2022-2023学年河北省石家庄市十八中高二下学期第一次月考数学试题含解析

2022-2023学年河北省石家庄市十八中高二下学期第一次月考数学试题

一、单选题

1．已知曲线y＝x3在点P处的切线的斜率k＝3，则点P的坐标是（    ）

A．(1，1) B．(－1，1)

C．(1，1)或(－1，－1) D．(2，8)或(－2，－8)

【答案】C

【分析】先利用求导公式求出的导数，再利用已知条件求出的值，即可得出结果.

【详解】因为y＝x3，

所以y′＝＝[3x2＋3x·Δx＋(Δx)2]＝3x2．

由题意，知切线斜率k＝3，

令3x2＝3，

得x＝1或x＝－1．

当x＝1时，y＝1；

当x＝－1时，y＝－1．

故点P的坐标是(1，1)或(－1，－1)．

故选：C.

2．（      ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用公式逐步化简求解即可.

【详解】∵，

．

故选：B．

3．小张从家出发去看望生病的同学，他需要先去水果店买水果，然后去花店买花，最后到达医院.相关的地点都标在如图所示的网格纸上，网格线是道路，则小张所走路程最短的走法的种数为（    ）

A．72 B．56 C．48 D．40

【答案】A

【分析】分别找出从家到水果店，水果店到花店，花店到医院的最短路线，分步完成用累乘即可．

【详解】由题意可得从家到水果店有6种走法，水果店到花店有3种走法，花店到医院有4种走法，因此一共有（种）

【点睛】本题考查了排列组合中的乘法原理．属于基础题．

4．若点P是曲线上任意一点，则点P到直线的距离的最小值为（    ）

A．1 B． C． D．

【答案】C

【解析】求出平行于直线且与曲线相切的切点坐标，再利用点到直线的距离公式，即可求解.

【详解】设平行于直线且与曲线相切的切点为，

由，则，

令，整理得，解得或（舍去），

由，可得，即切点坐标为，

又由点到直线的距离公式，可得，

即点P到直线的距离的最小值为.

故选：C.

5．回文联是我国对联中的一种，用回文形式写成的对联，既可顺读，也可倒读，不仅意思不变，而且颇具趣味，相传，清代北京城里有一家饭馆叫“天然居”，曾有一副有名的回文联：“客上天然居，居然天上客；人过大佛寺，寺佛大过人．”在数学中也有这样一类顺读与倒读都是同一个数的自然数，称之为“回文数”．如44，585，2662等；那么用数字1，2，3，4，5，6可以组成3位“回文数”的个数为（    ）

A．30 B．36 C．360 D．1296

【答案】B

【分析】根据题意，第一步选择第一位数，第二步选择第二位数，结合分步计数原理，即可求解.

【详解】由题意，第一步选择第一位数，有种方法，第二步选择第二位数，有种方法，

利用分步计数原理，共有种．

故选：B.

6．如图，花坛内有五个花池，有五种不同颜色的花卉可供栽种，每个花池内只能种同种颜色的花卉，相邻两池的花色不同，则最多有几种栽种方案(  )

A．180种 B．240种 C．360种 D．420种

【答案】D

【分析】若5个花池栽了5种颜色的花卉，方法有种，若5个花池栽了4种颜色的花卉，方法有2种，若5个花池栽了3种颜色的花卉，方法有种，相加即得所求．

【详解】若5个花池栽了5种颜色的花卉，方法有种，

若5个花池栽了4种颜色的花卉，则2、4两个花池栽同一种颜色的花；

或者3、5两个花池栽同一种颜色的花，方法有2种，

若5个花池栽了3种颜色的花卉，方法有种，

故最多有+2+=420种栽种方案，

故选D．

【点睛】解答排列、组合问题的角度：解答排列、组合应用题要从“分析”、“分辨”、“分类”、“分步”的角度入手；(1)“分析”就是找出题目的条件、结论，哪些是“元素”，哪些是“位置”；(2)“分辨”就是辨别是排列还是组合，对某些元素的位置有、无限制等；(3)“分类”就是将较复杂的应用题中的元素分成互相排斥的几类，然后逐类解决；(4)“分步”就是把问题化成几个互相联系的步骤，而每一步都是简单的排列、组合问题，然后逐步解决．

7．已知函数为的导函数，则的大致图象是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】求出，判断奇偶性，并结合特殊值验证，即可判断出答案.

