2022-2023学年山西省怀仁市第一中学校高二下学期第二次月考数学（文）试题含解析

2022-2023学年山西省怀仁市第一中学校高二下学期第二次月考数学（文）试题

一、单选题

1．在统计中，研究两个分类变量是否存在关联性时，常用的图表有（    ）

A．散点图和残差图 B．残差图和列联表

C．散点图和等高堆积条形图 D．等高堆积条形图和列联表

【答案】D

【分析】根据这些统计量的定义逐个分析判断

【详解】散点图是研究两个变量间的关系，

列联表是研究两个分类变量的，

残差图是体现预报变量与实际值间的差距，

等高堆积条形图能直观的反映两个分类变量的关系，

故选：D

2．若，则（    ）

A．2 B．4 C．2或4 D．以上答案都不对

【答案】C

【分析】根据组合数的性质求解．

【详解】因为，所以或，即或．

故选：C．

3．从5件不同的礼物中选出2件，分别送给甲、乙两人，每人一件礼物，则不同的送法种数为（    ）

A．10 B．20 C．25 D．32

【答案】B

【分析】用分步计数原理计算．

【详解】从5件不同的礼物中选出2件，分别送给甲、乙两人，每人一件礼物，第一步选一件礼物给甲，有5种不同方法，第二步选一件礼物给乙，有4种不同方法，

总方法为．

故选：B．

4．某大街在甲、乙、丙三处设有红绿灯，汽车在这三处遇到绿灯的概率分别是，则汽车在这三处共遇到两次绿灯的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】把汽车在三处遇两次绿灯的事件M分拆成三个互斥事件的和，再利用互斥事件、对立事件、相互独立事件的概率公式计算得解.

【详解】汽车在甲、乙、丙三处遇绿灯的事件分别记为A，B，C，则，

汽车在三处遇两次绿灯的事件M，则，且，，互斥，而事件A，B，C相互独立，

则，

所以汽车在这三处共遇到两次绿灯的概率为.

故选：D

5．以下说法错误的是（    ）

A．用样本相关系数r来刻画成对样本数据的相关程度时，若越大，则成对样本数据的线性相关程度越强

B．经验回归方程一定经过点

C．用残差平方和来刻画模型的拟合效果时，若残差平方和越小，则相应模型的拟合效果越好

D．用相关指数来刻画模型的拟合效果时，若越小，则相应模型的拟合效果越好

【答案】D

【分析】根据回归分析的相关依次讨论各选项即可得答案.

【详解】解：对于A选项，样本相关系数r来刻画成对样本数据的相关程度，当越大，则成对样本数据的线性相关程度越强，故A正确；

对于B选项，经验回归方程一定经过样本中心点，故B正确；

对于C选项，残差平方和越小，则相应模型的拟合效果越好，故C正确；

对于D选项，相关指数来刻画模型的拟合效果时，若越大，则相应模型的拟合效果越好，故错误.

故选：D

6．除以8的余数为（    ）

A． B．1 C．6 D．7

【答案】D

【分析】利用二项式定理求解，即，展开后观察各项值可得．

【详解】，

展开式中除最后一项外其他项都是8的整数倍，

又，所以所求余数为7．

故选：D．

7．某校高二年级某次数学学业质量检测考试成绩，规定成绩大于或等于85分为A等级，已知该年级有考生500名，则这次考试成绩为A等级的考生数约为（    ）

（附：，，）

A．11 B．79 C．91 D．159

【答案】B

【分析】由正态分布求得等级学生的概率，从而可得样本容量．

【详解】由题意，，

人数为．

故选：B．

8．设函数在上存在导数，对任意的，有，且在上．若．则实数的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】先构造函数可得在上单调递增，在上单调递减，将不等式等价转化为，利用函数的单调性和奇偶性得到，解之即可.

【详解】因为,所以,

设可得,为偶函数

在上有，，

故在上单调递增，根据偶函数的对称性可知，在上单调递减，

由得

，

即，，

即，,解得.

