2022-2023学年上海市回民中学高二下学期期中数学试题含解析

2022-2023学年上海市回民中学高二下学期期中数学试题

一、填空题

1．以点为圆心，且经过原点的圆的方程为________.

【答案】

【分析】设圆的方程为，再把原点坐标代入求出可得答案.

【详解】由题设圆的标准方程为，

因为原点在圆上，所以，

所以圆的标准方程为.

故答案为：.

2．抛物线的焦点坐标为________.

【答案】

【分析】先确定焦点位置，然后求出即可得结果.

【详解】解：由抛物线方程知，抛物线的焦点在上，

由，得，

所以焦点坐标为.

故答案为：.

【点睛】本题考查已知抛物线，求焦点坐标，是基础题.

3．直线与直线间的距离为__________

【答案】/

【分析】利用两条直线平行的条件及两条平行直线间的距离公式即可求解.

【详解】由直线，得，

所以，

由直线，得，

所以，

所以.

所以直线与直线平行，

所以直线与直线间的距离为

.

故答案为：.

4．设为常数，若点是双曲线的一个焦点，则___________

【答案】16

【分析】根据双曲线的焦点坐标，判断出双曲线焦点所在的坐标轴，再根据列方程，求得的值.

【详解】双曲线的焦点坐标为，故焦点在轴上，由得.

【点睛】本小题主要考查根据双曲线的焦点坐标求双曲线的方程，属于基础题.

5．设直线与圆相交所得弦长为，则_____

【答案】0

【分析】由圆的弦长公式可解.

【详解】依题意，圆心到直线的距离，

由圆的弦长公式：，可得，

解得.

故答案为：0

6．与双曲线有公共渐近线且过点的双曲线的方程为________

【答案】

【分析】设所求双曲线的方程为，将点的坐标代入所求双曲线的方程，求出的值，即可得出所求双曲线的方程.

【详解】设所求双曲线的方程为，

将点的坐标代入双曲线的方程可得，

故所求双曲线的方程为，即.

故答案为：.

7．曲线在点处的切线方程是______.

【答案】x-y-2=0

【详解】解：因为曲线

在点（1,－1）处的切线方程是由点斜式可知为x-y-2=0

8．已知点在抛物线上，那么点到点的距离与点到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点的坐标为_________

【答案】

【分析】作出图形，利用图形可知，当与抛物线的准线垂直时，点到点的距离与点到抛物线焦点距离之和取得最小值，联立直线与抛物线的方程，可得出点的坐标.

【详解】抛物线的焦点为，准线为，

过点作，垂足为点，如下图所示：

由抛物线的定义，可得，则，

当、、三点共线，即当时，取最小值，

此时直线的方程为，联立，解得，即点.

因此，点到点的距离与点到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点的坐标为.

故答案为：.

9．已知两点，，给出下列曲线方程：

①；②；③；④.

则在曲线存在点满足的所有曲线方程的序号是____

【答案】②④

【分析】所求曲线上存在点满足等价于曲线与线段的垂直平分线有公共点，利用已知条件求出线段的垂直平分线方程，结合直线与曲线的位置关系即可求解.

【详解】由，得,线段的中点坐标为，

所以线段的垂直平分线方程为，即.

对于①，显然①中的直线与直线平行，不符合题意.

对于②，因为圆心为到直线的距离为，所以直线与相交，符合题意.

对于③，由，消去，得，所以，故直线与椭圆相离，不符合题意，

对于④，由，得双曲线的渐近线方程为，所以直线与双曲线的渐近线平行，所以直线与双曲线有一个交点，符合题意.

故答案为：②④.

10．已知是椭圆的两个焦点，点在上，且，延长交于点，若，则椭圆的离心率__________.

【答案】

【分析】根据题意，由椭圆的定义结合条件表示出，然后在中由勾股定理可得的关系，结合离心率的公式即可得到结果.

【详解】

根据题意，不妨设椭圆方程为，设，则，

因为，且，所以为等腰直角三角形，

故，故，

在中，，即，

化简可得，即，且，

所以

故答案为:

二、单选题

11．设圆C与圆外切，与直线y=0相切，则C的圆心轨迹为（ ）

A．抛物线 B．双曲线 C．椭圆 D．圆

【答案】A

【分析】由动圆与定圆相外切可得两圆圆心距与半径的关系，然后利用圆与直线相切可得圆心到直线的距离与半径的关系，借助等量关系可得动点满足的条件，即可的动点的轨迹．

【详解】设C的坐标为（x，y），圆C的半径为r，

圆的圆心为A，

∵圆C与圆外切，

与直线y=0相切，∴|CA|=r+1，C到直线y=0的距离d=r

∴|CA|=d+1，即动点C定点A的距离等于到定直线y=﹣1的距离

由抛物线的定义知：C的轨迹为抛物线．

故选：A.

