2022-2023学年河北省石家庄市十五中高二下学期第一次月考数学试题含解析

2022-2023学年河北省石家庄市十五中高二下学期第一次月考数学试题

一、单选题

1．是数列，…的（    ）

A．第6项 B．第7项 C．第8项 D．第9项

【答案】C

【分析】观察规律即可得到答案.

【详解】数列即...，故是第8项.

故选：C

2．已知函数，则（    ）

A． B．0 C．1 D．2

【答案】D

【分析】根据正弦函数与对数函数的求导公式求解即可.

【详解】由题意，，故.

故选：D

3．如图，在四面体中，是的中点，设，，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据三角形法则先求得向量、，进而求得．

【详解】解：，

，

．

故选：B．

4．设不同直线：，：，则“”是“”的

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】C

【详解】当m＝2时，代入两直线方程中，易知两直线平行，即充分性成立．当l1∥l2时，显然m≠0，从而有＝m－1，解得m＝2或m＝－1，但当m＝－1时，两直线重合，不合要求，故必要性成立，故选C.

点睛：充分、必要条件的三种判断方法．

1．定义法：直接判断“若则”、“若则”的真假．并注意和图示相结合，例如“⇒”为真，则是的充分条件．

2．等价法：利用⇒与非⇒非，⇒与非⇒非，⇔与非⇔非的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．

3．集合法：若⊆，则是的充分条件或是的必要条件；若＝，则是的充要条件．

5．《算法统宗》是一部我国古代数学名著，由明代数学家程大位编著.《算法统宗》中记载了如下问题情境：“远望魏魏塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一”，意思为：“一座7层塔，共悬挂了381盛灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍”.在上述问题情境中，塔的正中间一层悬挂灯的数量为（    ）

A．12 B．24 C．48 D．96

【答案】B

【分析】由题意可知每层灯的数量从塔的顶层到底层构成等比数列，且公比为2，然后由等比数列的前7项和为381列式计算即可.

【详解】设灯塔每层的灯数满足数列，顶层的灯数为，前项和为，

则为公比为2的等比数列，

根据题意有,解得，

∴，塔的正中间一层悬挂灯的数量为24.

故选:B.

6．若函数有极大值点，则实数c的取值范围为（    ）

A． B．（，＋∞）

C． D．

【答案】D

【分析】由函数有极值点知方程有两个不同的根，从而求出实数的范围．

【详解】函数有极大值点，

有两个不同的根，

，

解得，或，

即实数的范围

故选：D

7．数列的通项公式分别为和，设这两个数列的公共项构成集合A，则集合中元素的个数为（    ）

A．167 B．168 C．169 D．170

【答案】C

【分析】利用列举法可知，将集合中的元素由小到大进行排序，构成的数列记为，可知数列为等差数列，求出数列的通项公式，然后解不等式，即可得出结论.

【详解】由题意可知，数列、、、、、、、、、、，

数列、、、、、、、、、、，

将集合中的元素由小到大进行排序，构成数列、、、，

易知数列是首项为，公差为的等差数列，则，

由，可得，

因此，集合中元素的个数为.

故选：C.

8．已知直线过双曲线的左焦点，且与的左､右两支分别交于两点，设为坐标原点，为的中点，若是以为底边的等腰三角形，则直线的斜率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由点差法得，由条件知直线的倾斜角为倾斜角的两倍，代入两直线的斜率关系式即可求得的斜率.

【详解】设,

由均在上，为的中点，

得，则，

∴，

∴，

设直线的倾斜角为，则，不妨设为锐角，

∵是以为底边的等腰三角形，∴直线的倾斜角为，则.

∴，

∴，解得，

∴由对称性知直线的斜率为.

故选：D

【点睛】中点弦定理：直线与椭圆（双曲线）交于两点，中点为，则有，（为坐标原点）

此题解答过程中中点弦定理起了核心作用，通过中点弦定理建立了与的关系，另一方面通过是以为底边的等腰三角形可能建立两直线倾斜角的关系，从而得到所求直线的斜率.

二、多选题

9．函数的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（    ）

A．是函数的极值点 B．是函数的最小值点

C．在区间上单调 D．在处切线的斜率小于0

【答案】AC

【分析】对A，根据极值点的定义判断即可；对BC，根据导函数与单调性的关系判断；对D，根据导数的几何意义判断即可.

【详解】对A，由图象可得且在左右两边异号，故是函数的极值点，故A正确；

对B，在上，单调递增，不是函数的最小值点，故B不正确；

对C，根据导函数图象可知在时，，

函数在上单调递增，故C正确；

对D，函数在处的导数大于0，切线的斜率大于零，故D不正确.