【详解】由可知，

则，即为奇函数，故A，D错误；

又，故C错误，B正确，

故选：B

8．已知，，，则，，之间的大小关系为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】设函数，求得，根据导数的符号，求得函数的单调性，结合函数的单调性，得到，即可求解.

【详解】设函数，则，

所以在上为增函数，在上为减函数，

所以，即，所以.

故选：B.

二、多选题

9．求下列函数的导数，其中正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ABC

【分析】根据导数的运算法则及基本初等函数的导数公式计算可得.

【详解】对于A：，故A正确；

对于B：，故B正确；

对于C：，故C正确；

对于D：，故D错误；

故选：ABC

10．下列等式中，正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ACD

【分析】利用阶乘、排列组合数公式作转化判断各选项正误.

【详解】A：，正确；

B：，错误；

C：，正确；

D：，正确；

故选：ACD

11．为了提高教学质量，省教育局派5位教研员去某地重点高中进行教学调研，现知该地有3所重点高中，则下列说法正确的有（    ）

A．每个教研员只能去1所学校调研，则不同的调研方案有243种

B．若每所重点高中至少去一位教研员，则不同的调研安排方案有150种

C．若每所重点高中至少去一位教研员，则不同的调研安排方案有300种

D．若每所重点高中至少去一位教研员，且甲､乙两位教研员不去同一所高中则不同的调研安排方案有有114种

【答案】ABD

【分析】利用乘法原理计算判定A；利用分组除序法计算判定BC；先利用捆绑法和分组除序法求得甲､乙两位教研员去同一所高中的排法种数，然后根据B的正确结果从反面得到D的正确结果.

【详解】对于A选项，每位教研员有三所学校可以选择，

故不同的调研安排有种，故A正确；

对于B，C选项，若每所重点高中至少去一位教研员，则可先将五位教研员分组，再分配，五位教研员的分组形式有两种：3，1，1；2，2，1，

分别有，种分组方法，

则不同的调研安排有种，故B正确，C错误；

对于D选项，将甲､乙两位教研员看成一人，则每所重点高中至少去一位教研员，且甲､乙两位教研员去同一所高中的排法有种，

则甲､乙两位教研员不去同一所高中的排法有种，D正确.

故选：ABD.

12．已知函数是奇函数，对于任意的满足（其中是函数的导函数），则下列不等式成立的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】BC

【分析】构造函数，其中，结合奇偶性的定义判断奇偶性，利用导数判断函数在的单调性，然后利用函数的单调性判断出各选项的正误.

【详解】构造函数，其中，则，

因为对于任意的满足

当时，，则函数在上单调递增，

又函数是奇函数，

所以，所以在上为偶函数，

所以函数在上单调递减，

，则，即，即，

化简得，A选项错误；

同理可知，即，即，

化简得，B选项正确；

，且即，即，

化简得，C选项正确，

，且即，即，

化简得，D选项错误，

故选：BC.

【点睛】本题考查利用函数的单调性判断函数不等式是否成立，解题时要根据导数不等式的结构构造合适的函数，利用函数的单调性来求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于难题.

三、填空题

13．北京冬奥会期间，小苏抢购了3个冰墩墩和4个雪容融且造型不一的吉祥物，现抽取3个吉祥物送给一位朋友，其中至少有冰墩墩雪容融各1个，则不同的送法有________种.（用数字作答）

【答案】30

【分析】分选1个冰墩墩和2个雪容融与选2个冰墩墩和1个雪容融两种情况讨论，按照分类加法与分步乘法计数原理计算可得；

【详解】若选1个冰墩墩和2个雪容融，则有种；

若选2个冰墩墩和1个雪容融，则有种；

综上可得一共有种；

故答案为：

14．过点与曲线相切的切线方程为___________．

【答案】

【分析】根据求曲线过某点的切线方程的步骤，先设出切点坐标，再根据两点求斜率即可求解.

