OA上，且满足，点N为BC的中点，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据空间向量的加减和数乘运算直接求解即可.

【详解】.

故选：D.

6．抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A=“第一枚硬币正面朝上”，事件B=“第二枚硬币正面朝上”.下列结论正确的是（    ）

A．A与B互为对立事件 B．A与B互斥

C．A与B相等 D．P(A)=P(B)

【答案】D

【分析】先把抛掷两枚质地均匀的硬币的所有可能结果都罗列出来，然后再把事件A和事件B包含的可能结果找出来，然后根据事件对立、互斥、相等的定义即可判断ABC选项；对于D选项，只要根据古典概型的概率计算公式计算出事件A和事件B的概率即可判断.

【详解】抛掷两枚质地均匀的硬币的所有可能结果有：（正，正），（正，反），（反，正），（反，反）4种结果，

事件A包含的结果有：（正，正），（正，反）2种，事件B包含的结果有：（正，正），（反，正）2种，

显然事件A和事件B都包含（正，正）这一结果，即事件A和事件B能同时发生，

所以事件A和事件B既不对立也不互斥，故选项A、B错误；

事件A和事件B中有不同的结果，所以事件A和事件B不相等，故选项C错误；

由古典概型得,所以,故选项D正确；

故选：D.

7．已知空间直角坐标系中， ，点在直线上运动，则当取得最小值时，点的坐标为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用向量表示出点Q坐标，再求出，的坐标，借助数量积建立函数关系即可求解.

【详解】因点Q在直线上运动，则，设，于是有，

因为，，所以，，

因此，，

于是得

，

则当时，，此时点Q，

所以当取得最小值时，点Q的坐标为.

故选：C

8．如图，在棱长为2的正方体中，点分别是棱、的中点，则点到平面的距离等于（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】建立空间直角坐标系，找到平面的法向量，利用向量法求点到平面的距离求解即可.

【详解】以为坐标原点，分别以，，的方向为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系，则，，，.

设平面的法向量为，

则，即

令，得.

又，

点到平面的距离，

故选：.

【点睛】本题用向量法求点到平面的距离，我们也可以用等体积法求点到平面的距离，当然也可以找到这个垂线段，然后放在直角三角形中去求.

二、多选题

9．三棱锥中，平面与平面的法向量分别为，若，则二面角的大小可能为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】BC

【分析】由二面角的大小与法向量夹角相等或互补即可求得结果.

【详解】二面角的大小与法向量的夹角相等或互补，

二面角的大小可能为或.

故选：BC.

10．设A，B为两个随机事件，以下命题正确的为（    ）

A．若A，B是互斥事件，，则

B．若A，B是对立事件，则

C．若A，B是独立事件，，则

D．若，且，则A，B是独立事件

【答案】BC

【分析】利用互斥事件与相互独立事件的性质逐一判断即可

【详解】对于A：若，是互斥事件，，，则，故A错误；

对于B：若，是对立事件，则，故B正确；

对于C：若，是独立事件，，，则，也是独立事件，则，故C正确；

对于D：若，则且，则，不是独立事件，故，也不是独立事件，故D错误；

故选：BC

11．已知空间中三点，，，则下列说法正确的是（    ）

A．与是共线向量 B．与同向的单位向量是

C．和夹角的余弦值是 D．平面的一个法向量是

【答案】BD

【分析】根据共线向量的坐标表示可知A错误；

根据与同向的单位向量为，计算可知B正确；

利用向量夹角公式计算可知C错误；

根据法向量的求法可知D正确.

【详解】对于A，，，可知，与不共线，A错误；

对于B，，，，即与同向的单位向量是，B正确；

对于C，，，

即和夹角的余弦值为，C错误；

对于D，设平面的法向量，

则，令，解得：，，，

即平面的一个法向量为，D正确.

故选：BD.

12．如图，已知四棱锥的底面是直角梯形，， ，平面，，下列说法正确的是（        ）

A．与所成的角是

B．平面与平面所成的锐二面角余弦值是

C．与平面所成的角的正弦值是

D．是线段上动点，为中点，则点到平面距离最大值为

【答案】AC

【分析】由题意，建立空间直角坐标系，利用向量处理问题，结合相关的夹角公式与点到面的距离公式运算求解，注意线上动点的向量设法.

【详解】由题意，以为原点，以所在的直线分别为轴、轴和轴建立空间直角坐标系，如图所示，

可得，

对于A中，可得，

所以，

所以与的夹角的余弦值为，即夹角为，所以A正确；

对于B中，由平面的法向量为，

又由，

设平面的法向量为，则，

令，可得，所以，

所以，

所以平面与平面所成的锐二面角余弦值是， B错误.

