2022-2023学年福建省连城县第一中学高二下学期3月月考数学试题含解析

2022-2023学年福建省连城县第一中学高二下学期3月月考数学试题

一、单选题

1．函数的导函数为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据复合函数的求导法则即可求解.

【详解】由得，

故选：B

2．一物体做直线运动，其位移（单位：）与时间（单位：）的关系是，则该物体在时的瞬时速度为（    ）

A．3 B．7 C．6 D．1

【答案】D

【解析】求出即可求出物体在时的瞬时速度.

【详解】解：，当时，.

故选:D.

【点睛】本题考查了函数导数的求解.本题的关键是求出函数的导数.

3．函数，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据求导公式求，再求即可.

【详解】因为，

所以，

所以.

故选：D.

4．设x，，向量，，且，，则（    ）

A． B． C．3 D．4

【答案】C

【分析】根据，，解得x，y，然后由空间向量的模公式求解.

【详解】因为向量，，且由得，由，得 解得，所以向量，，

所以，

所以

故选：C

5．函数的递增区间是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】利用导数的性质进行求解即可.

【详解】，因为在整个实数集上恒成立，所以函数的递增区间是.

故选：C

6．已知函数为的导函数，则的大致图象是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】求出，判断奇偶性，并结合特殊值验证，即可判断出答案.

【详解】由可知，

则，即为奇函数，故A，D错误；

又，故C错误，B正确，

故选：B

7．设函数的导函数为，若对任意都有成立，则（    ）

A． B．

C． D．与的大小关系不能确定

【答案】C

【分析】构造函数，利用导数判断函数的单调性，由单调性可判断，由此即可求的答案.

【详解】解：令，则

对任意都有成立

，即在上单调递增

又

，即

故选：C

8．若，则正实数的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】不等式可化为，故考虑构造函数，

利用导数研究函数的单调性，结合单调性化简不等式可得，由已知

，再利用导数求函数的最小值，可得的取值范围.

【详解】不等式，可化为，

设，则，

即在上单调递增，而，

因为，所以，

由已知恒成立，

令，则，

当时，即递减；

当时，即递增；

∴，

故只需，即．又，

所以的取值范围为.

故选：B

【点睛】结论点睛：对于恒成立问题，常用到以下两个结论：

(1)恒成立⇔；

(2)恒成立⇔

二、多选题

9．关于空间直角坐标系中的一点，下列说法正确的是（    ）

A．的中点坐标为

B．点关于轴对称的点的坐标为

C．点关于原点对称的点的坐标为

D．点关于面对称的点的坐标为

【答案】ACD

【解析】结合中点坐标公式可判断A正确；结合空间点对称特点依次判断BCD的正确性即可

【详解】利用中点公式可得的中点坐标为，A对；

点关于轴对称的点的坐标为，B错；

点关于原点对称的点的坐标为，C对；

点关于面对称的点的坐标为，D对；

故选：ACD.

【点睛】结论点睛：本题考查空间中中点坐标公式的应用，空间中对称点的判断，可熟记以下结论：

（1）若空间中的点为，则的中点坐标为；

（2）若空间中的点为，则点关于轴对称的点的坐标为，

关于轴对称的点的坐标为，关于轴对称的点的坐标为；

（3）若空间中的点为，点关于面对称的点的坐标为，关于面对称的点的坐标为，关于面对称的点的坐标为；

（4）若空间中的点为，点关于原点对称的点的坐标为

10．若函数有两个极值点则的值可以为（    ）

A．0 B．1 C．2 D．3

【答案】AB

【分析】求出函数的导函数为二次函数，由函数有两个极值点，则导函数与轴有两个交点，即可求出的范围，得解.

【详解】解：

因为函数有两个极值点

则与轴有两个交点，

即解得

故满足条件的有

故选：

【点睛】本题考查利用导数求函数的极值问题，属于基础题.

