2022-2023学年四川省成都市简阳市阳安中学高二下学期5月月考数学（理）试题含解析

2022-2023学年四川省成都市简阳市阳安中学高二下学期5月月考数学（理）试题

一、单选题

1．已知集合，则集合（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】先解出集合A再求.

【详解】由得，.

故选：C

【点睛】集合的交、并、补运算：

(1)离散型的数集用韦恩图；

(2) 连续型的数集用数轴．

2．设是虚数单位，若复数是纯虚数，则实数的值为

A． B． C．1 D．3

【答案】C

【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部为0且虚部不为0列式求得的值.

【详解】解：是纯虚数，

，解得.

故选：C.

【点睛】复数相关概念与运算的技巧

(1)解决与复数的基本概念和性质有关的问题时，应注意复数和实数的区别与联系，把复数问题实数化是解决复数问题的关键．

(2)复数相等问题一般通过实部与虚部对应相等列出方程或方程组求解．

(3)复数的代数运算的基本方法是运用运算法则，但可以通过对代数式结构特征的分析，灵活运用i的幂的性质、运算法则来优化运算过程．

3．已知命题p：存在一个无理数，它的平方是有理数，则为（    ）

A．任意一个无理数，它的平方不是有理数

B．存在一个无理数，它的平方不是有理数

C．任意一个无理数，它的平方是有理数

D．存在一个无理数，它的平方是无理数

【答案】A

【分析】根据存在命题的否定的性质进行判断即可.

【详解】因为存在命题的否定是全称命题，

所以为：任意一个无理数，它的平方不是有理数，

故选：A

4．执行如图所示的程序框图.如果输入的为2，输出的为4，那么（    ）

A．13 B．14 C．15 D．16

【答案】C

【分析】根据循环结构，得到输出的公式，得到，再结合框图，判断的值.

【详解】由程序框图可知，输出的，

则，得，那么判断框图.

故选：C.

5．已知二项式的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是2︰5，则的系数为（    ）

A．14 B． C．240 D．

【答案】C

【分析】由二项展开式的通项公式为及展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是2︰5可得：，令展开式通项中的指数为，即可求得，问题得解．

【详解】二项展开式的第项的通项公式为，

由展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是2︰5，

可得：，解得：.

所以，

令，解得：，

所以的系数为，

故选：C.

【点睛】本题主要考查了二项式定理及其展开式，考查了方程思想及计算能力，还考查了分析能力，属于中档题．

6．银行储蓄卡的密码由6位数字组成．某人在银行自助取款机上取钱时，忘记了密码的最后1位数字，如果记得密码的最后1位是偶数，不超过2次就按对的概率是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据古典概型计算公式，结合概率加法的运算公式进行求解即可.

【详解】设事件：一次就按对，事件：二次按对，

所以不超过2次就按对的概率为，

故选：B

7．为了解人们对环保知识的认知情况，某调查机构对地区随机选取个居民进行了环保知识问卷调查（满分为100分），并根据问卷成绩（不低于60分记为及格）绘制成如图所示的频率分布直方图（分为，，，，，六组），若问卷成绩最后三组频数之和为360，则下面结论中不正确的是（    ）

A．

B．问卷成绩在内的频率为0.3

C．

D．以样本估计总体，若对地区5000人进行问卷调查，则约有1250人不及格

【答案】A

【分析】根据频率分布直方图的小矩形的面积之和为1先求出的值，从而可求得n的值，可判断选项A, C；选项B，由图可求出问卷成绩在的小矩形的面积，得到对应的频率；选项D，先求出不及格的频率为，从而可求解

【详解】由，得，

，故A不正确，C正确；

成绩在内的频率为，故B正确.

若对A地区5000人进行问卷调查，则约有人不及格，故D正确.

故选：A

8．若经过点P(2,8)作曲线的切线，则切线方程为（    ）

A． B．

C．或 D．或

【答案】D

【分析】因为P点在曲线上，所以需要分两种情况讨论，P点为切点和P点不为切点，分别根据导数的几何意义求解切线方程即可.

【详解】①易知P点在曲线上，当P点为切点时，.

②当P点不是切点时，设切点为，由定义可求得切线的斜率为.

∵A在曲线上，

∴，

∴，

∴，

∴，

解得或 (舍去)，

∴，k=3，

此时切线方程为y+1=3(x+1)，

即.

故经过点P的曲线的切线有两条，方程为或.

故选：D

【点睛】导数运算及切线的理解应注意的问题：

一是利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆．

二是直线与曲线公共点的个数不是切线的本质，直线与曲线只有一个公共点，直线不一定是曲线的切线，同样，直线是曲线的切线，则直线与曲线可能有两个或两个以上的公共点．

9．设是同一个半径为4的球的球面上四点，为等边三角形且其面积为，则三棱锥体积的最大值为

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】分析：作图，D为MO 与球的交点，点M为三角形ABC的中心，判断出当平面时，三棱锥体积最大，然后进行计算可得．

详解：如图所示，

点M为三角形ABC的中心，E为AC中点，

当平面时，三棱锥体积最大

此时，

,

点M为三角形ABC的中心

中，有

故选B.

