2022-2023学年安徽省十校联盟高二第三届解题能力竞赛数学试题含答案

  第三届高二年级数理化生解题能力竞赛

数学试题

满分120分，考试时间120分钟.请在答题卡上作答.

一､填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分.

1.如果函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，则的值为__________.

2.已知命题：对任意的正数，有，命题：不存在实数，使.若命题都为假命题，则实数的取值范围是__________.

3.在立方体中放人9个球，一个与立方体6个面都相切，其余8个相等的球都与这个球及立方体的三个面相切，已知8个相等的球的半径都为，则立方体的体积为__________.

4.圆上有一定点是该圆上的两动点.如果为常数，可证必与某个圆相切，则的方程为__________.

5.对的长方形方格带的某些小方格染色（染成红色），要求任何一个的正方形方格中至少有一个的小方格未被染色，这样的染色方式有__________种.

6.一离散型随机变量的分布列为：

其中为变数，为正常数，且当时方差有最大值，则的值为__________.

7.已知双曲线的右焦点为，过的直线与双曲线右支交于两点，若以为直径的圆过原点，则双曲线离心率的取值范围是__________.

8.__________.

二､解答题：本大题共3小题，共56分.解答应写出文字说明､证明或演算步骤.

9.（本小题满分16分）

已知函数，且对一切，都有.

（1）将分别表示成关于的函数，并求出的取值范围；

（2）对于给定的，求在区间上的最小值.

10.（本小题满分20分）

某游戏公司开发了一款游戏，共有两关，公司组织了水平相当的位玩家测试这款游戏.玩家按预先指定的顺序依次上场，每位玩家的测试都是相互独立的.他们通过第一关测试的概率都为，通过第二关测试的概率都为.若玩家通不过第一关测试，则他下场，由下一位玩家继续上场测试，若玩家通过第一关测试，则继续第二关的测试，若第二关测试通过，则游戏测试终止，若第二关测试通不过，则下一位玩家直接从第二关开始测试.当时，求第位玩家终止测试的概率（用含的式子表示）.

11.（本小题满分20分）

已知函数（为常数）的图象上存在四个点，过的切线为，其中，且围成的图形是正方形.

（1）求证：；

（2）试求的取值范围.

第三届高二年级数理化生解题能力竞赛

数学参考答案

一､填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分.

1.1

由题意得，，由，得，

解得或.当时，，当时，，

则在区间上单调递增，不满足条件，舍去；当时，

，则在区间上单调递减，在区间上单调递增，满足题意，故.

2.

当命题为真命题时，对任意的正数命题为假命题时，；当命题为假命题时，存在实数，使，，故命题都为假命题时，实数的取值范围是.

3.8

设立方体的边长为，则，解得，则立方体的体积为8.

4.

设到的距离为，则，

又与圆相切.

5.3105

考虑个方格的染色情况.最后2个方格如果没有染色或只有一个染色（它有3种可能的情况），前面的个方格有种染色方式，共有种染色方式；如果最后两个方格都染色，则与它相邻的2个方格或者没有染色或者只有一格染色，前面的方格有种染色方式，共有种染色方式，故，其中，由此可知，.

6.0.1

由题意得，

当时有最大值，此时，解得.

7.

当轴时，，解得.当不与轴垂直时，设，

与联立得，设，

，则，则.

由题意得，.综上，双曲线离心率的取值范围是.

8.1方法一：令，

，

，同理得，

，以上三式相乘有：

.

方法二：令.

令，

.

令

，

.

二､解答题：本大题共3小题，共56分.解答应写出文字说明､证明或演算步骤.

9.（本小题满分16分）

（1）原不等式可化为.

取，则有，

令，

因此有.

当时，由上式知恒有，

，且.

同理，当时，也有，

.

由题意得，，

①②两式恒成立，.

（2）当时，，此时在上的最小值为；

当时，图象的对称轴方程为，

此时.

记的最小值为，当时，得⑤，

故当时，⑤成立，此时.

当时，.

注意到：，

当时，⑥戊立，此时.

当时：当时，，此时.

当时，，此时.

综上，在区间上的最小值如下：

当时，；

当时，.

10.（本小题满分20分）

设第位玩家终止测试的概率为.

当且第位玩家终止测试时，第位玩家必通过第二关测试.

若前面位玩家都没有通过第一关测试，其概率为，

若前面位玩家中人第位玩家才通过第一关测试，

则前面位玩家无人通过第一关测试，其概率为，

第位玩家通过第一关测试，但没有通过第二关测试，其概率为，

第位玩家到第位玩家中都没有通过第二关测试，其概率为.

前面位玩家中恰有一人通过第一关测试的概率为：

因此，第位玩家终止测试的概率为.

11.（本小题满分20分）

（1）设直线的斜率为，又，则，

，则，，即.

（2）若，则不成立，.

不失一般性，可设.

.

与的距离与的距离分别设为与，

则

，令，则.

，

，又，可得.

方法一：令，

则，

易知当时，取得最小值，从而取得最小值，

的取值范围是.

方法二：令，则，

当且仅当时，取得等号，，

的取值范围是.