11．设函数，则函数（    ）

A．在区间内有零点 B．在区间内无零点

C．在区间内有零点 D．在区间内无零点

【答案】BC

【分析】在同一坐标系中作出函数的图象，由图象结合零点存在性定理即可判断.

【详解】作出函数和的图象，如图，

因为，则，

由零点存在性定理可知：在内无零点，在内有零点，

故选：BC.

12．设为定义在R上的函数的导函数，下列说法正确的是（    ）

A．若恒成立，则

B．若，，则不等式的解集为

C．若是奇函数且满足，当时，，则使得成立的x的取值范围是

D．若，，则在上单调递增

【答案】ACD

【分析】对于A，，有题目条件知在上单调递增，∴，∴，即可判断A；

对于B，令，对求导结合题目易知函数在R上单调递减，又，即可判断B.

对于C，设，对求导结合题目易知函数在上单调递增，又，可得函数的解集为，即可判断C.

对于D，，设，结合题目条件可知∴在上单调递减，在上单调递增，，即可判断D.

【详解】，即，

设，则，

当时，恒成立，在上单调递增，

∴，∴，∴，故A正确．

等价于，即，

令，则．

∵，即，

且，∴，故函数在R上单调递减，

又，故的解集是，故B错误．

设，则．

∵当时，，即，

∴函数在上单调递增．∴为奇函数，∴也为奇函数，∴在上单调递增．

∴，∴，

∴函数的解集为．

又等价于，∴的解集为，故C正确．

由题意得，设，

则．

当时，，当时，，∴在上单调递减，

在上单调递增，∴，

∴，∴在上单调递增，故D正确．

故选：ACD．

三、填空题

13．曲线在点处的切线的方程为_________.

【答案】

【分析】求得函数的导数，得到，利用直线的点斜式方程，即可求解.

【详解】由题意，函数，可得，

则，所以切线方程为，即.

故答案为：

14．如图，在长方体中，P是线段上一点，且，若，则___________．

【答案】/．

【分析】用基底表示后可得．

【详解】由已知，

所以，．

故答案为：．

15．已知函数则满足的取值范围是_________

【答案】

【分析】利用的单调性解不等式

【详解】，

而，，均在区间内单调递增，

故在区间内单调递增，则可化为，解得

故答案为：

16．已知函数，若当时，，则的取值范围是_________．

【答案】

【分析】求出，分，，讨论的单调性，可得答案.

【详解】由，，

得，

（1）当，即时，，

所以在上单调递增，所以，

（2）当时，令，则，

所以在上单调递增，于是，

①若，即时，，

于是在上单调递增，于是，

②若，即时，存在，

使得当时，，于是在上单调递减，

所以，不符合题意.

综上所述，的取值范围是.

故答案为：.

【点睛】结论点睛：对于恒成立问题，常用到以下两个结论：

(1)恒成立⇔；

(2)恒成立⇔

四、解答题

17．如图，在直三棱柱中，，，，分别是，的中点．

(1)求的距离；

(2)求的值．

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）以点C作为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，利用向量的模长公式计算即可；

（2）利用向量夹角运算公式计算的值；

【详解】（1）如图，以为原点，分别以为轴，建立空间直角坐标系，依题意得，，，．

，∴

∴．

所以的距离为.

（2）依题意得，，，，

∴，，

，，，

∴．

18．设函数．

(1)求的增区间；

(2)若不等式在上恒成立，求的取值范围．

【答案】(1)、

(2)

【分析】（1）解不等式，可得出函数的单调递增区间；

（2）利用导数求出函数在上的最大值，即可得出实数的取值范围.

【详解】（1）解：函数的定义域为，依据题意可知，

令得或，所以，的增区间为，.

（2）解：令，得（舍），，列表如下：

所以，当时，，

对任意的，恒成立，则.

19．设函数

(1)求的极值．

(2)证明：，．

【答案】(1)极大值为，无极小值

(2)证明见解析

【分析】（1）利用导数研究函数的单调性，结合极值的定义求函数的极值；

（2）要证明，，只需证明，故考虑设函数，利用导数求其最大值，即可完成证明.