故选：A.

二、多选题

9．已知二项式的展开式中共有8项，则下列说法正确的有（    ）

A．所有项的二项式系数和为128 B．所有项的系数和为1

C．二项式系数最大的项为第5项 D．有理项共3项

【答案】AB

【分析】二项式展开式共8项，则n＝7，然后利用二项式定理逐个选项分析即可得到答案﹒

【详解】二项式的展开式中共有8项，则，

选项A：所有项的二项式系数和为，故A正确；

选项B：令，则，所以所有项的系数的和为1，故B正确；

选项C：二项式系数最大的项为第4项和第5项，故C不正确；

选项D：二项式的展开式的通项为，

当时，二项式的展开式中对应的项均为有理项，所以有理项有4项，故D不正确．

故选：AB﹒

10．月亮公转与自转的周期大约为30天，阴历是以月相变化为依据.人们根据长时间的观测，统计了月亮出来的时间y（简称“月出时间”，单位：小时）与天数x（x为阴历日数，，且）的有关数据，如下表，并且根据表中数据，求得y关于x的线性回归方程为.

其中，阴历22日是分界线，从阴历22日开始月亮就要到第二天（即23日）才升起.则（    ）

A．样本点的中心为

B．

C．预报月出时间为16时的那天是阴历13日

D．预报阴历27日的月出时间为阴历28日早上

【答案】AD

【分析】先求得，从而求得样本点中心，故能判断选项A，将样本点中心代入回归方程求得的值，故能判断选项B，分别将y和x的值代入即可判断选项C和D.

【详解】，，

故样本点的中心为，选项A正确；

将样本点的中心为代入得，故选项B错误；

∵，当求得，月出时间为阴历12日，选项C错误；

∵阴历27日时，即，代入，日出时间应该为28日早上，选项D正确；

故选AD.

【点睛】本题主要考查线性回归方程，意在考查学生的逻辑推理能力及数学运算的学科素养，属中档题.

11．已知函数的导函数为，若的图象如图所示，则下列说法正确的是（    ）

A．在上单调递增 B．在上单调递减

C．在处取得极小值 D．在处取得极大值

【答案】ACD

【分析】根据导函数与函数的单调性和极值的关系求解.

【详解】当时，单调递增，

由图可知时，，单调递增，故A正确；

当时，，单调递增；

当时，，单调递减，故B错误；

当时，，单调递减；

当时，，单调递增，

所以在处取得极小值，故C正确；

当时，，单调递增；

当时，，单调递减，

所以在处取得极大值，故D正确.

故选：ACD.

12．已知函数，则下面对函数的描述正确的是（    ）

A．当时，无解

B．当时，恒成立

C．当时，有解

D．当时，恒成立

【答案】ABD

【分析】对于A，显然成立；对于B，求导可得，即可得到结果；对于C，由B中结论即可判断；对于D，求导得最小值即可判断；

【详解】A选项：当时，显然无解.

B选项：时，，定义域为，所以，

易知在定义域上是单调递增函数，

又，

所以在上有唯一的实根，不妨将其设为，且，

则为的最小值点，且，即，两边取以为底的对数，得故，因为，所以，故，即对，都有.

选项：当时，由上述可知，无解.

D选项：时，，

故在上有唯一实数根，且.

当时，，当时，，从而当时，取得最小值，，

故选:ABD.

三、填空题

13．已知女儿身高y（单位：cm）关于父亲身高x（单位：cm）的经验回归方程为，当父亲身高每增加1cm，则女儿身高平均增加______．

【答案】0.81 cm

【分析】根据线性回归方程的意义作答．

【详解】由回归方程知，当父亲身高每增加1cm，则女儿身高平均增加0.81 cm．

故答案为：0.81 cm．

14．某服装公司对1-5月份的服装销量进行了统计，结果如下：

若与线性相关，其线性回归方程为，则______．

【答案】96

【分析】利用样本中心点一定在回归方程上，列方程求解即可.

