山东师范大学附属中学2023届高三下学期3月月考数学试卷（含答案）

山东师范大学附属中学2023届高三下学期3月月考数学试卷

学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、选择题

1、已知集合，，则(   )

A. B. C. D.

2、复数z满足（i为虚数单位，则对应的点所在象限为(   )

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

3、在中，，，若点D满足，则(   )

A.+ B.+ C.+ D.+

4、如图是一款多功能粉碎机的实物图，它的进物仓可看作正四棱台，已知该四棱台的上底面边长为，下底面边长为，侧棱长为，则该款粉碎机进物仓的容积为(   )

A. B. C. D.

5、从6个黄色球和4个蓝色球中任取4个，则至少有两个蓝色球的取法种数是(   )

A.90 B.120 C.114 D.115

6、已知函数在区间上单调，且对任意实数x均有成立，则(   )

A. B. C. D.

7、设，，，则a，b，c的大小关系是(   )

A. B. C. D.

8、函数在上的最大值和最小值分别是(   )

A.13， B.4，-11 C.13，-11 D.13，最小值不确定

二、多项选择题

9、如图为一正方体的平面展开图，在这个正方体中，有下列四个命题：

①；②AC与DG成角；③DG与MN成异面直线且夹角为.     

其中正确的是(   )

A.① B.② C.③ D. ①②③

10、已知，，则(   )

A.  B.曲线在处的切线斜率为1

C.在上单调递增 D.的最小值为

11、已知点，O为坐标原点，A，B为曲线上的两点，F为其焦点.下列说法正确的是(   )

A.点F的坐标为

B.周长的最小值为

C.若P为线段AB的中点，则直线AB的斜率为-2

D.若直线AB过点F，且是与等比中项，则

12、已知函数及其导函数的定义域都为R，对于任意的x,，都有成立，则下列说法正确的是(   )

A.

B.若，则

C.为偶函数

D.若，则

三、填空题

13、的展开式中的系数为________（用数字作答）

14、已知直线与圆相切，则满足条件的的个数是____个.

15、若直线与曲线相切，则切点的坐标为_____________.

16、已知,分别为椭圆的左，右焦点，P,Q是椭圆上两点，线段PQ经过点，且，则椭圆C的离心率为__________.

四、解答题

17、设正项数列的前n项之和，数列的前n项之积，且.

（1）求证：为等差数列，并分别求、的通项公式；

（2）设数列的前n项和为，不等式对任意正整数n恒成立，求正实数的取值范围.

18、在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，.

(1)求角B的大小；

(2)若，求的面积.

19、如图，在直角梯形ABCD中，，平面外一点在平内的射影恰在边的中点上，.

（1）求证：平面平面；

（2）若在线段上，且平面，求点到平面的距离.

20、2021年6月2日巴蜀中学成功地举办了一年一度的大型学生社团文化节，吸引了众多学生.巴蜀中学目前共有社团近40个，由高一和高二学生组成，参加社团的学生共有四百人左右.已知巴蜀中学高一和高二的所有学生中男生与女生人数比为6：4，为了解学生参加社团活动的情况，按性别采用分层抽样的方法抽取部分学生，统计得到如下等高累积型条形图：

（1）求巴蜀中学参加社团的学生中，任选1人是男生的概率；

（2）若抽取了100名学生，完成下列列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否认为巴蜀中学高一和高二学生的性别与参加学生社团有关联？请说明理由.

附：，

临界值表：

21、设双曲线的左､右焦点分别为，离心率为,P是双曲线C上的一点，且,的面积为4.

(1)求双曲线C的方程；

(2),分别是双曲线C的左､右顶点，是双曲线上异于的一个动点，直线,分别与直线交于两点，问以为直径的圆是否过定点？若是，求出此定点；若不是，请说明理由.

22、已知函数.

（1）当时，方程在区间内有唯一实数解，求实数的取值范围；

（2）对于区间上的任意不相等的实数、，都有成立，求a的取值范围.

参考答案

1、答案：C

解析：因为，

所以，，所以.

故选：C.

2、答案：A

解析：由于，

 在复平面中对应的点为：，在第一象限

故选：A

3、答案：C

解析：，，，

，

故选：C.

4、答案：C

解析：画出满足题意的正四棱台，如图所示，

则，.过点D作于点E，

则，

所以该正四棱台的体积为.

故选：C

5、答案：D

解析：分三类：恰有两个蓝色球，有种；

恰有三个蓝色球，有种；

恰有四个蓝色球，有种.

根据分类加法计数原理可得，至少有两个蓝色球的取法种数是.

故选：D.

6、答案：D

解析：由题意知，函数的最小正周期为，

因为函数在上单调，且恒成立，

所以，即，解得，

又是函数的最大值点，是函数的最小值点，

所以，又 ，解得.

故选：D.

7、答案：C

解析：由题意，，，

，

由，则，而在上递增，

，故，即，

.

