2023年北京市大兴区中考二模数学试卷及答案

这是一份2023年北京市大兴区中考二模数学试卷及答案，共29页。试卷主要包含了故选D等内容，欢迎下载使用。

2022北京大兴初三二模

数 学

考生须知：

1．本试卷共8 页，共三道大题，28道小题．满分100 分．考试时间120 分钟．

2．在试卷和答题卡上准确填写学校名称、班级、姓名和准考证号．

3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效．

4．在答题卡上，选择题用2B 铅笔作答，其他题用黑色字迹签字笔作答．

5．考试结束，请将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回．

一、选择题（共16 分，每题2分）第1-8 题均有四个选项，符合题意的选项只有一个

1. 2022 年北京冬奥会共录用了赛会志愿者18000多人，他们就像一朵朵热情洋溢的小雪花，在各自岗位上展现开

放，阳光向上的风采．将18000 用科学记数法表示应为（ ）

A. 0.18´105 B. 18´103 C. 1.8´104 D. 1.8´105 2. 下图是某个几何体的三视图，该几何体是（ ）









A 长方体 B. 正方体 C. 圆柱 D. 三棱柱


k
3. 如果反比例函数y = x 图象经过点P(−4,3)，那么k的值是（ ）

4
3
A -12 B. − 3 C. − 4 D. 12

4. 某男装专卖店老板专营母品牌夹克，店主统计了一周中不同尺码夹克销售情况如下表：


尺码 39

平均每天销售量 10

40 41 42 43

12 20 12 12


如果每件夹克的利润相同，你认为该店主最关注的销售数据是下列统计量中的（ ）

A. 平均数 B. 方差 C. 众数 D. 中位数

5. 下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ）

A. 等边三角形 B. 平行四边形 C. 矩形 D. 圆

6. 如图，在△ABC 中，点D、E 分别在AB、AC 边上，DE∥BC，若AD︰AB＝3︰4，AE＝6，则AC 等于

（ ）





1 / 28






A. 3

B. 4 C 6

D. 8

7. 如图，圆的两条弦AB，CD 相交于点E，且AD = CB,ÐA = 40°，则ÐCEB 的度数为（ ）












A. 50° B. 80° C. 70° D. 90°

8. 根据市场调查，某种消毒液的大瓶装（500 克）和小瓶装（250 克）两种产品的销售数量（按瓶计算）比为2∶

5．某厂每天生产这种消毒液22500000 克，这些清毒液应该分装大，小瓶两种产品各多少瓶?设这些消毒液应该分


装大瓶x瓶，小瓶y 瓶．依题意可列方程组为（

í
A.
ì2x =5y
î500x+250y = 22500000

í
C.
ì5x = 2y
î250x+500y = 22500000

二、填空题（共16 分，每题2分）
）

í
B.
ì2x =5y
î250x+500y = 22500000

í
D.
ì5x = 2y
î500x+250y = 22500000


9. 若二次根式 x−2 有意义，则x 的取值范围是___．
10. 请写出一个开口向下，对称轴为y 轴的抛物线的解析式y = __________．

11. 若无理数a满足1
1
12. 方程x 2 1 x 的解为_____________．

13. 如图所示的网格是正方形网格，点A，B，P 是网格线交点，则ÐPBA与ÐPAB 的大小关系是：ÐPBA_______ ÐPAB （填“>”，“=”或“<”）．








2 / 28








14. 如图，▱ABCD 中，AB=3，BC=5，AE 平分∠BAD 交BC 于点E，则CE 的长为________ ．






15. 如图，菱形ABCD 的面积为12，其中对角线AC 长为4，则对角线BD 的长为___________．











16. 某超市对某品牌袋装茶叶搞促销活动商家将该品牌袋装茶叶按以下五种类型出售：A 类有一袋茶叶，B 类有二袋

茶叶，C 类有三袋茶叶，D 类有五袋茶叶，E 类有七袋茶叶，价格如下表：


种类

单价（元/类）

A B C D E

20 36 42 65 90


小云准备在该超市购买6袋上述品牌的茶叶，则购买茶叶的总费用最低为___________元．

三、解答题（共68 分，第17-20 题，每题5 分，第21 题6 分，第22题4分，第23-26 题，每题6分，第27-28

题，每题7 分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．

−1
17. 计算： 32 −2sin45°+(2−p)0 −è 4ø
18. 如图，已知直线y = kx + b经过点(0,−3)和点M，求此直线与x 轴的交点坐标．
















3 / 28
− x
+2
x−2
19. 已知：x2 +3x =1，求代数式x11× x2 −2x+1− x+1 的值.

