2022-2023学年上海市交通大学附属中学高二下学期期中数学试题含解析

2022-2023学年上海市交通大学附属中学高二下学期期中数学试题

一、填空题

1．已知集合，，则___________.

【答案】

【分析】解一元二次不等式化简集合A，再解含绝对值符号的不等式化简集合B，再利用交集的定义求解作答.

【详解】解不等式，得，解得，即，

解不等式，得，解得，即,

所以.

故答案为：

2．已知，，则向量在向量方向上的数量投影为___________.

【答案】/0.6

【分析】利用向量的数量积转化求解向量，在方向上的数量投影即可．

【详解】解：设向量与的夹角是，则向量在方向上的数量投影为：．

故答案为：

3．已知直线，直线，若，则_____________．

【答案】

【分析】根据两直线平行的充要条件求解．

【详解】因为，所以，解得．

故答案为：

4．已知复数满足（是虚数单位），则___________.

【答案】5

【分析】根据复数的除法运算和共轭复数、模长的定义求解即可.

【详解】由可得，

所以，，

故答案为：5

5．函数的最小值是______．

【答案】

【分析】将函数化为，注意运用基本不等式和二次函数的最值，同时注意最小值取得时，的取值要一致，即可得到所求最小值．

【详解】解：函数

．

当且仅当，即有，取得等号．

则函数的最小值为．

故答案为：．

【点睛】本题考查基本不等式的运用：求最值，注意求最值的条件：一正二定三等，属于中档题和易错题．

6．母线长为10的圆锥的侧面展开图的圆心角等于，则该圆锥的体积为___________.

【答案】

【分析】求出侧面展开图的弧长和底面圆半径，再求出圆锥的高，由此计算圆锥的体积．

【详解】因为母线长为10的圆锥的侧面展开图的圆心角等于，

所以侧面展开图的弧长为：.

设该圆锥的底面圆的半径为，

所以，解得，

所以该圆锥的高，

所以该圆锥的体积.

故答案为：.

7．直线过点，当原点到直线的距离最大时，直线的方程为___________.

【答案】

【分析】作图分析可知，当原点到直线的距离最大时，，求出的斜率，根据点斜式即可求出直线的方程.

【详解】

由题意知，，，所以直线的斜率，

所以直线的方程为：，即.

故答案为：.

8．设常数使方程在闭区间上恰有三个不同的解，则实数的取值为___________.

【答案】

【分析】利用辅助角公式得到方程的解的个数即为在上直线与三角函数图象的交点的个数，画出图象，数形结合得到当且仅当时，直线与三角函数图象恰有三个交点，得到答案.

【详解】∵，

∴方程的解即为在上直线与三角函数图象的交点的横坐标，

∵，

∴，

令，

画出函数在上的图象，如下：

由图象可知当且仅当时，直线与三角函数图象恰有三个交点.

故答案为：

9．设随机变量，若，则的最大值为___________.

【答案】3

【分析】根据二项分布的数学期望得的范围，再根据方差运算公式结合基本不等式求得的最大值.

【详解】随机变量，由可得，所以

又

当且仅当时，成立，故的最大值为.

故答案为：.

10．研究人员开展甲、乙两种药物的临床抗药性研究实验，事件为“对药物甲产生抗药性”，事件为“对药物乙产生抗药性”，事件为“对甲、乙两种药物均不产生抗药性”．若，，，则______．

【答案】/0.375

【分析】求出，结合求出，进而利用求条件概率公式求出答案.

【详解】由题意可知，则．

又，

所以，

则．

故答案为：

11．已知椭圆，C的上顶点为A，两个焦点为，，离心率为．过且垂直于的直线与C交于D，E两点，，则的周长是________________．

【答案】13

【分析】利用离心率得到椭圆的方程为，根据离心率得到直线的斜率，进而利用直线的垂直关系得到直线的斜率，写出直线的方程：，代入椭圆方程，整理化简得到：，利用弦长公式求得，得，根据对称性将的周长转化为的周长，利用椭圆的定义得到周长为.

【详解】∵椭圆的离心率为，∴，∴，∴椭圆的方程为，不妨设左焦点为，右焦点为，如图所示，∵，∴，∴为正三角形，∵过且垂直于的直线与C交于D，E两点，为线段的垂直平分线，∴直线的斜率为，斜率倒数为， 直线的方程：，代入椭圆方程，整理化简得到：，

判别式，

∴，

∴ ， 得，

∵为线段的垂直平分线，根据对称性，，∴的周长等于的周长，利用椭圆的定义得到周长为.

故答案为：13.