故选：C

8、答案：C

解析：令，解得，

分别计算，，，

又函数在和单调递增，在单调递减；

所以最大值为13，最小值-11，

故选：C.

9、答案：BC

解析：将正方体纸盒展开图还原成正方体，如图知AC与EB不平行，故①错误；连接AF、FC，因为为正三角形，且，则AC与DG成角，故②正确；

同理DG与MN成角，由图可知DG与MN成异面直线，故③正确.

故选：BC

10、答案：BCD

解析：选项A：因为，所以，故不正确；

选项B：曲线在处的切线斜率为，故正确；

选项C：令，解得，所以的单调增区间为，所以在上单调递增，故正确；

选项D：因为在上单调递减，在上单调递增，所以有最小值，故正确.

故选：BCD.

11、答案：BD

解析：由曲线，则焦点为，故A错误；

由曲线，可知其准线为，设A到准线的距离为d，则，

所以周长为，当时，取得最小值，周长取得的最小值为，故B正确；

若P为线段AB的中点，设，则，,，

所以，所以，故C错误；

若直线AB过点F，且是与等比中项，则，

设，则，，

，

设，代入，得，所以，

，即，，故D正确.

故选：BD.

12、答案：BD

解析：令，则，解得或，故A错误；

令，，所以，

令，，则，解得，故B正确；

当时，令，则有，

所以，，

当，令，则有，

所以，所以，所以为奇函数，

综上，为奇函数，故C错误；

令，则，

所以，故D正确.

故选：BD.

13、答案：0

解析：多项式，

设的通项公式为，

令，则，与相乘可得项

令，则，与xy相乘可得项

令，则.与相乘可得项

的展开式中的系数为：，

故答案为：0.

14、答案：3

解析：由已知直线，

则原点到直线l的距离为，

由直线l与圆相切，

则圆心到直线l的距离为2，

满足条件的直线l即为圆和圆的公切线，

圆和圆外切，

这两个圆有两条外公切线和一条内公切线，

满足条件的直线l有3条.

故答案为：3.

15、答案：

解析：设切点为，

，，

又，，解得，

切点坐标为.

故答案为：

16、答案：

解析：根据题意，不妨设，那么，

因为，所以，

因为，得，

所以，则，

因为，则，即，

所以，即，解得.

故答案为：.

17、答案： (1)

(2)

解析：（1）由题意知：当时，，代入得：，

所以

由得：，

所以是以2为首项，1为公差的等差数列，

所以，，

当时，

当时，也符号上式，所以

（2）由（1）得：

所以

显然单调递增，所以

由题意得：，即，

又，所以的取值范围为.

18、答案： (1)

(2)

解析：（1）因为，且

由正弦定理得，

在中，

因为中，，

所以，

即.

又，

所以，

（2）由正弦定理得

C为锐角

∴

.

19、答案： (1)见解析

(2)

解析：（1）P在平面ABCD内的射影Q恰在边AD上，

平面ABCD，

平面ABCD，，

Q为线段AD中点，

，，平面PBQ，平面PAD，

平面平面PAD.

（2）连接AC与BQ交于点N，则N为AC中点，

点M到平面PAB的距离是点C到平面PAB的距离的，

在三棱锥中，高，底面积为，

三棱锥的体积V=，

又中，，，

的面积为，

设点M到平面PAB的距离为d，

由，得，

解得，

点M到平面PAB的距离为.

20、答案： (1)

(2)成立，即性别与参加社团无关

解析：（1）设高一和高二的所有学生中任选一人是男生、是女生分别为事件A、

设高一和高二的所有学生中任选一人参加社团为事件B

则，

则.

（2）列联表如下：

零假设为：性别与参加社团独立，即性别与参加社团无关.

根据列联表中的数据，经计算得到：，

依据小概率值的独立性检验，没有充分的证据推断不成立，

因此可以认为成立，即性别与参加社团无关.

21、答案： (1)

(2)和

解析：（1）离心率，所以①，由于是直角三角形，

且，②，

由于，

所以③，

由①②③解得，

故双曲线C的方程为：.

（2）设，,

则直线的方程为：，令，

解得，即，

直线的方程为：，令，

解得，即.

设以为直径的圆上任意一点为，故有：，

代入坐标，，

则以为直径的圆的方程为，

注意到：上式对任意的点恒成立，

由对称性可令，则，

由于T在双曲线C上，则，即，代入上式，解得，

所以，以为直径的圆必过定点和.

22、答案： (1)

(2)

解析：（1）由，得.

设,

则问题等价于直线与函数的图象在上有唯一交点 .

,

时，，函数单调递增；时，，函数单调递减.

，且时，,

.

（2）不妨设.

当时，，

可化为，

.

设，即，且，

在上单调递减，恒成立，

即在上恒成立.

令，，，

.

令,则.

在上单调递增，，

.