对于C中，由，

所以与平面所成的角的正弦值是， C正确；

对于D中，

设，则

∴

设平面的法向量为，则，

令，则，即

∵

∴点到平面距离为

当时，则点为点

∴点到平面距离为0

当时，则

∴，则

综上所述：点到平面距离的取值范围为，即最大值为，D错误

故选：AC.

三、填空题

13．设直线的方向向量为，平面的一个法向量为，若直线平面，则实数的值为________．

【答案】

【分析】由线面平行可得，由向量垂直的坐标表示可构造方程求得的值.

【详解】直线平面，，即，解得：.

故答案为：.

四、双空题

14．笛卡尔是世界著名的数学家，他因将几何坐标体系公式化而被认为是解析几何之父.据说在他生病卧床时，还在反复思考一个问题：通过什么样的方法，才能把“点”和“数”联系起来呢？突然，他看见屋顶角上有一只蜘蛛正在拉丝织网，受其启发建立了笛卡尔坐标系的雏形。在空间直角坐标系中，关于轴对称的点的坐标是__________；点C是点B(3,4,5)在坐标平面Oxy内的射影，则________.

【答案】          5

【分析】关于轴对称的点是将横坐标与竖坐标变为相反数，纵坐标不变；点B(3,4,5)在坐标平面Oxy内的射影将竖坐标变为0，其它坐标不变.

【详解】关于轴对称的点是将横坐标与竖坐标变为相反数，为；

点B(3,4,5)在坐标平面Oxy内的射影将竖坐标变为0，其它坐标不变，故，故.

故答案为：；5.

五、填空题

15．佛山市荣山中学30周年校庆学校安排了分别标有序号为“1号”“2号”、“3号”的三辆车，等可能随机顺序前往酒店接校友。某校友突发奇想，设计了一种乘车方案：不乘坐第一辆车，若第二辆车的序号大于第一辆车的序号就乘坐此车，否则乘坐第三辆车，记事件A=“乘坐到3号车”，则________.

【答案】/0.5

【分析】列出发车顺序的所有结果，再利用古典概率计算公式求解即得.

【详解】三辆车的出车顺序有: 123， 132， 213，231，312， 321， 共6个不同结果，它们等可能，按方案坐到“3号"车的事件有132, 213, 231, 事件A中共3个不同结果，则

故答案为：

16．已知点，直线与线段相交，则实数的取值范围是____；

【答案】

【详解】由直线，即，此时直线恒过点，

 则直线的斜率，直线的斜率，

 若直线与线段相交，则，即，

 所以实数的取值范围是．

 点睛：本题考查了两条直线的位置关系的应用，其中解答中把直线与线段有交点转化为直线间的斜率之间的关系是解答的关键，同时要熟记直线方程的各种形式和直线过定点的判定，此类问题解答中把直线与线段有交点转化为定点与线段端点斜率之间关系是常见的一种解题方法，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力．

六、解答题

17．已知两直线，.求分别满足下列条件的，的值：

(1)直线过点，并且直线与垂直；

(2)直线与直线平行，并且直线在轴上的截距为.

【答案】(1)，

(2)，

【分析】（1）根据直线垂直的充要条件以及点在直线上，列出方程组即可解出；

（2）根据两直线平行斜率相等，以及直线纵截距的意义，列出方程，即可解出．

【详解】（1）因为l1⊥l2，所以a(a－1)＋(－b)·1＝0，即a2－a－b＝0.①

又点(－3，－1)在l1上，所以－3a＋b＋4＝0.②

由①②得a＝2，b＝2.

（2）因为直线l2在y轴上的截距为3，所以b＝－3，

又,所以,所以,故.

18．某学校有学生人，为了解学生对本校食堂服务满意程度，随机抽取了名学生对本校食堂服务满意程度打分，根据这名学生的打分，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为.

(1)求频率分布直方图中的值，并估计该校学生满意度打分不低于分的人数；

(2)若采用分层抽样的方法，从打分在的受访学生中随机抽取人了解情况，再从中选取人进行跟踪分析，求这人至少有一人评分在的概率.

【答案】(1) ，6人

(2)

【分析】（1）由频率分布直方图中所有小矩形的面积之和为得到方程，即可求出，再估计出满意度打分不低于分的人数；

（2）首先求出打分在和内人数，再用列举法列出所有可能结果，最后根据古典概型的概率公式计算可得.

【详解】（1）由频率分布直方图可知，，

解得.

该校学生满意度打分不低于分的人数为 .

（2）由频率分布直方图可知，打分在和内的频率分别为和，

抽取的人采用分层抽样的方法，在内的人数为人，在内的人数为人.

设内的人打分分别为，，内的人打分分别为，，，

则从的受访学生中随机抽取人，人打分的基本事件有：

，，共种.

其中两人都在内的可能结果为，

则这人至少有一人打分在的概率.