点睛：本题主要考查三棱锥的外接球，考查了勾股定理，三角形的面积公式和三棱锥的体积公式，判断出当平面时，三棱锥体积最大很关键，由M为三角形ABC的重心，计算得到，再由勾股定理得到OM，进而得到结果，属于较难题型．

10．若双曲线的右焦点为F，以F为圆心，为半径的圆F与双曲线C的两条渐近线分别交于A，B两点，若四边形OAFB为菱形（O为坐标原点），则双曲线C的离心率（    ）

A． B． C． D．2

【答案】D

【分析】根据四边形OAFB为菱形，且圆的半径为，得到是正三角形，，则求解.

【详解】双曲线C的半焦距，

圆F过原点O.依题意易知是正三角形，

，

，

.

故选：D.

【点睛】本题主要考查双曲线的几何性质，还考查了运算求解的能力，属于基础题.

11．已知，直线．P为上的动点．过点P作的切线，切点为，当最小时，直线的方程为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由，要使得最小，此时直线与垂直，求得点的坐标，求得以线段为直径的圆的方程，进而求得公共弦的方程，即可求解.

【详解】由圆，可得圆心坐标为，半径为，

如图所示，因为，

要使得最小，则只需最小，此时直线与垂直，

此时直线的方程为，

联立方程组，解得，

则以线段为直径的圆的方程为，

联立方程组，两式相减得，

即直线的方程为.

故选：D.

12．已知，，，则，，的大小关系为（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】设，利用导数得出其在，上单调递减性，从而可得，由此得出答案.

【详解】；

设，；

时，；则在，上单调递减；

；即；

．

故选：D

二、填空题

13．如某校高中三年级的300名学生已经编号为1，2，…，300，为了了解学生的学习情况，要抽取一个样本数为60的样本，用系统抽样的方法进行抽取，若第59段所抽到的编号为292，则第1段抽到的编号为____________．

【答案】2

【分析】根据系统抽样的定义和方法进行求解.

【详解】在高中三年级的300名学生中抽取一个样本数为60的样本，需要分成60组，组距为，即相邻的两组间的编号差为5，且，则第1段抽到的编号为2.

故答案为：2.

14．已知一组数据6，7，8，8，9，10，则该组数据的方差是____.

【答案】.

【分析】由题意首先求得平均数，然后求解方差即可.

【详解】由题意，该组数据的平均数为，

所以该组数据的方差是.

【点睛】本题主要考查方差的计算公式，属于基础题.

15．设实数满足，当恒成立时，的取值范围是_______.

【答案】

【分析】令，则，解得：范围．恒成立，即恒成立，即可得出．

【详解】令，即化为直线方程，直线与圆始终有交点

则圆心到直线的距离恒成立，解得：．

当恒成立，即恒成立，

．

的取值范围是．

故答案为：．

16．已知函数，若存在唯一的零点，则实数的取值范围是__________.

【答案】.

【分析】由，得到，令，求得，得出函数的单调性与极值，作出的图象，根据题意转化为与的图象有且仅有一个公共点，结合图象，即可求解.

【详解】由题意，函数，令，可得，

令，可得，

令，解得或或x=0

当时，，单调递减；

当时，，单调递增，

又由时，；（左侧）时，；

（右侧）时，；时，，且，

所以函数的图象，如图所示，

因为 存在唯一的零点，即与的图象有且仅有一个公共点，

所以或，即实数的取值范围为.

故答案为：.

三、解答题

17．已知函数.

(1)求的单调区间；

(2)若在区间上的最大值为20，求它在该区间上的最小值.

【答案】(1)递减区间是，递增区间是.

(2)

【分析】（1）求得，结合和的解集，即可求得函数的单调区间；

（2）由（1）得到函数在上的单调性，结合题意求得，进而求得函数的最小值.

【详解】（1）解：函数的定义域为，

可得

由得或，由得，

因此函数在上单调递减，在上单调递增，

所以函数的递减区间是，递增区间是.

（2）解：由（1）知，函数在上单调递减，在上单调递增，

又由

因此，解得，

所以

所以函数在上的最小值是.

18．如图所示多面体ABCDEF中，平面平面ABCD，平面ABCD，是正三角形，四边形ABCD是菱形，，，

(1)求证：平面ABCD；

(2)求二面角的正弦值.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）由面面垂直的性质定理与线面平行的判定定理证明即可；

（2）建立空间直角坐标系，用坐标法计算面面角正弦值即可.