【详解】设切点为，则，

得，则切点为，

切线方程为，即．

故答案为：.

15．某种产品有4只次品和6只正品，每只产品均不相同且可区分，今每次取出一只来测试，直到这4只次品全测出为止，则最后一只次品恰好在第五次测试时被发现，则不同情况种数是______（用数字作答）

【答案】576.

【详解】分析：由题第五次测试的产品一定是次品，并且是最后一个次品，因而第五次测试应算是特殊位置了，可以分步完成，第一步：第五次测试的有几种可能； 第二步：前四次有一件正品有几种可能； 第三步：前四次有几种顺序；最后根据乘法公式计算可得共有几种可能．

详解：对四件次品编序为1，2，3，4．第五次抽到其中任一件次品有种情况．

前四次有三次是次品，一次是正品共有 种可能．

前4次测试中的顺序有种可能．

∴由分步计数原理即得共有 种可能．

故答案为576．

点睛：本题涉及一类重要问题，即问题中既有元素的限制，又有排列的问题，一般是先选元素（即组合）后排列．

16．已知函数，，令，若函数存在3个零点，则实数的取值范围是______.

【答案】

【分析】当时，利用导数求出函数的单调性，进而作出图像，根据图像即可求解.

【详解】由题意可知，

当时，，，当时，，单调递增；

当时，，单调递减；可得函数在处的极大值为：，

当时，图象趋近于轴.函数的大致图象如图所示，

可知函数存在3个零点时，的取值范围是.

故答案为：.

四、解答题

17．某次文艺晚会上共演出8个节目，其中2个唱歌、3个舞蹈、3个曲艺节目，求分别满足下列条件的排节目单的方法种数.

（1）一个唱歌节目开头，另一个压台；

（2）两个唱歌节目不相邻；

（3）两个唱歌节目相邻且3个舞蹈节目不相邻．

【答案】(1)；（2）；（3）.

【详解】试题分析：（1）先排歌曲节目，再排其他节目，利用乘法原理，即可得出结论；（2）先排3个舞蹈，3个曲艺节目，再利用插空法排唱歌，即可得到结论；（3）两个唱歌节目相邻，用捆绑法，3个舞蹈节目不相邻，利用插空法，即可得到结论．

试题解析：（1）种排法.（2）种排法.（3）种排法.

18．已知函数的极值点为2 ．

（1）求实数的值；

（2）求函数的极值；

（3）求函数在区间上的最值．

【答案】（1）；（2）极小值为；（3）

【详解】分析: （1）直接根据求出a的值.(2)利用导数求函数的极值.(3)先求函数的单调性，再根据单调性求函数在区间上的最值．

详解：（1）∵,∴

又函数的极值点为2，

∴，

解得．

经验证得符合题意，

∴.

（2）由（1）得.

∴，

当时，，单调递减，

当时，，单调递增.

∴当时，有极小值，且极小值为

（3）由（2）得在当单调递减，在上单调递增，

∴，

∵，，

∴．

点睛：（1）本题意在考查利用导数求极值、最值等知识，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力及数形结合分析能力. (2)在当单调递减，在上单调递增，函数的最大值在端点取得，所以要比较和的大小，这个不能看距离极小值点的远近，因为它不是抛物线.

19．某班有一个5男4女组成的社会实践调查小组，准备在暑假进行三项不同的社会实践，若不同的组合调查不同的项目算作不同的调查方式，求按下列要求进行组合时，有多少种不同的调查方式？

(1)将9人分成人数分别为2人、3人、4人的三个组去进行社会实践；

(2)将9人平均分成3个组去进行社会实践；

(3)将9人平均分成每组既有男生又有女生的三个组去进行社会实践.

【答案】(1)；

(2)；

(3).

【分析】（1）先将9人按分组，再将三组分配到三个项目中去，列式计算作答.

（2）利用平均分配直接列式计算作答.