【详解】（1）函数的定义域为，

因为

令得或(舍去)

当时，，函数在上单调递增，

当时，，函数在上单调递减，

∴当时，函数取极大值，极大值为，函数无极小值．

（2）要证明，，

只需证明，，

令，

则，

令得或(舍去)

当时，，函数在上单调递增，

当时，，函数在上单调递减

∴，

即.

20．某学校高二年级一个学习兴趣小组进行社会实践活动，决定对某“著名品牌”系列进行市场销售量调研，通过对该品牌的系列一个阶段的调研得知，发现系列每日的销售量（单位：千克）与销售价格（元/千克）近似满足关系式，其中，为常数.已知销售价格为6元/千克时，每日可售出系列15千克.

（1）求函数的解析式；

（2）若系列的成本为4元/千克，试确定销售价格的值，使该商场每日销售系列所获得的利润最大.

【答案】（1）；（2）当销售价格为5元/千克时，系列每日所获得的利润最大.

【详解】分析：（1）根据题意已知销售价格为6元/千克时，每日可售出系列15千克.即可求出a得到解析式；（2）设该商场每日销售系列所获得的利润为，然后根据利润计算式得出具体表达式，然后根据导数求最值思维求解即可.

详解：

（1）有题意可知，当时，，即，

解得，

所以.

（2）设该商场每日销售系列所获得的利润为，则

，

，

令，得或（舍去），

所以当时，为增函数；

当时，为减函数，

故当时，函数在区间内有极大值点，也是最大值点，

即时函数取得最大值.

所以当销售价格为5元/千克时，系列每日所获得的利润最大.

点睛：考查函数的表示，导函数最值的应用，正确理解题意，写出具体表达式，然后借助导数分析思维求解是解题关键，做此类题要有耐心，认真审题，读懂题意，属于中档题.

21．已知函数，曲线在处的切线方程为.

（1）求证：当时，；

（2）求证：.

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.

【分析】（1）利用导数的几何意义求得切线方程得到，令，用导数法证明即可；

（2）由（1）知，当时，，令，转化为，再利用数列的裂项相消法求解.

【详解】（1）函数的定义域为，.

又∵，，

∴该切线方程为，即.

设，则.

令，则.

当时，，∴在上单调递增.

又∵，∴，即在上单调递增，

∴当时，，

∴当时，.

（2）由（1）知，当时，.

令，则，

∴，

∴，

化简得.

【点睛】关键点点睛：本题第二问关键是利用数列的知识，根据（1）的结论，构造而得解.

22．已知函数，曲线在点处的切线方程为．

（1）求实数的值，并证明：对，恒成立．

（2）设函数，试判断函数在上零点的个数，并说明理由．

【答案】（1）；证明见解析；（2）只有一个零点；答案见解析．

【分析】（1）利用切线方程求出；把原不等式转化为只需证明，构造函数，利用导数求最小值，即可证明；

（2）先设出，，根据函数和的图象的交点，研究出函数在上无零点，在上只有一个零点，即证.

【详解】解：（1）根据题意，

曲线在点处的切线方程为

此时若要证明，对，恒成立，需证明

故需证明，则令，

；；

函数在上单调递减；在上单调递增；

故有当，，即对，恒成立

恒成立．

（2）根据题意可得，

在同一个直角坐标系中作出函数和的图象如下：

假设当时，函数和的相交，

时，单调递增；时，单调递减；

即得

又

综上可得，函数在上无零点，在上只有一个零点

即函数在上只有一个零点．

【点睛】导数的应用主要有：

（1）利用导函数几何意义求切线方程；

（2）利用导数研究原函数的单调性，求极值（最值）；

（3）利用导数求参数的取值范围；

（4）利用导数证明不等式；

（5）利用导数研究零点问题等

其本质是利用导数研究原函数的单调性，求极值或最值.