2022-2023学年河北省承德市双滦区实验中学高二下学期4月月考数学试题含解析

2022-2023学年河北省承德市双滦区实验中学高二下学期4月月考数学试题

一、单选题

1．若，则正整数（    ）

A．7 B．8 C．9 D．10

【答案】B

【分析】利用组合数、排列数的定义直接展开，解方程即可求得.

【详解】因为，

所以，解得：.

故选：8

2．已知，，等于

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】试题分析：根据条件概率的定义和计算公式：把公式进行变形，就得到，故选C.

【解析】条件概率.

3．设曲线在点处的切线斜率为3，则点的坐标为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】求出导函数主，然后由求得切点横坐标，得切点坐标．

【详解】，由得，时，，所以．

故选：B．

4．已知的导函数，则

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】，选A.

5．如图，有8个不同颜色的正方形盒子组成的调味盒，现将编号为的4个盖子盖上（一个盖子配套一个盒子），要求A，B不在同一行也不在同一列，C，D也是此要求．那么不同的盖法总数为（    ）

A．224 B．336 C．448 D．576

【答案】B

【分析】根据题意可得先分步，先盖，再进行分类讨论盖上，利用分类加法和分步乘法基本计数原理即可得出其结果.

【详解】第一步：先盖，有种方法；

第二步：再盖．

①若C与A或B在同一列，则有2种盖法，D就有3种盖法，共种方法；

②若C与A或B不在同一列，则有4种盖法，D就有2种盖法，共种方法．

综上所述，满足要求的有种方法．

故选：B．

6．把，，，，，，这七个数，每次取三个不同的数字，把其中最大的数字放在百位上排成三位数，这样的三位数有（    ）

A．个 B．个 C．个 D．个

【答案】A

【分析】根据分步乘法计数原理结合排列组合运算求解.

【详解】因为取三个不同的数字，最大的数字唯一且不为0，

分步处理：先选三数，则百位固定，剩余两数排列即可，

则排成三位数有个.

故选：A.

7．已知二项式的所有二项式系数之和等于128，那么其展开式中含项的系数是（    ）

A．-84 B．-14 C．14 D．84

【答案】A

【解析】根据二项式系数之和等于128，可求得n的值，利用二项式展开式的通项公式，即可求得含项的系数.

【详解】因为二项式的系数之和等于128，

所以，解得，

所以二项式展开式的通项公式为，

令，解得，

所以展开式中含项的系数为，

故选：A

【点睛】本题考查已知二项式系数和求参数、求指定项的系数问题，考查分析理解，计算求值的能力，属基础题.

8．若函数在区间单调递增，则的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】对函数求导，将问题转化为在上恒成立，结合函数的单调性，计算即可得出结果.

【详解】由题意得，的定义域为，，

因为在上单调递增，

所以在上恒成立，

即，又函数在上单调递减，

所以.

故选：A

二、多选题

9．带有编号1、2、3、4、5的五个球，则（    ）

A．全部投入4个不同的盒子里，共有种放法

B．放进不同的4个盒子里，每盒至少一个，共有种放法

C．将其中的4个球投入4个盒子里的一个(另一个球不投入)，共有种放法

D．全部投入4个不同的盒子里，没有空盒，共有种不同的放法

【答案】ACD

【分析】对A：根据分步乘法计数原理运算求解；对B：分类讨论一共用了几个球，再结合捆绑法运算求解；对C：根据分步乘法计数原理运算求解；对D：利用捆绑法运算求解.

【详解】对于A：每个球都可以放入4个不同的盒子，则共有种放法，A正确；

对于B：放进不同的4个盒子里，每盒至少一个，则有：

全部投入4个不同的盒子里，每盒至少一个，相当于把其中的2个球捆绑成一个球，再进行排列，共有种放法，B错误；

对于C：先选择4个球，有种，再选择一个盒子，有种，故共有种放法，C正确；

对于D：全部投入4个不同的盒子里，没有空盒，则相当于把其中的2个球捆绑成一个球，再进行排列，共有种放法，D正确；

故选：ACD.

10．已知的展开式的各项系数之和为1024，则展开式中（    ）

A．奇数项的二项式系数和为256 B．第6项的系数最大

C．存在常数项 D．有理项共有6项

【答案】BCD

【分析】令即可求出的值，再写出展开式的通项，再一一判断.