（3）将4个女生按分组，再取男生到分成的三组，确保各组都为3人，然后将三组分配到三个项目中去，列式计算作答.

【详解】（1）将9人按分组，有种分组方法，再把各组分配到三个项目中去有方法，

由分步乘法计数原理得：，

所以不同的调查方式有.

（2）从9人中任取3人去调查第一个项目，从余下6人中任取3人去调查第二个项目，最后3人去调查第三个项目，

由分步乘法计数原理得：，

所以不同的调查方式有.

（3）把4个女生按分组，有种分法，再从5个男生中任取1个到两个女生的一组，

从余下4个男生中任取2人到1个女生的一组，最后2个男生到最后的1个女生组，分法种数为，

将分得的三个小组分配到三个项目中去有方法，

由分步乘法计数原理得：，

所以不同的调查方式有.

20．已知函数f （x）=ax﹣ex（a∈R），g（x）=．

（Ⅰ）求函数f （x）的单调区间；

（Ⅱ）∃x0∈（0，+∞），使不等式f （x）≤g（x）﹣ex成立，求a的取值范围．

【答案】（Ⅰ）答案见解析（Ⅱ）

【详解】试题分析：（Ⅰ）f′（x）=a﹣ex，x∈R．对a分类讨论，利用导数研究函数的单调性即可得出；

（Ⅱ）由∃x0∈（0，+∞），使不等式f（x）≤g（x）﹣ex，即a≤．设h（x）=，则问题转化为a，利用导数研究函数的单调性极值与最值即可得出．

解：（Ⅰ）∵f′（x）=a﹣ex，x∈R．

当a≤0时，f′（x）＜0，f（x）在R上单调递减；

当a＞0时，令f′（x）=0得x=lna．

由f′（x）＞0得f（x）的单调递增区间为（﹣∞，lna）；

由f′（x）＜0得f（x）的单调递减区间为（lna，+∞）．

（Ⅱ）∵∃x0∈（0，+∞），使不等式f（x）≤g（x）﹣ex，则，即a≤．

设h（x）=，则问题转化为a，

由h′（x）=，令h′（x）=0，则x=．

当x在区间（0，+∞） 内变化时，h′（x）、h（x）变化情况如下表：

由上表可知，当x=时，函数h（x）有极大值，即最大值为．

∴．

【解析】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．

21．已知函数，e为自然对数的底数.

(1)若，求实数a的值；

(2)若函数在上有三个不同的极值点，求实数a的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）对函数求导，根据已知导数值列方程求参数a即可；

（2）由题设且，讨论、并令，将问题化为与在上有两个交点，且交点横坐标不能为1，研究的性质求参数a范围.

【详解】（1）由，则，

所以.

（2）由（1）知：，又，

当，则，可得，此时只有一个极值点，不合题设；

当，则，可得或，显然，

要使在上有三个不同的极值点，则，

所以与在上有两个交点，且交点横坐标不能为1，

由：当时，递增，当时，递减，

所以，且，，函数图象如下，

所以.

22．已知函数，．

(1)求函数的极值点；

(2)若恒成立，求实数的取值范围．

【答案】(1)是的极大值点，无极小值点

(2)

【分析】（1）首先利用导数判断函数的单调区间，再确定函数的极值点；

（2）解法一，首先构造函数，，再根据函数的导数，判断函数的最大值，即可求解；解法二，首先证明，即可得，即，不等式恒成立，转化为，即可求解.

【详解】（1）由已知可得，函数的定义域为，且，

当时，；当时，，

所以的单调递增区间为，单调递减区间为，

所以是的极大值点，无极小值点．

（2）解法一：设，，

则，

令，，则对任意恒成立，

所以在上单调递减．

又，，

所以，使得，即，则，即．

因此，当时，，即，则单调递增；

当时，，即，则单调递减，

故，解得，

所以当时，恒成立．

解法二：令，，当时，；当时，，

所以在上单调递减，在上单调递增，

所以，即．

因为，所以，当时等号成立，

即，当时等号成立，

所以的最小值为1．

若恒成立，则，

所以当时，恒成立．