2022-2023学年吉林省长春市实验中学高二下学期4月月考数学试题含解析

2022-2023学年吉林省长春市实验中学高二下学期4月月考数学试题

一、单选题

1．已知函数则函数的导函数为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】利用导数运算求得正确结果.

【详解】依题意.

故选：B

2．曲线在点处的切线方程是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】对求导，利用导数的几何意义求在点处的切线的斜率，进而求出切线方程.

【详解】，，

当时，，

在点处的切线方程为：，

即：.

故选：A.

3．某滑雪运动员在一次滑雪训练中沿街的路程（单位：）与时间（单位：）之间的关系为，则该运动员的滑雪路程为时的滑雪速度为（单位：）（    ）

A．44.5 B．12.5 C．11 D．9.5

【答案】D

【分析】利用导数求得正确答案.

【详解】由得，解得，负根舍去，

.

故选：D

4．一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中2个红色球（标号为1和2）2个绿色球（标号为3和4）,从袋中不放回地依次随机摸出2个球，则在第一次摸到红球的条件下，第二次摸到红球的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据条件概率公式即可求解.

【详解】从袋中不放回地依次随机摸出2个球，

设第一次摸到红球为事件，则，

设两次都摸到红球为事件，则，

则在第一次摸到红球的条件下，第二次摸到红球的概率为.

故选：A.

5．设为曲线上的点，且曲线在点处切线的倾斜角的取值范围为，则点横坐标的取值范围为

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】因为,又因为曲线在点处切线的倾斜角的取值范围为，则切线的斜率，所以,解得，故选A.

6．设，，，则，，的大小关系是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由知，只需比较的大小就可得，，的大小关系.

【详解】由知，只需比较的大小，

又，所以，

而，所以，

综上得：，所以.

故选：C.

7．已知函数和都是定义域为的函数，且满足，且恒成立，那么当时，一定成立的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】由可得在上单调递增，即可判断A，C，D； 举反例可判断B.

【详解】由可得：，

令，，

所以在上单调递增，

若，则，所以，

因为，所以恒为正或恒为负，

所以，，

，所以，

所以，故D不正确；

，，

，，

故，故C正确，A不正确；

对于B，若恒为正，且单调递减，则，由，

若恒为正，且单调递增，则，由，

则有，故B不正确；

故选：C.

8．若在区间上单调递增，则实数的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据题意，结合正弦型函数的单调区间列出不等式，然后结合条件代入计算，即可得到结果.

【详解】令，

所以，

所以函数的单调增区间为，

又因为在上单调递增，

则是，的一个子区间，

当时，即，

若是的子集，

则

故选:D．

二、多选题

9．对于函数，下列结论中正确的是（    ）

A．是奇函数 B．在区间上单调递减

C．在处取得极大值 D．函数的值域是

【答案】AB

【分析】根据函数奇偶性定义即可判断是奇函数，利用导数研究函数的单调性，根据极大值概念求出极大值，结合单调性求解最值，逐项判断即可.

【详解】因为对，

根据奇函数定义可知函数是上的奇函数，即A正确；

因为，则，

令可得或，令可得，

所以函数的单调递增区间为和，函数的单调递减区间为，故B正确；

由得，结合选项B可知，是函数的极大值点，

此时函数的极大值为，故C错误；

由B可知，函数在和上单调递增，函数在上单调递减，

所以无最大值，无最小值，如图：

故D错误.

故选：AB

10．函数的导函数在区间上的图象如图所示，则下列结论正确的是（    ）

A．函数在处有极小值

B．函数在处有极小值

C．函数在区间内有4个极值点

D．导函数在处有极大值

【答案】BD

【分析】根据导函数的图象、极值点、极值的知识求得正确答案.

【详解】A选项，在左右两侧的，所以不是的极值点，A选项错误.

B选项，在左右两侧，左侧，右侧，

所以函数在处有极小值，B选项正确.

C选项，根据图象可知，有个极值点，左右两侧的，

所以不是的极值点，C选项错误.

D选项，的图象在左右两侧，左侧单调递增，右侧单调递减，

所以在处有极大值，D选项正确.

故选：BD

11．对于随机事件，，下列结论中正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】BD

【分析】根据条件概率概念及公式判断选项A、B、C，再根据概率一般加法公式判断选项D.

【详解】对于A选项，，，

故当时，才有，故A错误；

对于B选项，由得，故B正确；

对于C选项，，

当A，B是两个相互独立的事件，有，

从而，否则不成立，故C错误；

对于D选项，由概率的一般加法公式得，

特别的当A，B是两个相互独立的事件，有，故D正确.

故选：BD

12．已知，，且，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】AD

【分析】利用构造函数法，结合导数判断出正确答案.

【详解】设，

在区间递增；在区间递减.

由得，

即，由于，，，

所以，所以，所以A选项正确，C选项错误.

构造函数，

，当且仅当时等号成立.

所以在上单调递增，，

所以当时，，即，

所以，

由于，且在上单调递增，所以，所以B选项错误.

，

构造函数，

，所以在区间上，单调递减，

所以，所以，

则，所以D选项正确.

故选：AD

【点睛】利用导数研究不等式，可利用构造函数法，然后结合导数研究所构造函数的单调性、极值、最值等，由此来判断不等式是否正确.构造函数的方法主要是根据不等式的结构来进行构造.

