2022-2023学年辽宁省鞍山市岫岩县八年级（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年辽宁省鞍山市岫岩县八年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共20.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  要使式子在实数范围内有意义，则的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列二次根式，不能与合并的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  在下列以线段、、的长为三边的三角形中，不能构成直角三角形的是(    )

A. ，， B. ，，
C. ：：：： D. ，，

4.  下列计算正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  下列各命题都成立，而它们的逆命题也成立的是(    )

A. 全等三角形的面积相等 B. 对顶角相等
C. 如果，那么 D. 等腰三角形的两个底角相等

6.  放学以后，小红和小颖从学校分手，分别沿东南方向和西南方向回家，若小红和小颖行走的速度都是米分，小红用分钟到家，小颖分钟到家，小红和小颖家的直线距离为(    )

A. 米 B. 米 C. 米 D. 不能确定

7.  如图，下列条件不能判定四边形是平行四边形的是(    )

A. ，
B. ，
C. ，
D. ，

8.  如图，在中，点，分别是边，的中点，点是线段上的一点．连接，，，且，，则的长是(    )
 

A.  B.  C.  D.

9.  如图，在平面直角坐标系中，将长方形沿直线折叠点在边上，折叠后顶点恰好落在边上的点处若点的坐标为则点的坐标为(    )

A.  B.  C.  D.

10.  在正方形中，对角线、交于点，的平分线交于点，交于点过点作于点，交于点下列结论：
；
四边形是菱形；
；
若，则．
其中正确的个数有(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

11.  计算：______．

12.  已知为正整数，也是正整数，那么满足条件的最小值是______．

13.  如图，一艘轮船位于灯塔的北偏东方向，与灯塔的距离为海里的处，轮船沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔的南偏东方向上的处，则此时轮船所在位置处于灯塔之间的距离为______．

14.  如图，在▱中，对角线，相交于点，的周长比的周长大，若，则的长是______ ．

15.   已知菱形的边长为，，如果点是菱形内一点，且，那么的长为______．

16.  一组正方形按如图所示的方式放置，其中顶点在轴上，顶点，，，，，，在轴上，已知正方形的边长为，，，则正方形的边长是______ ．
 

三、解答题（本大题共9小题，共82.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
计算：
；
．

18.  本小题分
如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是，每个小格的顶点叫做格点，小明以格点为顶点画出了．
小华看了看说，是直角三角形，你同意他的观点吗？说明理由；
在中，求边上高的长．

19.  本小题分
已知：如图，在▱中，点在上，点在上，且．
求证：．

20.  本小题分
已知，．
试求的值；
试求的值．

21.  本小题分
海滨公园是珠海市市民放风筝的最佳场所，某校八年级班的小华和小轩学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度，他们进行了如下操作：
测得水平距离的长为米；
根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为米；
牵线放风筝的小明的身高为米．
求风筝的垂直高度；
如果小明想风筝沿方向下降米，则他应该往回收线多少米？

22.  本小题分
如图，在四边形中，对角线，相交于点，，，且．
求证：四边形是矩形；
若：：，，求的度数．

23.  本小题分
如图，在四边形中，已知，，，，．
求证：是直角三角形；
求四边形的面积．

24.  本小题分
如图，在矩形中，点是对角线的中点，过点作交于点，交于，连接，．
求证：四边形是菱形；
若，，求四边形的周长和面积．

25.  本小题分
如图，四边形为正方形，为对角线上一点，连接，．

求证：；
如图，过点作，交边于点，以，为邻边作矩形，连接．
求证：矩形是正方形；
若正方形的边长为，，求正方形的边长．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查二次根式有意义的条件，掌握被开方数为非负数是解题的关键．
根据被开方数大于等于列式计算即可得解．
【解答】
解：由题意得，，
解得．
故选：．  

2.【答案】 

【解析】解：、，能与合并；
B、，能与合并；
C、，不能与合并；
D、，能与合并，
故选：．
根据二次根式的性质把各个二次根式化简，根据同类二次根式的定义判断即可．
本题考查的是同类二次根式的定义，即：二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式．
 

3.【答案】 

【解析】解：，故选项A中的三条线段不能构成直角三角形，故选项A符合题意；
，故选项B中的三条线段能构成直角三角形，故选项B不符合题意；
，故选项C中的三条线段能构成直角三角形，故选项C不符合题意；
，故选项D中的三条线段能构成直角三角形，故选项D不符合题意；
故选：．
根据勾股定理的逆定理可以判断各个选项中的三条线段能否构成直角三角形，从而可以判断哪个选项符合题意．
本题考查勾股定理的逆定理，解答本题的关键是明确题题意，会用勾股定理的逆定理判断三角形的形状．
 