【详解】由已知，可得，代入回归方程，得，

∴，

∴．

故答案为：96.

15．某工厂生产的一批电子元件质量指标服从正态分布，且，若从这批电子原件中随机选取一件产品，则其质量指标小于2的概率为___________.

【答案】0.1/

【分析】由正态分布的性质知，结合即可求概率.

【详解】由题设，故，

所以.

故答案为：

16．盒中有2个白球，3个黑球，从中任取3个球，以表示取到白球的个数，表示取到黑球的个数．给出下列各项：

①，；②；③；④.

其中正确的是________．(填上所有正确项的序号)

【答案】①②④

【分析】根据数学期望、方差和超几何分布的概念运算即可求解.

【详解】由题意可知X服从超几何分布，η也服从超几何分布．

∴E(X)＝＝，E(η)＝＝.

又X的分布列

∴E(X2)＝02×＋12×＋22×＝，

D(X)＝E(X2)－[E(X)]2＝－2＝.

η的分布列为

∴E(η2)＝12×＋22×＋32×＝，

D(η)＝E(η2)－[E(η)]2＝－2＝.

∴E(X2)＝E(η)，D(X)＝D(η)，∴①②④正确．

故答案为：①②④.

四、解答题

17．已知甲袋中装有4个白球，6个黑球，乙袋中装有4个白球，5个黑球．先从甲袋中随机取出1个球放入乙袋，再从乙袋中随机取出1个球．

(1)在从甲袋取出白球的条件下，求从乙袋取出白球的概率；

(2)求从乙袋取出白球的概率．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）在从甲袋取出白球的条件下，乙袋中变成有5个白球，5个黑球，由此易求概率；

（2）把从乙袋取出白球这个事件分成两个互斥事件：从甲袋取出白球，然后从乙袋取出白球；从甲袋取出黑球，然后从乙袋取出白球，由概率公式可得．

【详解】（1）在从甲袋取出白球的条件下, 乙袋中变成有5个白球，5个黑球，从乙袋取出白球的概率为；

（2）从乙袋取出白球可分成两个互斥事件：从甲袋取出白球，然后从乙袋取出白球，和从甲袋取出黑球，然后从乙袋取出白球，

所求概率为．

18．已知函数．

(1)求曲线在处的切线方程；

(2)求曲线过坐标原点的切线方程．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）对求导，求得，，再由点斜式方程即可求出曲线在处的切线方程；

（2）设切点为，求得，，再由点斜式方程求得切线方程为，切线过坐标原点，代入可求得，

回代即可得出答案.

【详解】（1），则，        

又，所以曲线在处的切线方程为．

（2）设切点为，则，

则切线方程为，     

切线过坐标原点，则，      

整理可得，即，

解得，则．       

故所求切线方程为．

19．为了研究一种新药治疗某种疾病是否有效，进行了临床试验．采用有放回简单随机抽样的方法得到如下数据：抽到服用新药的患者55名，其中45名治愈，10名未治愈；抽到服用安慰剂（没有任何疗效）的患者45名，其中25名治愈，20名未治愈．

(1)根据上述信息完成服用新药和治疗该种疾病的样本数据的列联表；

(2)依据的独立性检验，能否认为新药对治疗该种疾病有效？并解释得到的结论．

附：；

【答案】(1)列联表见解析

(2)可以认为新药对治疗该种疾病有效

【分析】（1）依题意完成列联表；

（2）根据（1）中的列联表计算出，由独立性检验的思想判断即可；

【详解】（1）解：由题意可得新药和该种疾病的样本数据的列联表如下：

（2）解：零假设：假设新药对治疗该种疾病无效，

根据列联表中的数据，可得，

根据小概率值的独立性检验，推断出不成立，即认为新药对该种疾病治疗，此推断犯错误的概率不超过，

服用新药中治愈和未治愈的频率分别为和，服用安慰剂治愈和未治愈的频率分别为和，

根据频率稳定于概率的原理，可认为服用新药治愈该疾病的概率大；

20．车辆定位系统由全球卫星定位系统（GPS）和地理信息系统（GIS）组成，可以实现对汽车的跟踪和定位，某地区通过对1000辆家用汽车进行定位测试，发现定位精确度．