20. 下面是小东设计的“过直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图过程．

已知：直线l 和直线l外一点P．









求作：直线PQ，使得PQ∥l ．

作法：如图，











①在直线l上任取两点A，B；

②以点P 为圆心，AB 长为半径画弧，以点B 为圆心，AP 长为半径画弧，两弧在直线l 上方相交于点Q；

③作直线PQ．

直线PQ 就是所求作的直线．

根据小东设计的尺规作图过程，

（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；

（2）完成下面的证明．

证明：∵PA = QB, AB = PQ，

∴四边形PABQ 是平行四边形（___________）（填写推理的依据）．

∴PQ∥AB（______________）（填写推理的依据）．

即PQ∥l

21. 已知关于x 的一元二次方程3x2﹣6x+1﹣k=0有实数根，k 为负整数．

（1）求k 的值；

（2）如果这个方程有两个整数根，求出它的根．

22. 一次演讲比赛中，评委将从演讲内容，演讲能力，演讲效果三个方面为选手打分．各项成绩均按百分制计，然

后再按演讲内容占50%，演讲能力占40%，演讲效果占10%，计算选手的综合成绩（百分制）．进入决赛的前两名

选手的单项成绩和综合成绩如下表所示．

选手 演讲内容 演讲能力 演讲效果 综合成绩



4 / 28
A 85 95 95 m

B 95 85 95 91


（1）求出m 的值；

（2）请根据综合成绩确定两人的名次．

23. 一个滑雪者从山坡滑下，如果不计其他因素，经测量得到滑行距离y（单位：米）与滑行时间x（单位：秒）的

数据（如下表）：


滑行时间x（秒）


滑行距离y（米）
0 0 5 1


0 1.2 2.6

1.5 2 2.5 3


4.4 6.4 8.8 11.4

3.5 4


14.4 17.6

… 58


… 2134.4


请解决以下问题：

（1）如下图，在平面直角坐标系xOy中，根据表中数值描点(x, y)，请你用平滑曲线连接描出的这些点；















（2）当滑雪者滑行3秒时，滑行距离是________米；

（3）下面三个推断：

①曲线上每一个点都代表x 的值与y 的值的一种对应

②自变量x 的取值范围是x ³ 0

③滑行最远距离是2134.4米

所有推断正确的序号是___________

24. 如图，P 是正方形ABCD 对角线AC 上一点，点E 在BC 上，且PE＝PB．

(1)求证：PE＝PD；

(2)求∠PED 的度数．












5 / 28












25. 如图，在 ABC中，ÐC = 90°，AD 是ÐBAC 的平分线，O 是AB 上一点，以OA 为半径的 O 经过点D．













（1）求证：BC 是 O 切线；

（2）若BD = 5,DC = 3，求AC 的长．

26. 关于x的二次函数y1 = x2 +mx 的图象过点(−2,0)．

（1）求二次函数y1 = x2 +mx 的表达式；

（2）已知关于x 的二次函数y2 = −x2 +2x，一次函数y3 = kx+b(k ¹ 0) ，在实数范围内，对于x的同一个值，这

三个函数所对应的函数值y1 ³ y3 ³ y2 均成立．

①求b 的值；

②直接写出k的值．

27. 已知：如图，AC = AB,ÐCAB = ÐCDB =a ，线段CD 与AB 相交于点O，以点A 为中心，将射线AD 绕点A 逆时针旋转a (0










（1）若a = 60°，求证：CD = AD + BD； （2）请你直接用等式表示出线段CD，AD，BD 之间的数量关系（用含a 的式子表示）．

6 / 28
28. 在平面直角坐标系xOy中，对于点P 和直线y =1，给出如下定义：若点P 在直线y =1上，且以点P 为顶点的

角是45 ，则称点P 为直线y =1的“关联点”．

（1）若在直线x =1上存在直线y =1的“关联点”P．则点P 的坐标为_____；













（2）过点P(2,1)作两条射线，一条射线垂直于x 轴，垂足为A；另一条射线、交x轴于点B，若点P 为直线y =1 的“关联点”．求点B 的坐标；












（3）以点O 为圆心，1为半径作圆，若在 O 上存在点N，使得ÐOPN 的顶点P 为直线y =1的“关联点”．则点

P 的横坐标a 的取值范围是________．

























7 / 28
参考答案

一、选择题（共16 分，每题2分）第1-8 题均有四个选项，符合题意的选项只有一个

1. 2022 年北京冬奥会共录用了赛会志愿者18000多人，他们就像一朵朵热情洋溢的小雪花，在各自岗位上展现开