4.【答案】 

【解析】

【分析】
利用二次根式的加减法的法则，二次根式的除法的法则及化简的的法则对各项进行运算即可．
本题主要考查二次根式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
【解答】
解：、，故A符合题意；
B、与不属于同类二次根式，不能运算，故B不符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、，故D不符合题意；
故选：．  

5.【答案】 

【解析】解：、全等三角形的面积相等，逆命题是假命题，本选项不符合题意．
B、对顶角相等，逆命题是假命题，本选项不符合题意．
C、如果，那么，逆命题是假命题，本选项不符合题意．
D、等腰三角形的两个底角相等，逆命题是真命题．
故选：．
根据全等三角形的性质，对顶角的定义，等腰三角形的判定和性质，绝对值的性质等知识，一一判断即可
本题看成命题与定理，全等三角形的性质，对顶角的定义，等腰三角形的判定和性质，绝对值的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
 

6.【答案】 

【解析】解：根据题意得：如图：
．
．
在直角中，米．
故选C．
两人的方向分别是东南方向和西南方向，因而两人的家所在点与学校的连线正好互相垂直，根据勾股定理即可求解．
本题考查正确运用勾股定理的应用，解题时从实际问题中整理出直角三角形是本题的关键．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：、根据，，可能得出四边形可能是等腰梯形，不一定能推出四边形是平行四边形，
故本选项符合题意；
B、，，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形，得出四边形是平行四边形，
故本选项不符合题意；
C、，，四边形内角和为，
，，
，，
四边形是平行四边形，
故本选项不符合题意；
D、，，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可以判定四边形是平行四边形，
故本选项不符合题意；
故选：．
根据平行四边形的判定方法逐个判断即可解决问题．
本题考查平行四边形的判定，掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】本题考查了三角形的中位线定理，直角三角形斜边上的中线，熟练掌握三角形中位线定理是解题的关键．
根据三角形中位线定理求得长度，再利用直角三角形斜边上的中线求得长度，即可得到结论．
解：点，分别是边，的中点，
是的中位线，
，
，
，，
，
，
故选：．
 

9.【答案】 

【解析】解：四边形是长方形，点的坐标为，
，，
由折叠的性质可得，，
，
，
设，则，
在中，由勾股定理得，
，
解得，
，
，
故选：．
先根据点的坐标得到，，再由折叠的性质得到，，利用勾股定理求出，则，设，则，由勾股定理得，解方程即可得到答案．
本题主要考查了勾股定理，折叠的性质，坐标与图形，灵活运用所学知识是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：平分，，，
，
四边形是正方形，
，
，
设，则，
，故正确；
在和中，
，
≌，
，，
，
，
，
，
四边形是菱形，故正确；
由知，，，
，
，故正确；
，，
，
四边形是菱形，
，
，
，
，
≌，
，故正确．
故选：．
设，则，可算出，故正确；先证明≌，再由得，即，四边形是菱形，故正确；由，得，可求出，故正确；由四边形是菱形证明≌，即可得，故正确．
此题考查了正方形的性质、角平分线的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质以及菱形的判定与性质．此题综合性较强，难度较大．设出未知数、利用好正方形的性质是解决此题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：．
故答案为：．
根据二次根式乘方的意义与二次根式乘法的运算法则，即可求得答案．
此题考查了二次根式乘法与乘方运算．此题比较简单，注意运算符号的确定．
 

12.【答案】 

【解析】解：为正整数，也是正整数，
则是一个完全平方数，
又，
则是一个完全平方数，
所以的最小值是．
故答案为：．
由为正整数，也是正整数，知是一个完全平方数，再将分解质因数，从而得出结果．
本题主要考查了二次根式的定义，涉及的知识点：如果是正整数，那么是一个完全平方数．
 

13.【答案】海里 

【解析】解：由题意可得：，海里，，
故AB海里，
则此时轮船所在位置处与灯塔之间的距离为：海里；
故答案为：海里．
根据题意得出：，海里，，再利用勾股定理得出的长，求出答案．
此题主要考查了勾股定理的应用以及方向角，正确应用勾股定理是解题关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：在▱中，，
的周长比的周长大，
，
，




，
故答案为：．
根据平行四边形对边相等可得，再利用周长之差可得，结合，可得结果．
此题主要考查了平行四边形的性质，掌握平行四边形对角线互相平分是解题的关键．
 

15.【答案】或 

【解析】

【分析】
根据题意得，应分与在的同侧与异侧两种情况进行讨论．
本题注意到应分两种情况讨论，并且注意两种情况都存在关系，这是解决本题的关键．
【解答】
解：当与在的异侧时：连接交于，
，，
到线段两端距离相等的点在垂直平分线上，
在直角中，，
，，
，
；
当与在的同侧时：连接并延长交于点
；
当与重合时，，与矛盾，舍去．
的长为或．
故答案为或．  