19．已知空间三点，，．

(1)求以AB，AC为邻边的平行四边形的面积；

(2)若向量分别与，垂直，且，求向量的坐标．

【答案】(1)

(2)或

【分析】（1）先求出，然后利用向量的夹角公式求出，从而可求出，再利用三角形的面积公式可求得答案，

（2）设，然后利用向量分别与，垂直，且，列方程组可求得答案

【详解】（1）因为，，，

所以，

所以，

因为，所以，

所以以AB，AC为邻边的平行四边形的面积为

（2）设，

因为向量分别与，垂直，

所以，

因为，所以，

解得或，

所以或

20．某停车场临时停车按停车时长收费，收费标准为每辆汽车一次停车不超过半小时的免费，超过半小时的部分每小时收费3元（不足1小时的部分按1小时计算）.现有甲､乙两人在该停车场临时停车，两人停车时长互不影响且都不超过2.5小时.

(1)若甲停车的时长在不超过半小时，半小时以上且不超过1.5小时，1.5小时以上且不超过2.5小时这三个时段的可能性相同，乙停车的时长在这三个时段的可能性也相同，求甲､乙两人停车付费之和为6元的概率；

(2)若甲､乙停车半小时以上且不超过1.5小时的概率分别为，，停车1.5小时以上且不超过2.5小时的概率分别为，，求甲､乙两人临时停车付费不相同的概率.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据已知条件及列举法写出基本事件，结合古典概型的计算公式即可求解；

（2）根据互斥事件及相互独立事件的概率公式，结合对立事件的概率计算公式即可求解.

【详解】（1）设甲停车付费a元，乙停车付费b元，其中a，.

所以甲､乙两人停车付费（a，b）的所有可能情况为：（0，0），（0，3），（0，6），（3，0），（3，3），（3，6），（6，0），（6，3），（6，6），共9种.

其中事件“甲､乙两人停车付费之和为6元”包含（0，6），（3，3），（6，0），共3种情况，

故甲､乙两人停车付费之和为6元的概率为.

（2）设甲停车的时长不超过半小时､乙停车的时长不超过半小时分别为事件，，

甲停车的时长在半小时以上且不超过1.5小时､乙停车的时长在半小时以上且不超过1.5小时分别为事件，，

甲停车的时长为1.5小时以上且不超过2.5小时､乙停车的时长在1.5小时以上且不超过2.5小时分别为事件，，

则，，

所以甲､乙两人临时停车付费相同的概率为.

所以甲､乙两人临时停车付费不相同的概率为.

21．如图，在多面体ABCDEF中，梯形ADEF与平行四边形ABCD所在平面互相垂直，.

(1)求证：BF∥平面CDE；

(2)求二面角的余弦值；

(3)判断线段BE上是否存在点Q，使得平面CDQ⊥平面BEF？若存在，求出的值，若不存在，说明理由.

【答案】(1)详见解析

(2)

(3)存在点；

【分析】（1）根据线面平行的判断定理，作辅助线，转化为证明线线平行；

（2）证得，，两两垂直，从而建立以D点为原点的空间直角坐标系，求得平面和平面的一个法向量，根据法向量的夹角求得二面角的余弦值；

（3）设，求得平面的法向量为，若平面平面，则，从而解得的值，找到Q点的位置.

【详解】（1）取的中点，连结，，

因为，所以，且，

所以四边形是平行四边形，所以，且,

又因为,且，所以,,

所以四边形是平行四边形，所以,

因为平面,平面，

所以平面；

（2）因为平面平面，平面平面，，

所以平面，平面，则，故，，两两垂直，所以以，，所在的直线分别为轴、轴和轴，如图建立空间直角坐标系，

则，，，，，，

所以，，为平面的一个法向量.

设平面的一个法向量为，

由，，得，

令，得.

所以.

如图可得二面角为锐角，

所以二面角的余弦值为.

（3）结论：线段上存在点，使得平面平面.

证明如下：

设，

所以.

设平面的法向量为，又因为，

所以，，即，

若平面平面，则，即，

解得.所以线段上存在点，使得平面平面，

且此时.

22．如图，在棱长为的正方体中，，分别是，上的动点，且．

(1)求证：；

(2)当三棱锥的体积取得最大值时，求平面与平面的夹角的正切值．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）构建空间直角坐标系，令且，应用向量法求证垂直即可；

（2）由三棱锥体积最大，只需△面积最大求出参数，再标出相关点的坐标，求平面与平面的法向量，进而求它们夹角的余弦值，即可得正切值.

【详解】（1）如下图，构建空间直角坐标系，令且，

所以，，，，

则，，故，

所以，即.

（2）由（1）可得三棱锥体积取最大，即面积最大，

所以当时，故、为、上的中点，

所以，，，故，，

若为平面的法向量，则，令，故，

又面的法向量为，

所以，

设平面与平面的夹角为，由图可知为锐角，则，所以，

所以，

所以平面与平面的夹角正切值为.