2023年广东省东莞中学初中部中考数学二模试卷（含解析）

2023年广东省东莞中学初中部中考数学二模试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的算术平方根是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  甲型流感病毒的直径是，将用科学记数法表示是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  下列立体图形中，左视图是圆的为(    )

A.  B.  C.  D.

4.  下列运算中，正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

5.  方程左边配成一个完全平方式后，所得的方程是(    )

A.  B.  C.  D.

6.  将一副三角尺按如图所示的位置摆放在直尺上，则的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

7.  如图，是的直径，，为上两点，若，，则的度数是(    )

A.
B.
C.
D.

8.  在平面直角坐标系中，点在第二象限，则的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

9.  如图，∽，：：，，则的长为(    )

A.
B.
C.
D.

10.  如图，是正内一点，，，，将线段以点为旋转中心逆时针旋转得到线段，下列结论：
点与的距离为；；．
其中正确的结论是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共5小题，共20.0分）

11.  分解因式：______．

12.  分式方程的解是______．

13.  如图：是某几何体的平面展开图，则图中小圆的半径为______ ．

14.  如图，从楼顶处看楼下荷塘处的俯角为，看楼下荷塘处的俯角为，已知楼高为米，则荷塘的宽为______ 米结果保留根号．

15.  如图，在平面直角坐标系中，四边形是正方形，点，的坐标分别为，，且对角线所在的直线经过原点，则正方形为面积为______．

三、解答题（本大题共9小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.  本小题分
计算：．

17.  本小题分
先化简：，再从、、中选一个合适的值代入求值．

18.  本小题分
如图，在中，，．
尺规作图作出的垂直平分线，分别与、交于点、并连结；保留作图痕迹，不写作法
证明：∽．

19.  本小题分
有甲、乙两个不透明的布袋，甲袋中有两个完全相同的小球，分别标有数字和；乙袋中有三个完全相同的小球，分别标有数字，和．
小美从乙袋中随机取出一个小球，则小球上数字为正数的概率是______ ；
小丽先从甲袋中随机取出一个小球，记录下小球上的数字为；再从乙袋中随机取出一个小球，记录下小球上的数字为，借助表格或树状图求的概率．

20.  本小题分
近日，我校正在创建全国的“花香校园”为了进一步美化校园，我校计划购买，两种花卉装点校道，学校负责人到花卉基地调查发现：购买盆种花和盆种花需要元，购买盆种花和盆种花需要元．
，两种花的单价各为多少元？
学校若购买，两种花共盆，设购买的种花盆，总费用为元，请你帮公司设计一种购花方案，使总花费最少，并求出最少费用为多少元？

21.  本小题分
在平面直角坐标系中，过点分别作轴，轴的垂线，与反比例函数的图象分别交于点，，直线与轴相交于点．
当时，求线段，的长．
当时，求的值．

22.  本小题分
如图，在平面直角坐标系中，点、的坐标分别为和，
把矩形沿对角线所在的直线折叠，点落在点处，与轴相交于点．
求证：≌；
求点的坐标；
若点在线段上，且点的坐标为时，连接、试证明四边形是菱形．

23.  本小题分
如图，为的切线，为切点，直线交于点，，过点作的垂线，垂足为点，交于点，延长与交于点，连接，．
求证：直线为的切线；
求证：；
若，，求的值和线段的长．

24.  本小题分
如图，直线与轴，轴分别交于点，，抛物线经过，两点，与轴的另一交点为，点是抛物线上一动点．
求抛物线的解析式；
当点在直线上方时，连接，，，交于点，令的面积为，的面积为，求的最大值；
点是该抛物线对称轴上一动点，是否存在以点，，，为顶点的平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】
根据算术平方根的概念即可求出答案．
本题考查算术平方根，掌握算术平方根的概念是解题的关键．
【解答】
解：，
的算术平方根是，
故选：．  

2.【答案】 

【解析】解：．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

3.【答案】 

【解析】解：、圆锥的左视图是等腰三角形，故A错误，不符合题意；
B、圆柱的左视图是矩形，故 B错误，不符合题意；
C、圆台的左视图是梯形，故C错误，不符合题意；
D、球的左视图是圆，故D正确，符合题意；
故选：．
根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．
本题考查了简单几何体的三视图，熟记常见几何体的三视图是解题关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：、，故选项错误；
B、，故选项错误；
C、，故选项错误；
D、，故选项正确；
故选：．
根据同底数幂的乘法，合并同类项，幂的乘方和积的乘方，完全平方公式分别判断即可．
本题考查了同底数幂的乘法，合并同类项，幂的乘方和积的乘方，完全平方公式，解题的关键是掌握各自的运算法则．
 