故选：AC．

10．已知等差数列的前n项和为且则

A． B．当且仅当n= 7时，取得最大值

C． D．满足的n的最大值为12

【答案】ACD

【解析】由题可得，，，求出可判断A；利用二次函数的性质可判断B；求出可判断C；令，解出即可判断D.

【详解】设等差数列的公差为，则，解得，

，，且，

对于A，，故A正确；

对于B，的对称轴为，开口向下，故或7时，取得最大值，故B错误；

对于C，，，故，故C正确；

对于D，令，解得，故n的最大值为12，故D正确.

故选：ACD.

【点睛】方法点睛：由于等差数列是关于的二次函数，当与异号时，在对称轴或离对称轴最近的正整数时取最值；当与同号时，在取最值.

11．如图，一个结晶体的形状为平行六面体，其中，以顶点A为端点的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是60°，下列说法中正确的是（    ）

A． B．

C．向量与的夹角是60° D．与AC所成角的余弦值为

【答案】AB

【解析】直接用空间向量的基本定理，向量的运算对每一个选项进行逐一判断.

【详解】以顶点A为端点的三条棱长都相等, 它们彼此的夹角都是60°，

可设棱长为1,则

而

， 所以A正确.

=0,所以B正确.

向量,

显然 为等边三角形，则.

所以向量与的夹角是 ,向量与的夹角是,则C不正确

又，

则，

所以，所以D不正确.

故选：AB

【点睛】本题考查空间向量的运算，用向量求夹角等，属于中档题.

12．已知的焦点为，斜率为且经过点的直线与抛物线C交于点两点（点在第一象限），与抛物线的准线交于点，若，则（    ）

A． B．F为线段的中点

C． D．

【答案】ABC

【分析】由题意可得直线的方程为，联立直线和抛物线方程得到，．求出的值，

过点作垂直准线于点，得到为线段的中点即得解.

【详解】易知，由题意可得直线的方程为．

由，消去并整理，得，

解得，．

由，得，故正确;

∴，故错误;

过点作垂直准线于点，易知，

∴，∴．故正确.

∵，∴为线段的中点．故正确;

故选：．

三、填空题

13．若向量，，，夹角为钝角，则的取值范围是______.

【答案】

【解析】根据向量与的夹角为钝角，则·<0，求得λ的范围，在将与共线且反向的情况排除即可.

【详解】∵向量与的夹角为钝角，

∴·＝

解得.

当与共线时，设＝k (k<0)，

可得，

解得，

即当时，向量与共线且反向，

此时·<0，但与的夹角不是钝角.

综上：λ的取值范围是.

故答案为：

14．若数列的前项和为，且，则______.

【答案】

【分析】由得，所以数列是等比数列，首项为，公比为，即得.

【详解】，

当时，，解得.

当时，，

即，

数列是等比数列，首项为，公比为.

.

故答案为：﹣2n﹣1.

【点睛】本题考查了递推关系与等比数列的通项公式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

15．已知点是直线（）上一动点，、是圆的两条切线，、是切点，若四边形的最小面积是，则______．

【答案】2

【分析】根据圆的方程得出圆心和半径，由圆的性质，得到四边形的面积，再确定的面积的最小值,得出当取最小值时，最小；根据点到直线距离公式，列出方程求解，即可得出结果.

【详解】圆的圆心为，半径为，

由圆的性质可知，四边形的面积，

又四边形的最小面积是2，则的最小值为，

则，

因为，所以当取最小值时，最小；

又点是直线上的动点，

当垂直于直线时，最小，即为圆心到直线的距离；

所以，解得，

因为，所以．

故答案为：.

【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系的应用，其中解答中涉及到点到直线的距离公式、圆的切线长公式，圆的性质和四边形的性质等知识点的综合应用，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，属于常考题型.

16．已知椭圆和双曲线有共同的焦点、，是它们的一个交点，且，记椭圆和双曲线的离心率分别为、，则的最大值为__________．

【答案】/

【分析】利用椭圆和双曲线的定义，在焦点三角形利用余弦定理得到，再用基本不等式求解.

【详解】不妨设为第一象限的点，为左焦点，

设椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长为，

则根据椭圆及双曲线的定义可得，

，所以，，

，在△中，，

由余弦定理得，

化简得，即．

所以，从而，

当且仅当，且，即，时等号成立．

故答案为：

四、解答题

17．求下列直线的方程：

(1)曲线在处的切线；

(2)曲线过点的切线.

【答案】(1)

(2)或

【分析】（1）根据导数的几何意义，先求导，再根据直线的点斜式方程求解即可；

（2）设切点为，再根据导数的几何意义求得切线方程，再代入求解即可.

【详解】（1），故曲线在处的切线斜率为，

故在处的切线方程为，即

（2）设切点为，因为，故曲线在处的切线方程为，

化简可得，代入可得，

即，解得或，

代入切线方程可得或

18．已知椭圆C：的离心率为，短轴的一个端点到右焦点的距离为2.