放，阳光向上的风采．将18000 用科学记数法表示应为（ ）

A. 0.18´105 B. 18´103 C. 1.8´104 D. 1.8´105 【答案】C
【解析】

【分析】科学记数法的表示形式为a´10n ，其中1£ a <10，n为整数，确定n的值时，只需分析将原数变为a时

小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．

【详解】解：18000 =1.8´104 ．

故选：C．

【点睛】本题考查了科学记数法，熟练掌握科学记数法的表示原理是解题的关键．

2. 下图是某个几何体的三视图，该几何体是（ ）









A. 长方体 B. 正方体 C. 圆柱 D. 三棱柱

【答案】D

【解析】

【详解】解：主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形，由于主视图和左视图为

矩形，可得为柱体，俯视图为三角形可得为三棱柱．

故选D．

【点睛】本题考查由三视图判断几何体．

3. 如果反比例函数y = x 的图象经过点P(−4,3)，那么k 的值是（ ）

4
3
A. -12 B. − 3 C. − 4 D. 12 【答案】A
【解析】

【分析】将点P(−4,3)代入反比例函数的解析式，求解即可．

k
【详解】 反比例函数y = x 的图象经过点P(−4,3)，

k
\3= −4 ，

8 / 28
\k = −12，

故选：A．

【点睛】本题考查了求反比例函数解析式，熟练掌握知识点是解题的关键．

4. 某男装专卖店老板专营母品牌夹克，店主统计了一周中不同尺码夹克销售情况如下表：


尺码 39

平均每天销售量 10

40 41 42 43

12 20 12 12


如果每件夹克的利润相同，你认为该店主最关注的销售数据是下列统计量中的（ ）

A. 平均数 B. 方差 C. 众数 D. 中位数

【答案】C

【解析】

【分析】根据众数的意义即可得出结论．

【详解】解：∵平均每天销售量最多的为41 尺码

∴该店主最关注的销售数据是众数

故选C．

【点睛】此题考查的是利用统计量作决策，掌握众数的意义是解决此题的关键．

5. 下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ）

A. 等边三角形 B. 平行四边形 C. 矩形 D. 圆

【答案】A

【解析】

【详解】试题解析：A、只是轴对称图形，不是中心对称图形，符合题意；

B、只是中心对称图形，不合题意；

C、D 既是轴对称图形又是中心对称图形，不合题意．

故选A．

考点：1.中心对称图形；2.轴对称图形．

6. 如图，在△ABC 中，点D、E 分别在AB、AC 边上，DE∥BC，若AD︰AB＝3︰4，AE＝6，则AC 等于

（ ）










A. 3

B. 4

C. 6

D. 8

【答案】D

9 / 28
【解析】

3 6
C
AD
A
【详解】∵DE∥BC，∴ AB = AE ，即4 = AC ，∴AC＝8．故选D．


7. 如图，圆的两条弦AB，CD 相交于点E，且AD = CB,ÐA = 40°，则ÐCEB 的度数为（ ）

















A. 50° B. 80° C. 70° D. 90°

【答案】B

【解析】

【分析】由等弧所对的圆周角相等可知ÐC = ÐA = 40°，再利用三角形外角定理求ÐCEB ．

【详解】解： AD = CB， \ÐC = ÐA = 40°，
\ÐCEB = ÐA+ÐC = 40°+40° =80°． 故选：B．
【点睛】本题考查了等弧所对的圆周角相等，三角形的外角定理，熟练掌握相关性质定理是解题的关键．

8. 根据市场调查，某种消毒液 大瓶装（500克）和小瓶装（250克）两种产品的销售数量（按瓶计算）比为2∶

5．某厂每天生产这种消毒液22500000 克，这些清毒液应该分装大，小瓶两种产品各多少瓶?设这些消毒液应该分


装大瓶x瓶，小瓶y 瓶．依题意可列方程组为（

ì2x =5y
î500x+250y = 22500000

í
C.
ì5x = 2y
î250x+500y = 22500000

【答案】D

【解析】

【分析】根据题意，找出等量关系，列方程组．
）

ì2x =5y
î250x+500y = 22500000

í
D.
ì5x = 2y
î500x+250y = 22500000


【详解】解： x: y = 2:5，

\5x = 2y ，


10 / 28
ì
í
5x = 2y
方程组为î500x+250y = 22500000， 故选：D．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是从题目中找到等量关系，列出方程组．