点评：本题考查了圆的切线，两圆的位置关系及抛物线的定义，动点的轨迹的求法，是个基础题．

12．若曲线C 的方程为：，则该曲线（    ）

A．曲线关于轴对称

B．曲线的顶点坐标为

C．曲线位于直线的左侧

D．曲线过坐标原点

【答案】C

【分析】根据方程的性质，方程的转化，求导探究单调性，即可逐一进行判断.

【详解】因，

则，代入不等于代入，所以不关于y轴对称，故A错；

又，得，C正确；

将代入不成立，故D错误；

又，

若，

，

则在上单调递减，

当时，，则，

若，

，

则在上单调递增，

又时，，

故此时，

因此的顶点只有一个，且为，B错.

故选：C

13．椭圆的一个焦点坐标为，则实数（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】将椭圆的方程化为标准方程，结合该椭圆的焦点坐标得出关于实数的方程，解出即可.

【详解】椭圆的标准方程为，由于该椭圆的一个焦点坐标为，则，

解得.

故选：D.

【点睛】本题考查利用椭圆的焦点坐标求参数，解题时要将椭圆方程化为标准方程，同时要注意确定椭圆的焦点位置，考查运算求解能力，属于基础题.

三、解答题

14．已知直线经过两条直线与的交点且与直线的夹角为，求直线的方程.

【答案】或

【分析】利用联立两条直线方程得出交点坐标，再利用两条直线的夹角公式及直线的点斜式方程即可求解.

【详解】由，得，

所以，

设直线的斜率为，则

解得，

所以直线的方程为，即，

当直线的斜率不存在时，直线的方程为，也满足题意，

所以直线的方程为或.

15．如图是某圆拱桥的一孔圆弧拱的示意图，该圆弧拱跨度米，每隔5米有一个垂直地面的支柱，中间的支柱米.

(1)建立适当的坐标系求该圆拱桥所在曲线的方程;

(2)求其它支柱的高度（精确到0.01米）．

【答案】(1)

(2)3.11米．

【分析】（1）建立如图所示的直角坐标系，设圆拱所在圆的方程为，进而待定系数法求解即可；

（2）点的横坐标代入这个圆的方程并解方程即可得答案.

【详解】（1）解：建立如图所示的坐标系，

设该圆拱所在圆的方程为，

由于圆心在轴上，所以，那么方程即为.

因为都在圆上，

所以它们的坐标都是这个圆的方程的解，

于是有方程组，解得                                             

所以，这个圆的方程是．

（2）解：由题知点的横坐标为.

所以，把点的横坐标代入这个圆的方程，得，

所以，

因为的纵坐标，故应取正值，

所以，（米）．         

所以，支柱的高度约为3.11米.

16．在平面直角坐标系xOy中，点P到两点，的距离之和等于4，设点P的轨迹为C．

（Ⅰ）写出C的方程；

（Ⅱ）设直线y=kx+1与C交于A，B两点．k为何值时？此时的值是多少？

【答案】（Ⅰ）曲线C的方程为．（Ⅱ）时，．

【分析】（Ⅰ）设P（x，y），由椭圆定义可知，点P的轨迹C是以为焦点，长半轴为2的椭圆．它的短半轴，

故曲线C的方程为．

（Ⅱ）设，其坐标满足

消去y并整理得，

故．

，即．

而，

于是．

所以时，，故．

当时，，．

，

而

，

所以．

【详解】请在此输入详解！

17．已知点分别为双曲线Γ：的左、右焦点，直线与Γ有两个不同的交点A，B．

(1)当时，求到 l 的距离；

(2)若 O 为原点，直线 l 与 Γ 的两条渐近线在一、二象限的交点分别为 C，D，证明；当的面积最小时，直线 CD 平行于x轴；

(3)设 P 为 x 轴上一点，是否存在实数 ，使得是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出 k 的值及点 P 的坐标；若不存在，说明理由．

【答案】(1)；

(2)证明见解析；

(3)存在，，.

【分析】（1）由题可得焦点坐标，可得直线方程，然后利用点到直线的距离即得；

（2）求得两渐近线方程，联立方程可得，进而即得；

（3）假设存在实数，使得是以点P为直角顶点的等腰直角三角形，联立直线与椭圆方程利用韦达定理，结合条件可得AB的中点，再由，则，求解即可．

【详解】（1）由双曲线Γ：的左焦点，右焦点，

当时， ，

∴，

∴直线，

故到l的距离；

（2）由双曲线Γ：得两渐近线的方程为，

∵直线l与Γ的两条渐近线在一、二象限的交点分别为C，D，

∴，

由得交点C的横坐标为，

由得交点D的横坐标为，

∴，当时取等号，

所以当的面积最小时，直线CD平行于x轴；

（3）假设存在实数，使得是以点P为直角顶点的等腰直角三角形，

设，

由，消去y得，

∴且，

解得且，

，

AB的中点，

所以AB的垂直平分线方程为，

令，则，

又，则，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴，

解得，又，

故，点，

即存在实数，使得是以点P为直角顶点的等腰直角三角形，此时．