5.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
移项后，两边配上一次项系数一半的平方即可得．
【解答】
解：，
，
即，
故选B．  

6.【答案】 

【解析】解：，
．
直尺的上下两边平行，
．
故选：．
由平角等于结合三角板各角的度数，可求出的度数，由直尺的上下两边平行，利用“两直线平行，同位角相等”可得出的度数．
本题考查了平行线的性质，牢记“两直线平行，同位角相等”是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：连接，
是圆的直径，
，
，，
，
，
．
故选：．
连接，由圆周角定理得到，由，得到，因此．
本题考查圆周角定理，解直角三角形，关键是由锐角的正弦求出，由圆周角定理得到．
 

8.【答案】 

【解析】解：点在第二象限，
，
解得，
故选：．
由点在第二象限，知，解之即可．
本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．
 

9.【答案】 

【解析】解：：：，
：：，
∽，
，
或不符合题意，舍去
，
．
故选：．
利用相似三角形的性质求解即可．
本题考查相似三角形的性质，解题的关键是掌握相似三角形的性质．
 

10.【答案】 

【解析】解：连结，如图，
线段以点为旋转中心逆时针旋转得到线段，
，，
为等边三角形，
，所以正确；
为等边三角形，
，，
，即，
在和中
，
≌，
，
在中，，，，
，
，
为等边三角形，
，
，所以正确；
≌，
，





，所以正确．
故选：．
连结，如图，根据旋转的性质得，，可判断为等边三角形，根据等边三角形的性质得；由为等边三角形得到，，则，然后根据“”可证明≌，则在中，由于，，，
则，于是可根据勾股定理的逆定理可得，加上为等边三角形得，所以；利用≌得，则．
本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．也考查了全等三角形的判定与性质和勾股定理的逆定理．
 

11.【答案】 

【解析】解：，
，
．
先提取公因式，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
本题考查了提公因式法，公式法分解因式，关键在于提取公因式后，可以利用平方差公式进行二次分解．
 

12.【答案】 

【解析】

【分析】
观察可得最简公分母是，方程两边同乘最简公分母，把分式方程转化为整式方程求解即可．
【解答】
解：方程的两边同乘，
得，
解得．
检验：当时，．
故原方程的解为：．
故答案为：．
【点评】
本题考查了分式方程的求解方法．注意：解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解；解分式方程一定注意要验根．  

13.【答案】 

【解析】解：由图可知，这个几何体是圆锥，
设图中小圆的半径为，
由题意得：，
解得．
故答案为：．
根据平面展开图可得这个几何体是圆锥，根据小圆的周长等于扇形的弧长建立方程，解方程即可得．
本题考查了圆锥的平面展开图、弧长公式，掌握弧长公式是解题关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：由题意可得，，，，
在中，
，
，
在中，
，
，
，
故答案为：
在两个直角三角形中，利用特殊锐角的三角函数可求出答案．
本题考查直角三角形的边角关系，掌握直角三角形的边角公式是正确解答的前提．
 

15.【答案】 

【解析】解：设正比例函数的解析式为，
，
，
，
正比例函数的解析式为，
点的坐标分别为，
，
点的坐标分别为，
过点作于，过点作于，

四边形是正方形，
，，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
，
，
正方形为面积为．
故答案为：．
设正比例函数的解析式为，根据可得，可得，过点作于，过点作于，证明≌，根据全等三角形的性质得，，则，求出的值，即可求解．
本题考查正方形的性质，待定系数法求函数解析式、全等三角形的判定和性质．作辅助线证明≌是解题的关键．
 

16.【答案】解：

． 

【解析】先计算乘方、立方根、负整数指数幂和绝对值，再计算加减．
此题考查了实数的混合运算能力，关键是能准确理解运算顺序，并能正确地进行计算．
 

17.【答案】解：

，
，，，
解得：，，，
当时，
原式
． 

【解析】利用分式的相应的法则对式子进行化简，再结合分式有意义的条件，选取合适的数代入运算即可．
本题主要考查分式的化简求值，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
 

18.【答案】解：如图；为所求线段．


由得，
，
，
，
，
，
∽． 

【解析】本题考查基本作图、线段的垂直平分线的性质、相似三角形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
利用尺规作出线段的垂直平分线即可；
只要证明即可；
 