二、填空题（共16 分，每题2分）

9. 若二次根式 x−2 有意义，则x 的取值范围是___．

【答案】x ³ 2

【解析】

【详解】解：根据题意，使二次根式 x −2 有意义，即x﹣2≥0，解得x≥2．

故答案为：x≥2．

【点睛】本题主要考查使二次根式有意义的条件．


10. 请写出一个开口向下，对称轴为y 轴的抛物线的解析式y = __________．

【答案】y = −x2 （答案不唯一）

【解析】

【分析】对于二次函数y = ax2 +bx+c，开口向下，则a < 0 ；对称轴为y 轴，则b = 0，写出一个符合上述条件的

二次函数即可．

【详解】解：设抛物线的解析式为y = ax2 +bx+c．

抛物线的开口向下，对称轴为y 轴，

\ a < 0 ，且b = 0，

\符合条件的抛物线的解析式可以是y = −x2 ．

故答案为y = −x2 （答案不唯一）．

【点睛】本题考查了二次函数各项系数的性质，熟练掌握二次函数y = ax2 +bx+c中a、b 、c的意义是解决此类

题的关键．

11. 若无理数a满足1
【答案】π

【解析】

【分析】估计一个无理数a 满足1＜a＜4，写出即可，如π、 5 等．

【详解】解：∵1＜a＜4

∴1＜a＜ 16

∴a=π

故答案为：π.

【点睛】此题考查估算无理数的大小，解题关键在于掌握其定义．

1
12. 方程x 2 1 x 的解为_____________．

11 / 28
【答案】x =1

【解析】

【分析】先将分式方程转化为整式方程，再解方程，检验即可．

【详解】方程两边同乘x(x +1)，得2x = x+1， 解得x =1，
经检验，x =1是原方程的解， 故答案为：x =1．
【点睛】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键．

13. 如图所示的网格是正方形网格，点A，B，P 是网格线交点，则ÐPBA与ÐPAB 的大小关系是：ÐPBA_______ ÐPAB （填“>”，“=”或“<”）．













【答案】<

【解析】

【分析】利用三角形中“大边对大角”进行判断．

【详解】解：AP = 12 +22 = 5 ，BP = 12 +32 = 10 ， AP < BP ，
\ÐPBA< ÐPAB ． 故答案为：<．
【点睛】本题考查了比较三角形内角的大小关系，勾股定理，解决本题的关键是将角的大小关系转化为角的对边的

大小关系．

14. 如图，▱ABCD 中，AB=3，BC=5，AE 平分∠BAD 交BC 于点E，则CE 的长为________ ．






【答案】2

【解析】

【分析】由平行四边形的性质得出BC=AD=5，AD∥BC，得出∠DAE=∠BEA，证出∠BEA=∠BAE，得出

BE=AB，即可得出CE 的长．



12 / 28
【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，

∴AD=BC=5，AD∥BC，

∴∠DAE=∠BEA，

∵AE 平分∠BAD，

∴∠BAE=∠DAE，

∴∠BEA=∠BAE，

∴BE=AB=3，

∴CE=BC-BE=5-3=2，

故答案为：2．

【点睛】本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定；熟练掌握平行四边形的性质，证出BE=AB 是解决问

题的关键．

15. 如图，菱形ABCD 的面积为12，其中对角线AC 长为4，则对角线BD 的长为___________．


















【答案】6

【解析】

【分析】利用菱形面积等于对角线乘积的一半进行求解．

【详解】解： 菱形ABCD的面积为S = 2´ AC´BD，

\12 = 2´4´BD， \ BD = 6．
故答案 ：6．

【点睛】本题考查了菱形面积的计算公式，熟记菱形面积计算公式是解题的关键．

16. 某超市对某品牌袋装茶叶搞促销活动商家将该品牌袋装茶叶按以下五种类型出售：A 类有一袋茶叶，B 类有二袋

茶叶，C 类有三袋茶叶，D 类有五袋茶叶，E 类有七袋茶叶，价格如下表：


种类

单价（元/类）

A B C D E

20 36 42 65 90



13 / 28
小云准备在该超市购买6袋上述品牌的茶叶，则购买茶叶的总费用最低为___________元．

【答案】84

【解析】

【分析】求出每种类型下的茶叶的单价，从每袋茶叶价格最低的种类开始购买6袋，分别计算即可得到答案．

【详解】解：当尽可能多的买单价低的茶叶时总费用最少，即买

A 类则一袋茶的单价是20元/袋，

B 类：每袋茶的单价是36÷2=18（元/袋），

C 类：每袋茶的单价是42÷3=14（元/袋），

D 类：每袋茶的单价是65÷5=13（元/袋），

E 类：每袋茶 单价是90÷7= 90 （元/袋），

当尽可能多的买单价低的茶叶时总费用最少，尽量选择每袋单价最低，

①单价最低的是E 类含有7 袋茶叶，则需要90元，

②买一个D 类和一个A 类共六袋，则费用为65+20=85（元）

③买两个C 类,则费用是42×2=84（元）

∵84<85<90,

购买茶叶的总费用最低为84 元.