三、填空题

13．函数的极小值为______.

【答案】/

【分析】求导得到单调区间，再计算极值得到答案.

【详解】，，

当时，，函数单调递增；

当时，，函数单调递减；

故当时，函数有极小值为.

故答案为：

14．已知，，，则______.

【答案】/

【分析】根据条件概率公式即可求解.

【详解】因为，所以，

因为，所以，

因为，所以，

所以.

故答案为：.

15．已知定义域为的函数满足，，则不等式的解集为______.

【答案】

【分析】根据不等式结构构造函数，然后利用导数研究函数单调性，利用单调性解不等式即可.

【详解】令，因为，所以，

所以函数在上单调递减，

因为，所以，

又，所以，

所以，所以不等式的解集为.

故答案为：.

16．已知函数，过点作与轴平行的直线交函数的图象于点，过点作的切线交轴于点，则面积的最小值________.

【答案】

【分析】求出的导数，令x＝a，求得P的坐标，可得切线的斜率，运用点斜式方程可得切线的方程，令y＝0，可得B的坐标，再由三角形的面积公式可得△ABP面积S，求出导数，利用导数求最值，即可得到所求值．

【详解】函的导数为，

由题意可令，解得，可得，

即有切线的斜率为，切线的方程为,

令，可得，即，

在直角三角形PAB中，，，

则△ABP面积为，，

，

当时，，单调递减；当时，，单调递增，

即有处S取得极小值，且为最小值．

故答案为：．

四、解答题

17．已知函数有极大值.

(1)求的值；

(2)求函数在区间上的最大值和最小值.

【答案】(1)

(2)最大值为，最小值为

【分析】（1）求导并利用导函数的正负分析求出的单调性，即可得出当时有极大值，根据极大值为求解出m；

（2）由（1）得到的解析式即单调性，在区间上求出极值和端点值，即可得到最值.

【详解】（1）解：已知，

则，

令，即，解得或，

由于，所以当时，；当时，；当，，

则在区间，上单调递增；在区间上单调递减，

所以当时有极大值，则，

解得；

（2）由（1）可知，则，

令，解得或，

所以在区间，上单调递增；在区间上单调递减，

因为，，

则，所以函数在区间上的最小值为；

因为，，

则，所以函数在区间上的最大值为；

18．当室内的有毒细菌开始增加时，就要使用杀菌剂.刚开始使用的时候，细菌数量还会继续增加，随着时间的增加，它增加的幅度逐渐变小，到一定时间，细菌数量开始减少.已知使用杀菌剂后的细菌数量为.

(1)求细菌数量在时的瞬时变化率；

(2)细菌数量在哪段时间增加，在哪段时间减少，说明理由.

【答案】(1)

(2)细菌数量在上递增，在上递减

【分析】（1）利用导数求得正确答案.

（2）利用导数研究的单调性，从而确定正确答案.

【详解】（1）依题意，，

所以，则，

所以细菌数量在时的瞬时变化率为.

（2）由解得，负根舍去.

由（1）得，

所以在区间上递增；在区间上递减.

所以细菌数量在上递增，在上递减.

19．某学校有8名学生组成志愿小分队，其中高一年级有5人，高二年级有3人，现从这8人中选出4人参加某项公益活动.

(1)求高一学生甲或高二学生被选中的概率；

(2)求在高一甲被选中的情况下，高二学生也被选中的概率.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用对立事件以及概率的知识求得正确答案.

（2）利用条件概型的知识求得正确答案.

【详解】（1）依题意，高一学生甲或高二学生被选中的概率为：.

（2）依题意，在高一甲被选中的情况下，高二学生也被选中的概率为：.

20．已知函数.

(1)求曲线在处的切线方程；

(2)求函数的单调区间.

【答案】(1)

(2)单调递减区间为，单调递增区间为

【分析】（1）利用切点和斜率求得切线方程.

（2）设，利用导数求得的单调区间.

【详解】（1），所以切点为，

，，

所以切线方程为.

（2）设，

则，

所以在区间单调递减；

在区间单调递增.

所以的单调递减区间为，单调递增区间为.

21．已知函数，.

(1)求证：在区间上单调递增；

(2)求证：.

【答案】(1)证明详见解析

(2)证明详见解析

【分析】（1）利用导数证得结论成立.

（2）结合（1）的结论证得不等式成立.

【详解】（1），

，

所以在上单调递增.

（2）由（1）得在上单调递增，，

所以当时，，当时，，

对于不等式，

当时，可化为，

即，由上述分析可知：当时，成立.

当时，可化为，

即，由上述分析可知：当时，成立.

综上所述，不等式成立.

22．已知函数.

(1)求证：当时，；

(2)求证：.

【答案】(1)证明详见解析

(2)证明详见解析

【分析】（1）令，利用导数求得，从而证得不等式成立.

（2）结合（1）以及放缩法证得不等式成立.

【详解】（1）令，

，令，

，所以即在区间上单调递增，

，所以在区间上恒成立，

所以在区间上单调递增，由于，

所以在区间上恒成立，

所以当时，.

（2）由（1）得当时，，

令，则，

所以

.

【点睛】利用导数证明不等式，可先将要证明的不等式一边化为零，然后利用构造函数法，结合导数来求所构造函数的最值，由此来证得不等式成立.当一次求导无法求得函数的单调区间时，可考虑多次求导来进行求解.