16.【答案】 

【解析】解：，，
，
，
，
，
，
，
正方形的边长为，
同理可求正方形的边长为，
正方形的边长为，
正方形的边长是，
故答案为：．
利用正方形的性质，结合含度的直角三角形的性质以及勾股定理得出正方形的边长，进而得出变化规律即可得出答案．
本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，含度的直角三角形的性质，得出正方形的边长变化规律是解题关键．
 

17.【答案】解：，
，
，
．
，
，
，
． 

【解析】根据二次根式的性质化简，然后合并同类二次根式即可；
根据二次根式的乘除法法则计算，然后合并同类二次根式即可．
本题考查了二次根式的混合运算，熟练运用二次根式的运算法则是解题关键．
 

18.【答案】解：我同意他的观点，
理由：由勾股定理得：，，，
，
是直角三角形；
由知：是直角三角形，，，
设边上高的长为，
的面积为：，
，
，
即边上高的长为． 

【解析】先结合网格特点，利用勾股定理分别求出，，的长，再根据勾股定理的逆定理即可说明理由；
利用直角三角形的面积公式计算即可．
本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解题关键．
 

19.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，
，
又，
四边形是平行四边形，
． 

【解析】根据平行四边形的性质和判定，可以得到四边形是平行四边形，然后即可得到．
本题考查平行四边形的性质和判定，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

20.【答案】解：，
将，代入上式得：
，
；
，
将，代入上式得：
，
． 

【解析】转化，然后将，的数值代入即可；
转化，然后将，的数值代入即可．
本题考查了二次根式的计算，相关知识点有：完全平方公式，分式的化简等，代数式的转化是解题快捷的关键．
 

21.【答案】解：在中，
由勾股定理得，，
所以，负值舍去，
所以，米，
答：风筝的高度为米；
由题意得，米，
米，
米，
米，
他应该往回收线米． 

【解析】利用勾股定理求出的长，再加上的长度，即可求出的高度；
根据勾股定理即可得到结论．
本题考查了勾股定理的应用，熟悉勾股定理，能从实际问题中抽象出勾股定理是解题的关键．
 

22.【答案】证明：，，
四边形是平行四边形，
，
，
，
四边形是矩形；

解：，：：，
，
，
，
四边形是矩形，
，
，
． 

【解析】根据平行四边形的判定得出四边形是平行四边形，求出，根据矩形的判定得出即可；
求出的度数，根据三角形内角和定理求出，根据矩形的性质得出，求出，即可求出答案．
本题考查了平行四边形的性质和判定，矩形的性质和判定的应用，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键，注意：矩形的对角线相等，有一个角是直角的平行四边形是矩形．
 

23.【答案】证明：在中，，，，
，
在中，，，，
，即，
，即是直角三角形；
解：在中，，，，
，
的面积为，
又的面积为，
四边形的面积为：． 

【解析】根据直角三角形的性质得到，根据跟勾股定理的逆定理即可得到结论；
根据勾股定理得到，根据三角形的面积公式即可得到结论．
本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，三角形的面积，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
 

24.【答案】证明：点是的中点，，
是的垂直平分线，
，，，
四边形是矩形，
，
．
在和中，
，
≌，
，
，
四边形为菱形．

解：四边形为菱形，
、相互垂直且平分，
．
，
，
菱形的面积，
菱形的周长． 

【解析】根据线段垂直平分线的性质，可得，，，然后由四边形是矩形，再证明≌，则可得，继而证得结论；
由勾股定理可求的长，由直角三角形的性质可求解．
本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，菱形的判定，证得≌是关键．
 

25.【答案】证明：四边形为正方形，
，，
在和中，
，
≌，
；
证明：如图，作于，于，
得矩形，

，
点是正方形对角线上的点，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
四边形是矩形，
矩形是正方形；
解：正方形和正方形，
，，
，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
，
，
．
，
，
连接，

，
．
正方形的边长为． 

【解析】根据正方形的性质证明≌，即可解决问题；
作于，于，得到，然后证得，得到≌，则有，根据正方形的判定即可证得矩形是正方形；
证明≌，可得，，证明，连接，根据勾股定理即可解决问题．
此题主要考查了正方形的判定与性质，矩形的性质，三角形的全等的性质和判定，勾股定理，解本题的关键是正确作出辅助线，证得≌．