故答案为：84．

【点睛】本题主要考查了有理数混合运算的应用，正确列出版式是解答本题的关键．

三、解答题（共68 分，第17-20 题，每题5 分，第21 题6 分，第22题4分，第23-26 题，每题6分，第27-28

题，每题7 分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．

1
æ ö
ç ÷
−1
17. 计算： 32 −2sin45°+(2−p)0 −è 4ø 【答案】3 2 −3
【解析】

【分析】根据二次根式的性质，特殊角的三角函数值，零次幂，负整数指数幂化简，再按照从左到右计算即可．


【详解】原式= 4 2 −2´ 2 +1−4

= 4 2 − 2 +1−4

= 3 2 −3．

【点睛】本题考查了实数的混合运算，涉及二次根式的性质，特殊角的三角函数值，零次幂，负整数指数幂，熟练

掌握运算法则是解题的关键．

18. 如图，已知直线y = kx + b经过点(0,−3)和点M，求此直线与x 轴的交点坐标．






14 / 28












3
【答案】(− 2,0) 【解析】
【分析】将点(0,−3)与M(−2,1)代入y = kx + b，求出k 与b 的值，得到函数解析式，从而令y = 0 ，求出x，即可 得直线与x轴的交点坐标．
【详解】解： 直线y = kx + b经过点(0,−3)和点M(−2,1)，

í
ì ì
í
\
−3=b k = −2
î1= −2k +b，解得îb = −3 ， \直线的表达式为y = −2x −3，

3
当y = 0 时，即−2x−3 = 0，解得x = − 2 ．

3
\此直线与x轴的交点坐标为(− 2,0) ． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数的表达式，以及x轴上点的纵坐标为0 ，解决本题的关键是求出函数解
析式．

19. 已知：x2 +3x =1，求代数式x11× x2 −2x+1− x−2 的值. 【答案】1
【解析】

【分析】先化简分式，再把x2 +3x =1代入原式即可求解.

【详解】解：原式
=
−
1 (x−1)2 x−2 x−1 x+2 x+1
=
−
x−1 x−2 x+2 x+1

3
= x2 +3x+2

∵x2 +3x =1

3
∴原式=1+2 =1

15 / 28
【点睛】此题主要考查分式的化简求值，解题的关键是熟知分式的运算法则.

20. 下面是小东设计的“过直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图过程．

已知：直线l 和直线l外一点P．











求作：直线PQ，使得PQ∥l ．

作法：如图，













①在直线l上任取两点A，B；

②以点P 为圆心，AB 长为半径画弧，以点B 为圆心，AP 长为半径画弧，两弧在直线l 上方相交于点Q；

③作直线PQ．

直线PQ 就是所求作的直线．

根据小东设计的尺规作图过程，

（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；

（2）完成下面的证明．

证明：∵PA = QB, AB = PQ，

∴四边形PABQ 是平行四边形（___________）（填写推理的依据）．

∴PQ∥AB（______________）（填写推理的依据）．

即PQ∥l

【答案】（1）见解析 （2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；平行四边形的两组对边分别平行．

【解析】

【分析】（1）根据题目告诉的作图方法进行作图即可；

（2）利用平行四边形的性质与判定证明即可．

【小问1详解】

解：如图所示，直线PQ 就是所求作的直线．


16 / 28










【小问2详解】

证明： PA = QB，AB = PQ

\四边形PABQ 是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）． \ PQ∥AB（平行四边形的两组对边分别平行）．
即PQ//l ．

【点睛】本题考查了尺规作图，平行四边形的性质与判定，熟练掌握相关性质定理是解题的关键．

21. 已知关于x 的一元二次方程3x2﹣6x+1﹣k=0有实数根，k 为负整数．

（1）求k 的值；

（2）如果这个方程有两个整数根，求出它的根．

【答案】（1）k=﹣1，﹣2．（2）方程的根为x1=x2=1．

【解析】

【分析】（1）根据方程有实数根，得到根的判别式的值大于等于0 列出关于k 的不等式，求出不等式的解集即可

得到k 的值；

（2）将k 的值代入原方程，求出方程的根，经检验即可得到满足题意的k的值．

【详解】解：（1）根据题意，得△=（﹣6）2﹣4×3（1﹣k）≥0，

解得k≥﹣2．

∵k为负整数，

∴k=﹣1，﹣2．

（2）当k=﹣1 时，不符合题意，舍去；

当k=﹣2 时，符合题意，此时方程的根为x1=x2=1．

【点睛】本题考查了根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac 有如下关系：（1）△＞0 时，