12．如图，探测机器人从点出发，准备探测道路和所围的三角危险区域.已知机器人在道路和上探测速度可达每分钟2米，，在内为危险区域，探测速度为每分钟1米.假设机器人可随时从道路进入危险区域且可在危险区域各方向自由行动（不考虑转向耗时），则理论上，5分钟内机器人可达到探测的所有危险区域内的点组成的区域面积为___________.

【答案】

【分析】讨论机器人探测的路线，结合直线与圆的关系计算三角形面积即可.

【详解】如图所示，机器人只在道路上前进可到达AB点，则OA=OB=10米，

作的角平分线OC，过A作AD⊥OB，垂足为D点，交OC于C点，

设机器人先在道路OA上前进分钟到达P点,

此时，AP=，后进入危险区域，

其能探测到达的点组成以P为圆心，以为半径的圆弧，

由题意可知：，即AD与该圆弧相切，设切点为E，

故随P点从O移动到A，机器人可探测的区域为，

结合对称性，机器人5分钟能到达的点围成区域有与，即图中阴影部分，

其面积为，

易知为含120°的等腰三角形，所以区域面积为：.

故答案为：

【点睛】本题关键在于对题意的理解，然后结合直线与圆的位置关系，利用角的对称性得出区域形状，再解三角形求区域面积，极容易出错，需要仔细审题.

二、单选题

13．已知 ，直线 ，若l与⊙O相离，则（    ）

A．点 在l上 B．点在上

C．点在 内 D．点在外

【答案】C

【分析】根据l与相离,可知圆心到直线的距离大于半径，由此列不等式，即可推出，即可得答案.

【详解】由已知l与相离,可知圆心到直线的距离大于半径，

不妨设为的半径，即有，

故，由于，则，所以,

则点在内，

故选：C．

14．某教学软件在刚发布时有100名教师用户，发布5天后有1000名教师用户.如果教师用户人数与天数之间满足关系式：，其中为常数，是刚发布时的教师用户人数，则教师用户超过20000名至少经过的天数为（    ）（参考数据：）

A．9 B．10 C．11 D．12

【答案】D

【分析】根据已知条件求得，结合及指对数关系、对数运算性质求解集，即可得结果.

【详解】由题设，可得，

所以，则，故，

所以教师用户超过20000名至少经过12天.

故选：D

15．给定下列四个命题：

①图像不经过点的幂函数一定不是偶函数；

②若一条直线垂直于平面内的无穷多条直线，则这条直线垂直于这个平面；

③有两个相邻的侧面是矩形的棱柱是直棱柱；

④设数列的前项和为，若是递增数列，则数列也是递增数列；

以上命题是真命题的序号是（    ）

A．①② B．②③

C．③④ D．①③

【答案】D

【分析】对①利用幂函数和偶函数特点即可判断，对②和④举反例即可，对③利用线面垂直的判定结合直棱柱的定义即可判断.

【详解】对①，幂函数的图象都过，偶函数的图象关于轴对称，

图象不经过点的莫函数一定不是偶函数，故①正确；

对②，若平面内的无数条直线互相平行，

则这条直线可以不垂直这个平面，故②错误；

对③，若有两个相邻的侧面是矩形，

则两侧面的交线即一条侧棱垂直于底面两相交的直线，

则这条侧棱垂直于底面，根据棱柱侧棱互相平行，

则所有侧棱均垂直于底面，则棱柱为直棱柱，故③正确；

对④，当时,满足数列是递增数列，，

，

则，不满足数列是递增数列，故④不正确；

故选：D.

三、多选题

16．等轴双曲线的焦点，圆，则（    ）

A．对于任意，存在，使圆与双曲线右支恰有两个公共点

B．对于任意，存在，使圆与双曲线右支恰有三个公共点

C．存在，使对于任意，圆与双曲线右支至少有一个公共点

D．存在，使对于任意，圆与双曲线右支至多有两个公共点

【答案】AD

【分析】联立方程可得，构建，根据二次函数讨论在上的零点分布，并结合对称性分析与右支的交点个数.

【详解】设双曲线方程为：，联立方程，

消去y得，

由圆可知：x的取值范围为，

构建，，

则的对称轴，

且，

当即时有且只有一个零点，

当即时有且只有一个零点.

当即时无零点.

当即时有且只有两个零点.

当即时有且只有两个零点.

当即时有且只有一个零点.

注意到当，与的交点坐标为，当时，与的交点坐标有，即会出现交点在对称轴上，结合与的对称性可得：

当时，使与没有公共点，即与的右支没有公共点；

当时，使与有且仅有一个公共点，即与的右支有且仅有一个公共点；

当时，使与有两个公共点，此时与有且仅有两个公共点；

当时，使与有三个公共点，此时与有且仅有两个公共点；

当时，使与有四个公共点，此时与有且仅有两个公共点.