【详解】解：令，得，则或（舍去）.

∴的展开式的通项.

对于A，，故A错误；

对于B，由题设展开式共11项，第6项的系数最大，故B正确；

对于C，令，解得，故存在常数项为第三项，故C正确；

对于D，当时，为有理项，故有理项共有项，故D正确.

故选：BCD.

11．已知函数，下列说法中正确的有（    ）

A．函数的极大值为，极小值为

B．当时，函数的最大值为，最小值为

C．函数的单调增区间为

D．曲线在点处的切线方程为

【答案】AD

【分析】先求导，由导数的几何意义及求解函数的单调区间，求极值和最值，根据选项一一判断.

【详解】因为，所以，

当时，，在单调递增，

当时，，在单调递减，

当时，，在单调递增，C不正确；

所以的极大值为，极小值为，A正确；

因为在上单调递增，

所以函数的最大值为，最小值为，B错误；

又，所以切线的斜率为，故切线方程是，即，D正确.

故选：AD.

12．下列说法正确的是(    )

A．的展开式中，的系数为30

B．将标号为，，，，，的张卡片放入个不同的信封中，若每个信封放张，其中标号为，的卡片放入同一信封，则不同的方法共有种

C．已知，则

D．记，则

【答案】ACD

【分析】A：根据结构可知，由2个y、1个x、2个构成，据此即可作答；B：先抽一个信封装卡片1和2，再将3、4、5、6分成两组，将两组分别放入两个信封，据此即可求出不同的数量；C：根据排列数和组合数计算公式解方程即可；D：根据二项式系数求；令x＝－1和x＝0分别求和，据此即可求解．

【详解】A选项：的展开式中，的系数为，故A正确；

B选项：将标号为，，，，，的张卡片放入个不同的信封中，若每个信封放张，其中标号为，的卡片放入同一信封，则不同的方法共有种(先抽一个信封装卡片1和2，再将3、4、5、6均分成两组，将两组分别放入两个信封)，故B错误；

C选项：∵，

∴，故C正确；

D选项：∵，

∴；

令x＝0得，；

令x＝－1得，；

∴，故D正确．

故选：ACD．

三、填空题

13．已知则_____

【答案】2187

【分析】利用二项展开式的通项，可得展开式中奇数项的系数为正数，偶数项的系数为负数，令即可求解.

【详解】由二项展开式的通项，

可知展开式中奇数项的系数为正数，偶数项的系数为负数，

所以，

令展开式中的，

可得，

所以.

故答案为：2187

【点睛】本题考查了二项式展开式的通项公式、赋值法求二项式展开式的系数和，需熟记公式，属于基础题.

14．如图是为了提高小朋友智力的游戏画板，现提供种不同的颜色给其中个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域不同色，则使、区域同色的涂法有__________种．

【答案】

【解析】选1种颜色涂区，然后在剩下的4种中选3种（三区不同色）或选2种（同色）涂色即得．

【详解】涂色后，按同色和不同色分类计算．所以总方法为．

故答案为：180．

15．如图，将一边长为的正方形铁皮四角各截去一个大小相同的小正方形，然后沿虚线折起，得到一个无盖长方体容器，若要求所得容器的容积最大，则截去的小正方形边长为___________.

【答案】1

【分析】根据题意先设小正方形边长为x，计算出容器体积的函数解析式，再利用导数研究此函数的单调性，进而求得此函数的最大值即可.

【详解】设剪去小正方形的边长为x，则容器的容积为：，.

令，则 (舍去)，.

当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减，

所以当时铁盒的容积最大，故截去的小正方形边长为1m.

故答案为：1.

16．若函数在区间上的最小值为，则的取值范围是___________.

【答案】

【分析】根据导数判断单调性与最值情况.

【详解】由，得，

所以函数在上单调递减，在上单调递增，

且，

所以，

即，

所以的取值范围是，

故答案为：.

四、解答题

17．（1）解不等式：；

（2）已知，求．

【答案】（1）（2）

【解析】（1）利用排列数的计算公式进行求解；

（2）利用组合数的计算公式进行求解.