方程有两个不相等的实数根；（2）△=0时，方程有两个相等的实数根；（3）△＜0时，方程没有实数根．也考查

了一元二次方程的解法．

22. 一次演讲比赛中，评委将从演讲内容，演讲能力，演讲效果三个方面为选手打分．各项成绩均按百分制计，然

后再按演讲内容占50%，演讲能力占40%，演讲效果占10%，计算选手的综合成绩（百分制）．进入决赛的前两名

选手的单项成绩和综合成绩如下表所示．

选手 演讲内容 演讲能力 演讲效果 综合成绩

A 85 95 95 m


17 / 28
B 95 85 95 91


（1）求出m 的值；

（2）请根据综合成绩确定两人的名次．

【答案】（1）90

（2）选手B 获得第一名，选手A 获得第二名．

【解析】

【分析】（1）根据加权平均数的定义进行求解，分别用三个方面的成绩乘以其所占比例，然后求和；

（2）比较两个选手的综合成绩，确定名次即可．

【小问1详解】

解：m =85´50％+95´40％+95´10％= 90；

【小问2详解】

解： 选手A 的综合成绩是90，选手B 的综合成绩是91， \选手B 获得第一名，选手A 获得第二名．
【点睛】本题考查了加权平均数，解题的关键是掌握加权平均数的计算方法．

23. 一个滑雪者从山坡滑下，如果不计其他因素，经测量得到滑行距离y（单位：米）与滑行时间x（单位：秒）的

数据（如下表）：


滑行时间x（秒）


滑行距离y（米）

0 0.5 1 1.5 2


0 1.2 2.6 4.4 6.4

2.5 3


8.8 11.4

3.5 4 … 58

14.4 17.6 … 2134 4


请解决以下问题：

（1）如下图，在平面直角坐标系xOy中，根据表中数值描点(x, y)，请你用平滑曲线连接描出的这些点；



















（2）当滑雪者滑行3秒时，滑行距离是________米；

（3）下面三个推断：

①曲线上每一个点都代表x 的值与y 的值的一种对应

18 / 28
②自变量x 的取值范围是x ³ 0

③滑行最远距离是2134.4米

所有推断正确的序号是___________

【答案】（1）见解析 （2）11.4

（3）①③

【解析】

【分析】（1）用一条平滑的曲线将各点依次连接即可；

（2）根据表格中的信息可得出答案；

（3）根据表格中的数据进行分析即可．

【小问1详解】

解：如图所示．


















【小问2详解】

解：根据表格可知，当滑行者滑行3秒时，滑行距离是11.4米；

【小问3详解】

解：①曲线上每一个点都代表x的值与y 的值的一种对应，推断正确；

②自变量x的取值范围是0 £ x £ 58，推断错误； ③滑行最远距离是2134.4米，推断正确． 综上，所有推断正确的序号是①③．
【点睛】本题考查了描点法作函数图象，用表格表示变量之间的关系，解决本题的关键是从表格中获取必要的信