【详解】（1）证明：取中点，连接，

因为是正三角形，

所以，

因为平面平面平面，平面平面

所以平面，又因为平面，

所以，又因为，

所以四边形是平行四边形，所以，

又因为平面平面，

所以平面.

（2）连接交于，取中点，连接，

所以，因为平面，所以平面，

因为平面，所以，

又因为四边形是菱形，所以，

所以两两垂直，

建立如图所示的空间直角坐标系，

，，

设平面的法向量为，

，令

平面的法向量为，

设二面角的大小为，

.

所以二面角的正弦值为.

19．2021年春节前，受疫情影响，各地鼓励外来务工人员选择就地过年.某市统计了该市4个地区的外来务工人数与就地过年人数（单位：万），得到如下表格：

(1)求关于的线性回归方程；

(2)假设该市政府对外来务工人员中选择就地过年的每人发放1000元补贴.

（ⅰ）若该市区有2万名外来务工人员，根据（1）的结论估计该市政府需要给区就地过年的人员发放的补贴总金额；

（ⅱ）某公司有5名员工，其中来自区2人，其余三区各1人，选出2人来春节值班，求两人中来自区的人数的分布列及数学期望。

参考公式：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，.

【答案】(1)

(2)（ⅰ）1750万元；（ⅱ）分布列见解析，数学期望为

【分析】（1）直接用参考公式求解斜率与截距的估计值即可得关于的线性回归方程；

（2）（ⅰ）将代入（1）中的线性回归方程，即可求出区就地过年的人数；（ⅱ）由的所有可能取值为0，1，2，按照超几何分布分别求出相应的概率，即可得到分布列，然后求出期望．

【详解】（1）由题，，

，

，

则，，

故关于的线性回归方程为．

（2）（ⅰ）将代入，得，

故估计该市政府需要给区就地过年的人员发放的补贴总金额为（万元）．

（ⅱ）的所有可能取值为0，1，2，

，，

随机变量的分布列为：

．

20．已知抛物线的焦点为是抛物线上的任意一点.当轴时，的面积为4（为坐标原点）.

(1)求抛物线的方程；

(2)设直线与抛物线相交于两点，且直线的倾斜角之和为，求证：直线过定点.

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）由条件有，则由的面积为 4，可得出答案；

（2）设，设直线的方程为，联立抛物线方程组得交点坐标关系，确定直线的斜率关系，，结合直线的倾斜角之和为，列方程即可求解关系，从而证得结论．

【详解】（1）因为为抛物线的焦点，所以，所以，

因为 轴，所以，所以，

因为的面积为 4，所以，且，所以，

故抛物线的方程为；

（2）证明：根据题意，设，设直线的方程为，

联立抛物线方程得，，即，

由韦达定理可得，，

则，，

所以，，

设直线、的倾斜角分别为和，所以，，

则，，

所以当时，，解得，

所以直线的方程即为：，

即得直线恒过定点．

【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：

（1）设直线方程，设交点坐标为；

（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算；

（3）列出韦达定理；

（4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式；

（5）代入韦达定理求解.

21．已知．

（1）设是的极值点，求实数的值，并求的单调区间；

（2）当时，求证：．

【答案】（1）；单调递增区间为，单调递减区间为； （2）证明见解析.

【分析】（1）求得，利用．求得．再求的单调区间．

（2）由（1）可得时，使得，即．，

令．利用导数可得．

【详解】（1）函数的定义域为．

又，

是的极值点，．

．

在上单调递增，且．

时，，时，．

的递减区间为，递增区间为，．

（2）由（1）可得时，在上单调递增．

又因为（1），当趋近于0时，趋近于．

使得，即．

当时，，，时，．

在递减，在，递增．

，

令．

，在上，

单调递减，．

当时，．

【点睛】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及函数的零点问题，考查转化思想，是一道综合题．

22．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（为参数）．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线的极坐标方程为．

(1)写出的直角坐标方程；

(2)已知点，若l与C交于A，B两点，且，求m的值．

【答案】(1)

(2)或

【分析】（1）先利用正弦函数的和差公式化简直线的极坐标方程，再利用代入即可得解；

（2）结合（1）中条件写出直线过点的参数方程，再利用三角函数的平方关系求得曲线C的直角坐标方程，联立方程，利用参数的几何意义得到关于的方程，从而得解.

【详解】（1）因为，

所以，即，

又，则，即，

所以直线的直角坐标方程为.

（2）由（1）可得直线的方程为，

则点落在直线上，且直线的斜率为，

所以直线的倾斜角为，又，

所以直线过点的参数方程为（为参数），

因为曲线C的参数方程为（为参数），

所以曲线C的直角坐标方程为，

将直线的参数方程代入曲线C的直角坐标方程得，整理得，

则，解得，

不妨设方程的两根为，则，

由直线参数方程的参数的几何意义可知，

则，解得或，皆满足题意，

所以或.