【详解】（1）因为，，，

所以不等式可化为，

解得，

又，，

所以不等式的解集为．

（2）因为，，，

所以，

可化为，，

解得（舍去）或2，

所以．

【点睛】本题主要考查排列数和组合数的有关计算，明确计算公式的求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.

18．设(2－x)10=a0+a1x+a2x2+…+a10·x10，求下列各式的值.

(1)求a0；

(2)求(a0+a2+…+a10)2－(a1+a3+…+a9)2；

(3)求二项式系数的和.

【答案】(1)1024

(2)1

(3)1024

【分析】（1）在已知式中令可得；

（2）在已知式中分别令和，然后相乘可得；

（3）由二项式系数的性质可得.

【详解】（1）令x=0，得a0=210=1024.

（2）令x=1，可得a0+a1+a2+…+a10=(2－)10，①

令x=－1，可得a0－a1+a2－a3+…+a10=(2+)10.②

结合①②可得，

(a0+a2+…+a10)2－(a1+a3+…+a9)2=(a0+a1+a2+…+a10)(a0－a1+a2－…+a10)

=(2－)10×(2+)10=1.

（3）二项式系数的和为++…+=210=1024.

19．一场小型晚会有个唱歌节目和个相声节目，要求排出一个节目单．

（1）个相声节目要排在一起，有多少种排法？

（2）第一个节目和最后一个节目都是唱歌节目，有多少种排法？

（3）前个节目中要有相声节目，有多少种排法？

【答案】（1）；（2）；（3）．

【分析】（1）利用捆绑法可求解；

（2）利用特殊元素优先选择，即可求解；

（3）利用正难则反，先算前3个节目中没有相声，即相声在后两个节目的排法，即可求解.

【详解】（1）把两个相声节目捆绑在一起作为一个节目与其他节目排列共有排法；

（2）选两个唱歌节目排在首尾，剩下的3个节目在中间排列，排法为；

（3）5个节目全排列减去后两个都是相声的排法，共有．

【点睛】方法点睛：本题主要考查排列的应用，属于中档题.常见排列数的求法为：

（1）相邻问题采取“捆绑法”；

（2）不相邻问题采取“插空法”；

（3）有限制元素采取“优先法”；

（4）特殊元素顺序确定问题，先让所有元素全排列，然后除以有限制元素的全排列数.

20．设函数．

(1)求f（x）在处的切线方程；

(2)求f（x）在[－2，4]上的最大值和最小值．

【答案】(1)；

(2)最大值是13，最小值是－19.

【分析】（1）结合导数的几何意义求出切线的斜率，进而可求出结果；

（2）利用导数判断函数的单调性，进而结合单调性即可求出最值.

【详解】（1）由题意知，，即切点为（1，－3），

又，所以

所以f（x）在处的切线方程为：，即；

（2），

令得；令得或，

故f（x）的减区间为（－1，3），增区间为（－∞，－1）和，

函数f（x）的极大值，函数f（x）的极小值，

又，

∴f（x）在[－2，4]上的最大值是13，最小值是－19

21．设函数.

（1）若是的极值点，求的单调区间；

（2）若恒成立，求的取值范围.

【答案】（1）单调递增区间是，单调递减区间是；（2）.

【分析】（1）先求导，令，检验即得解；代入，分别令，得到单增区间和单减区间；

（2）转化为，分，两种情况讨论即可

【详解】（1），

，经检验符合条件

，

令，有或，令，有，

所以的单调递增区间是，单调递减区间是.

（2）由题意

当时，令，有，令，有，

所以在上单调递减，在上单调递增，

所以

，即

当时，不成立.

综上，.

22．已知函数，.

（1）求的单调区间；

（2）若对，，恒成立，求实数的取值范围.

【答案】（1）递增区间为，，递减区间为；（2）.

【分析】(1)求出，令，解出不等式，即可得到函数的单调区间.

（2）依题意有, 利用导数分别求出函数的单调区间，得出对应的最值，从而得出答案.

【详解】（1）

令，解得或，，解得

由上表知的递增区间为，，递减区间为.

（2）依题意有，

由（1）知当时

而，在上为减函数，

所以当时

故的取值范围为.