息．

24. 如图，P 是正方形ABCD 对角线AC 上一点，点E 在BC 上，且PE＝PB．

(1)求证：PE＝PD；

(2)求∠PED 的度数．







19 / 28












【答案】（1）见解析；（2）45°

【解析】

【分析】（1）根据正方形的性质四条边都相等可得BC=CD，对角线平分一组对角，可得∠ACB=∠ACD，然后利

用“边角边”证明△PBC 和△PDC 全等，根据全等三角形对应边相等可得PB=PD，然后等量代换即可得证；

（2）根据全等三角形对应角相等可得∠PBC=∠PDC，根据等边对等角可得∠PBC=∠PEB，从而得到∠PDC=∠

PEB，再根据∠PEB+∠PEC=180° 求出∠PDC+∠PEC=180° 然后根据四边形 内角和定理求出∠DPE=90 ，判

断出△PDE 是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质求解即可．

【详解】（1）∵四边形ABCD 是正方形，

∴BC=CD，∠ACB=∠ACD，

在△PBC 和△PDC 中，

BC = CD， ∵{ÐACB = ÐACD，
PC = PC，

∴△PBC≌△PDC（SAS），

∴PB=PD，

∵PE=PB，

∴PE=PD；

（2）∵四边形ABCD 是正方形，

∴∠BCD=90°

∵△PBC≌△PDC，

∴∠PBC=∠PDC，

∵PE=PB，

∴∠PBC=∠PEB，

∴∠PDC=∠PEB，

，
∵∠PEB+∠PEC=180°

，
∴∠PDC+∠PEC=180°

，
在四边形PECD 中，∠EPD=360°−(∠PDC+∠PEC)−∠BCD=360°−180°−90°=90°

又∵PE=PD，

∴△PDE 是等腰直角三角形，
20 / 28
．
∴∠PED=45°

°
【点睛】本题主要考查正方形的性质，三角形全等的判定和性质定理，四边形的内角和等于360 以及等腰直角三角

°
形的性质，熟练掌握正方形的性质，三角形全等的判定和性质定理，四边形的内角和等于360 以及等腰直角三角形

的性质是解题的关键．

25. 如图，在 ABC中，ÐC = 90°，AD 是ÐBAC 的平分线，O 是AB 上一点，以OA 为半径的 O 经过点D．


















（1）求证：BC 是 O 切线；

（2）若BD = 5,DC = 3，求AC 的长．

【答案】（1）见解析 （2）6

【解析】

【分析】（1）要证BC 是⊙O 的切线，只要连接OD，再证OD⊥BC 即可．

（2）过点D 作DE⊥AB，根据角平分线的性质可知CD=DE=3，由勾股定理得到BE 的长，再通过证明△BDE∽△

BAC，根据相似三角形的性质得出AC 的长．

【小问1详解】

连接OD；

















∵AD 是∠BAC 的平分线，

∴∠1=∠3．

∵OA=OD，

21 / 28
∴∠1=∠2．

∴∠2=∠3．

∴OD∥AC．

．
∴∠ODB=∠ACB=90°

∴OD⊥BC．

∵OD 是⊙O 的半径，

∴BC 是⊙O 切线．

【小问2详解】

过点D 作DE⊥AB，
















∵AD 是∠BAC 的平分线，

∴CD=DE=3．

，
在Rt△BDE 中，∠BED=90°

由勾股定理得：BE = BD2 − DE2 = 52 −32 = 4,

，
∵∠BED=∠ACB=90° ∠B=∠B，

∴△BDE∽△BAC．

BE DE BC AC

∴8 = AC ． ∴AC=6．
【点睛】^$本题综合性较强，既考查了切线的判定，要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点

（即为半径），再证垂直即可．同时考查了角平分线的性质，勾股定理得到BE 的长，及相似三角形的性质． 26. 关于x的二次函数y1 = x2 +mx 的图象过点(−2,0)．
（1）求二次函数y1 = x2 +mx 的表达式；