19.【答案】 

【解析】解：根据题意得：
小美从乙袋中随机取出一个小球，则小球上数字为正数的概率是；
故答案为：；
根据题意，列出表格如下：

一共有种等可能结果，其中的有种，
的概率为．
直接根据概率公式计算，即可求解；
根据题意，列出表格可得一共有种等可能结果，其中的有种，再由概率公式计算，即可求解．
本题主要考查了利用树状图或列表法求概率，明确题意，准确画出树状图或列出表格是解题的关键．
 

20.【答案】解：设种花的单价为元，种花的单价为元，
依题意得，
解得，
答：种花的单价为元，种花的单价为元；
由题意可得，，
，
随的增大而增大，
，
当时，取得最小值，
此时，，
即当购买种花盆，种花盆时总花费最少，最少费用为元． 

【解析】设种花的单价为元，种花的单价为元，依题意列出二元一次方程组，解方程组即可求解；
根据的结论，由单价乘以数量得到总价，即可列出关系式；根据自变量的范围结合一次函数的性质即可求解．
本题考查了二元一次方程组的应用，一次函数的应用，根据题意列出方程组以及函数关系式是解题的关键．
 

21.【答案】解：当时，反比例函数为，
把代入得，，把代入得，，
，，．
，；
点，
，，，
，，
，
，
解得． 

【解析】分别把，分别代入解析式求得对应的函数值和自变量的值，即可求得，，，从而求得，；
根据，即可得出，解得即可．
本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了反比例函数图象上点的坐标特征，表示出点的坐标是解题的关键．
 

22.【答案】证明：四边形是矩形，
，，
把矩形沿对角线所在直线折叠，点落在点处，
，，
，，
在与中，
，
≌；
解：，
，即，
，
；
证明：如图，

，，
，
，，
，
，
，
四边形为平行四边形，
，，
，
，
四边形为菱形． 

【解析】由四边形是矩形，得到，，根据折叠的性质得到，，根据全等三角形的判定得到≌；
根据勾股定理得到，则可得出答案；
证得，，得出四边形为平行四边形，由勾股定理求出，得出，则可得出结论．
本题是四边形综合题，考查了勾股定理，全等三角形的判定和性质，矩形的性质，折叠的性质，菱形的判定，熟练掌握矩形的性质及菱形的判定方法是解题的关键．
 

23.【答案】证明：连接，如图，
为的切线，
，
，
，
，
即垂直平分，
，
，
而，
，
，即，
，
是半径，
直线为的切线；
证明：，，
∽，
，
，
而，
，
，
；
解：连接，如图，
为直径，
，
垂直平分，
，
，
设，则，
垂直平分，
，
，
，
，
在中，，
，解得，
，，，
在中，，
；
，
，解得，
． 

【解析】连接，如图，先利用切线的性质得，再根据垂径定理得到，即垂直平分，所以，然后证明，从而根据切线的判定定理可得到直线为的切线；
证明∽，利用相似比得到，然后利用，即可得到结论；
连接，如图，先证明为的中位线得到，设，则，再根据圆周角定理得到，则，利用正切定义得到，接着在中利用正切定义得到，解得，则，，，然后利用余弦定义求出的值；再利用求出，从而可得到的长．
本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；在应用相似三角形的性质时只有利用相似比计算相应线段的长．也考查了切线的判定与性质．
 

24.【答案】解：令，得，
令，得，
，，
抛物线经过两点，
，
解得：，
；

如图，过作轴交于，过作轴交于，

令，
解得：，，
，
，
∽，
：：：，
设，
，
，
，
，
，
：：：；
当时，：的最大值是；
的坐标为或或 

【解析】解：见答案；
见答案；
，
对称轴为直线，
设，，
若四边形为平行四边形，
则，
，
解得：，，
的坐标为；
若四边形为平行四边形，
则，
，
解得：，，
的坐标为；
若四边形为平行四边形，
则，
，
解得：，，
的坐标为；
综上，的坐标为或或

根据一次函数得到，代入，于是得到结论；
令，解方程得到，，求得，过作轴于，过作轴交于于，根据相似三角形的性质即可得到结论；
根据为边和为对角线，由平行四边形的性质即可得到点的坐标．
本题考查了二次函数综合题，涉及待定系数法求函数的解析式，相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质、方程思想及分类讨论思想，以为边或对角线分类讨论是解决此题的关键．