(1)预估该地区某辆家用汽车导航的精确度在的概率；

(2)记Y表示随机抽取的10辆家用汽车中导航精确度在之外的汽车数量，求及Y的数学期望．

附：若，则，，，．

【答案】(1)0.8186

(2)，数学期望为

【分析】（1）根据正态分布的性质计算可得；

（2）根据正态分布的性质得到，依题意可得，再根据二项分布的概率公式及期望公式计算可得；

【详解】（1）解：由，易知，所以预估该地区某辆家用汽车导航的精确度在的概率

，

则预估该地区某辆家用汽车导航的精确度在的概率为0.8186．

（2）解：因为，     

则．   

所以，    

故．

21．2021年春节前，受疫情影响，各地鼓励外来务工人员选择就地过年.某市统计了该市4个地区的外来务工人数与就地过年人数（单位：万），得到如下表格：

(1)请用相关系数说明y与x之间的关系可用线性回归模型拟合，并求关于的线性回归方程.

(2)假设该市政府对外来务工人员中选择就地过年的每人发放1000元补贴.

（i）若该市E区有2万名外来务工人员，根据（1）的结论估计该市政府需要给E区就地过年的人员发放的补贴总金额；

（ii）若A区的外来务工人员中甲､乙选择就地过年的概率分别为，，该市政府对甲､乙两人的补贴总金额的期望不超过1500元，求的取值范围.

参考公式：相关系数，回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，.

【答案】(1)说明答案见解析，

(2)（i）（万元）；（ii）

【分析】（1）根据相关系数的绝对值越接近1，线性回归模型的拟合效果越好，即可以根据直接计算相关系数的值来判断与之间的线性相关程度的强弱；关于的线性回归方程直接用参考公式求解.

（2）（i）将代入（1）中的线性回归方程，即可求出E区就地过年的人数；

（ii）由X的所有可能取值为0，1，2，并分别求出相应的概率，即可得到分布列，然后求出期望，最后列出不等式求出的取值范围.

【详解】（1）（1）由题，，，

，

，

，

所以相关系数，

因为y与x之间的相关系数近似为0.99，说明y与x之间的线性相关程度非常强，所以可用线性回归模型拟合y与x之间的关系.

，，

故y关于x的线性回归方程为.

（2）（2）（i）将代入，得，

故估计该市政府需要给E区就地过年的人员发放的补贴总金额为（万元）.

（ii）设甲､乙两人中选择就地过年的人数为X，则X的所有可能取值为0，1，2，

，

，

.

所以，

所以，

由，得，

又，所以，

故的取值范围为.

22．已知函数，（，为自然对数的底数）.

(1)求函数的极值；

(2)若对，恒成立，求的取值范围.

【答案】(1)极大值为，无极小值

(2)

【分析】（1）求导后，根据的正负可求得的单调性，根据极值的定义可求得结果；

（2）分离变量可将问题转化为在上恒成立；求导后可令，利用导数可求得的单调性，利用零点存在定理可求得的零点，并得到的单调性，由此可求得，化简可得，由此可求得的取值范围.

【详解】（1）定义域为，，

当时，；当时，；

在上单调递增，在上单调递减，

的极大值为，无极小值.

（2）由得：，在上恒成立；

令，则；

令，则，

在上单调递增，又，，

，使得，则，

当时，；当时，；

在上单调递减，在上单调递增，；

由得：，，

，，

则实数的取值范围为.

【点睛】关键点点睛：本题考查利用导数求解函数的极值、恒成立问题的求解；本题求解恒成立问题的关键是能够通过分离变量的方式，将问题转化为变量与函数最值之间的大小关系问题，从而利用导数求解函数最值来求得变量的取值范围.