（1）椭圆C的方程；

（2）设直线l：交椭圆C于A，B两点，且，求m的值.

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）通过短轴的一个端点到右焦点的距离可知，进而利用离心率的值计算即得结论；

（2）设，联立直线与椭圆方程，消去y得到关于x的一元二次方程，得到根与系数的关系，再利用弦长公式即可得出.

【详解】解：（1）由题意可得，

解得：，，

椭圆C的方程为；

（2）设，

联立，

得，

，，

，

解得.

【点睛】本题考查了椭圆的标准方程及其性质､韦达定理､弦长公式，属于中档题.

19．已知△的顶点，边所在直线的方程为，边上的高所在直线的方程为.

(1)求顶点与的坐标；

(2)为坐标原点，若边上存在点使得最小，求所在直线的方程.

【答案】(1)，

(2)

【分析】（1）由已知条件可得为直线与的交点，故将两直线联立即可求出点的坐标，由即可求出直线的斜率，利用斜率的定义即可求出点 的坐标；

（2）作出关于直线的对称点为，由，即可得知当，，三点共线时，最小，即可求出所在直线的方程.

【详解】（1）由题意知为直线与的交点，

解方程组得，即，

设，边上的高所在直线的斜率为，

∵，∴所在直线的斜率为，即，解得，即.

（2）由（1）可得边所在直线的方程为，

设关于直线的对称点为，则得即.

∵，∴，，三点共线时，最小，

(即此时动点所在的位置即为)

此时点在边上，且直线的斜率为，直线的方程为，

直线即为直线，所以所在直线的方程为.

20．设正项数列的前项和为，等比数列的前项和为，且，，．

(1)求数列，的通项公式；

(2)求数列的前项和．

【答案】(1)；

(2)

【分析】（1）利用，求得通项公式，利用的前项公式求得，进而求得.

（2）利用错位求和法求得数列的前项和.

【详解】（1）由题意知，①，可得②，

两式相减得：，整理得：，

即，因为，所以．

令可得：，解得，即，所以．

所以．

所以，，所以，又因为，所以，所以．

（2）令，前项和为，

则有：，

等式两边同乘以2有：，

两式相减得：，

整理化简得：．

21．已知函数．

(1)当时，求函数f（x）的极值；

(2)求函数f（x）单调区间．

【答案】(1)极大值为，极小值为

(2)答案见解析

【分析】（1）对于函数求导后，利用导数的正负求得函数的单调性，从而求得函数的极值；（2）对函数求导后，对参数分情况讨论，利用导数的正负求得函数的单调性.

【详解】（1）当时，，则，

令，解得或2，

当或时，，单调递增；

当时，，单调递减，

故函数的单调递增区间为，；

函数的单调递减区间为．

所以的极大值为，极小值为．

（2）∵，

∴，

当时，时，；时，；

即增区间为，减区间为；

当，时，；时，；

即增区间为和，减区间为；

当时，在上恒成立，即增区间为；

当时，时，；时，；

即增区间为和，减区间为；

综上所述：当时，增区间为，减区间为；

当时，增区间为和，减区间为；

当时，增区间为，无减区间；

当时，增区间为和，减区间为．

22．已知双曲线的右焦点为为坐标原点，双曲线的两条渐近线的夹角为．

(1)求双曲线的方程；

(2)过点作直线交于两点，在轴上是否存在定点，使为定值？若存在，求出定点的坐标及这个定值；若不存在，说明理由．

【答案】(1)

(2)存在；定点，

【分析】（1）由渐近线夹角得出渐近线的倾斜角，从而得的值，再由求得得双曲线方程；

（2）当直线不与轴重合时，设直线的方程为，代入双曲线方程，设点，得，再设，计算，由其为常数求得，同时验证当直线斜率为0时，此值也使得为刚才的常数，即得结论．

【详解】（1）双曲线的渐近线为，

又，，故其渐近线的倾斜角小于，而双曲线的两条渐近线的夹角为，

则渐近线的的倾斜角为，

则，即．

又，则．

所以双曲线的方程是．

（2）当直线不与轴重合时，设直线的方程为，

代入，得，即．

设点，则．

设点，则

令，得，

此时．

当直线与轴重合时，则点为双曲线的两顶点，不妨设点．

对于点．

所以存在定点，使为定值．

【点睛】思路点睛：本题考查求双曲线方程，圆锥曲线中的的定值问题，解题方法是设交点坐标为，设直线方程并代入圆锥曲线方程整理后应用韦达定理得（或），代入题设要得定值的式子，利用定值得出参数值．并验证特殊表形下也成立．