（2）已知关于x 的二次函数y2 = −x2 +2x，一次函数y3 = kx+b(k ¹ 0) ，在实数范围内，对于x的同一个值，这

三个函数所对应的函数值y1 ³ y3 ³ y2 均成立．

①求b 的值；

22 / 28
②直接写出k的值．

1
【答案】（1）y = x2 +2x．

（2）①b = 0；②k = 2

【解析】

【分析】（1）运用待定系数法求解即可；

（2）画出函数图象，结合函数图象求解即可．

【小问1详解】

∵关于x的二次函数y1 = x2 +mx 的图象过点(−2,0)，

∴0 = (−2)2 +m´(−2)，

∴m = 2 ，

∴y = x2 +2x．

【小问2详解】

①∵y = x2 +2x，y2 = −x2 +2x，

令y1 = y2 ，则x2 +2x = −x2 + 2x，

∴x = 0，

∴y1 与y2 仅交于（0，0）点，如图，














∵对于x的同一个值，这三个函数所对应的函数值y1 ³ y3 ³ y2 均成立．

又x = 0时，y1 = y2 ，

y
∴x = 0时，y1 = y2 = y3 = 0，且y3 与y1，2 有且仅有（0，0）这一交点，

∴y3 = kx+b经过（0，0），

∴b = 0； ②由①知b = 0， ∴y3 = kx ，
1
í
ìy = x2 +2x
联立方程组î y3 = kx ，

∴x2 +2x = kx，

23 / 28
整理得，x2 +(2−k)x = 0，

∵两函数只有一个交点，

∴D=(2−k)2 = 0，

∴k = 2．

【点睛】本题主要考查了运用待定系数法求二次函数解析式，以及二次函数的图象与性质，结合函数图象解决问题

是解答本题的关键．

27. 已知：如图，AC = AB,ÐCAB = ÐCDB =a ，线段CD 与AB 相交于点O，以点A 为中心，将射线AD 绕点A 逆时针旋转a (0

















（1）若a = 60°，求证：CD = AD + BD； （2）请你直接用等式表示出线段CD，AD，BD 之间的数量关系（用含a 的式子表示）．

a
【答案】（1）见解析 （2）CD = 2ADsin 2 + BD 【解析】
【分析】（1）证明△ADB≌△AHC ，则CH = BD ，证明 ADH 是等边三角形，则DH = AD，由此可证 CD = AD + BD；

（2）过点A 作AE ^ DH 于E ，由等腰三角形三线合一可知ÐDAE = 2ÐDAH = 2 ，DH = 2DE ，在 Rt△ADE 中，利用三角函数用AD 表示DE ，从而表示出DH ，结合CD = DH +CH 即可得CD，AD ，BD
之间的数量关系．

【小问1详解】

证明： ÐDAH = ÐBAC =a ， \ÐDAH −ÐBAH = ÐBAC −ÐBAH ， 即ÐDAB = ÐHAC ．
ÐBDC = ÐBAC =a ，ÐBOD = ÐCOA， \180°−ÐBDC −ÐBOD =180°−ÐBAC −ÐCOA，

24 / 28
即ÐB = ÐC ． 在△ADB 与 AHC 中，
ï
ìÐDAB = ÐHAC íAB = AC ， îÐB = ÐC
\△ADB≌△AHC (ASA)．

\BD = CH ，AD = AH ， 又 ÐDAH =a = 60° ， \ ADH 是等边三角形，
\ AD = DH ，
又 CD = DH +CH ， \CD = AD + BD． 【小问2详解】

a
解：CD = 2ADsin 2 + BD，理由如下： 过点A 作AE ^ DH 于E ，
AD = AH ，

1
a
\ÐDAE = 2ÐDAH = 2 ，DH = 2DE ．

a a
\ DE = ADsin 2 ，DH = 2DE = 2ADsin 2 ． 又 CD = DH +CH ，CH = BD ，

a
\CD = 2ADsin 2 + BD．


















【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，三角函数的应用，解决本

题的关键是利用三角函数建立线段之间的数量关系．


25 / 28
28. 在平面直角坐标系xOy中，对于点P 和直线y =1，给出如下定义：若点P 在直线y =1上，且以点P 为顶点的

角是45 ，则称点P 为直线y =1的“关联点”．

（1）若在直线x =1上存在直线y =1的“关联点”P．则点P 的坐标为_____；















（2）过点P(2,1)作两条射线，一条射线垂直于x 轴，垂足为A；另一条射线、交x轴于点B，若点P 为直线y =1

的“关联点”．求点B 的坐标；















（3）以点O 为圆心，1为半径作圆，若在 O 上存在点N，使得ÐOPN 的顶点P 为直线y =1的“关联点”．则点

P 的横坐标a 的取值范围是________．















【答案】（1）P 1,1 .

（2）B(1,0)或B 3,0 .

（3）−1£ a £1.
26 / 28
【解析】

【分析】（1）在直线x =1上存在直线y =1的“关联点”P，可得点P 为两直线的交点，从而可得答案；

（2）根据题意画出图形，结合等腰直角三角形的性质可得答案；

（3）如图，过 1,0 , 1,0 作圆的两条切线，当P 1,1 ,N 0,1 时， OPN 45 , 根据三角形的外角的性质

可得： OQN OPN 45 ,再根据对称性，可得答案．

【小问1详解】

解：在直线x =1上存在直线y =1的“关联点”P．则点P 为两直线的交点，

















P 1,1 .

【小问2详解】

如图， 点P 为直线y =1的“关联点”．

















APB 45 ,

PA ^ x 轴，yP 1,

AB AP 1,

\B(1,0)或B 3,0 .

【小问3详解】

如图，过 1,0 , 1,0 作圆的两条切线，
27 / 28














当P 1,1 ,N 0,1 时， OPN 45 ,

根据三角形的外角的性质可得： OQN OPN 45 ,

所以此时点P 的横坐标a的范围：a ³ −1,

同理：当P 在第一象限时，满足a £1,

综上：点P 的横坐标a 的范围：−1£ a £1.

【点睛】本题考查的是新定义情境下的坐标与图形，三角形的外角的性质，圆的基本性质，切线的性质，理解题

意，利用数形结合的方法解题是关键．



































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