对A：对于任意，存在，使得，此时圆与双曲线右支恰有两个公共点，A正确；

对B：对于任意，存在，使得，此时圆与双曲线右支至多有两个公共点，B错误；

对C：存在，使对于任意，使得，此时圆与双曲线右支没有公共点，C错误；

对D：存在，使对于任意，使得，此时圆与双曲线右支至多有两个公共点，D正确.

故选：AD.

四、解答题

17．某校学生利用解三角形有关知识进行数学实践活动.处有一栋大楼，某学生选（与在同一水平面的）､两处作为测量点，测得的距离为，，，在处测得大楼楼顶的仰角为.

(1)求两点间的距离；

(2)求大楼的高度.（第（2）问不计测量仪的高度，计算结果精确到）

【答案】(1)m

(2)m

【分析】（1）根据题意，先求出，然后利用正弦定理计算即可求解；

（2）根据题意结合（1）的结果可直接求出，然后利用两角和的正切公式计算即可.

【详解】（1）由已知得，

在中，

因为，

即，所以，

所以两点间的距离为m.

（2）在中，

因为，

所以，

又因为

所以

，

答：楼高约为.

18．已知双曲线，及直线.

(1)若与有且只有一个公共点，求实数的值；

(2)若与的左右两支分别交于A、B两点，且的面积为，求实数的值.

【答案】(1)或

(2)

【分析】（1）联立方程组，消元后得到，分、两种情况求解即可；

（2）先由题意可得，令直线l与y轴交于点，从而得到，再结合韦达定理即可求解.

【详解】（1）由，消去，得①，

当，即时，方程①有一解，与仅有一个交点（与渐近线平行时）.

当，得与也只有一个交点（与双曲线相切时），

综上得的取值是或；

（2）设交点，由，消去，得，

首先由，得且，

并且，

又因为与的左右两支分别交于A､B两点，

所以，即，解得，

故.

因为直线l与y轴交于点，

所以，

故.

解得或.

因为，所以.

19．设为实数，函数.

（1）讨论函数的奇偶性并说明理由；

（2）求的最小值.

【答案】（1）当时，函数是偶函数，当时，函数是非奇非偶函数；（2）当时，；当时，；当时，.

【分析】（1）考查函数的奇偶性，用特殊值法判断函数及不是奇函数又不是偶函数；（2）先判断函数的单调性再求最值．

【详解】解：（1）当时，函数

此时，为偶函数

当时， ，， ，

此时既不是奇函数，也不是偶函数

（2）①当时，

当，则函数在，上单调递减，从而函数在，上的最小值为．

若，则函数在，上的最小值为，且．

②当时，函数

若，则函数在，上的最小值为；

若，则函数在，上单调递增，从而函数在，上的最小值为．

综上，当时，函数的最小值为

当时，函数的最小值为

当时，函数的最小值为．

【点睛】本题为函数的最值和奇偶性的考查；是高考常考的知识点之一；而求最值时需要注意的是先判断函数的单调性．

20．直线与抛物线交于、两点，为坐标原点，直线、的斜率之积为，以线段的中点为圆心，为半径的圆与直线交于、两点．

（1）求证：直线过定点；

（2）求中点的轨迹方程；

（3）设，求的最小值．

【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）．

【分析】（1）设直线的方程为，设点、，将直线的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，分析可知，利用平面向量的数量积的坐标运算并结合韦达定理求出的值，即可证得结论成立；

（2）设线段的中点为，可得出，消去可得出线段的中点的轨迹方程；

（3）利用平面向量的数量积推导出，结合两点间的距离公式以及二次函数的基本性质可求得的最小值.

【详解】（1）设直线的方程为，设点、，

由得，

所以，所以，，

所以，，

因为直线、的斜率之积为，所以，

所以，所以，

所以直线的方程为，过定点；

（2），直线中点为圆心，

设线段的中点为，可得，消去得，

因此，线段的中点的轨迹方程为；

（3）如下图所示，易知圆心为线段的中点，

，

所以，，

所以，，

即

，

所以，

所以当时，的最小值为．

【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种：

一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值；

二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值．

21．已知的三个顶点都在椭圆上.

(1)设它的三条线段，，的中点分别为，，，且三条边所在线的斜率分别为，且均不为0.点为坐标原点，若直线，，的斜率之和1.求证：为定值；

(2)当是的重心时，求证：的面积是定值；

(3)如图，设的边所在直线与轴垂直，垂足为椭圆右焦点，过点分别作直线与椭圆交于（不同于A，B两点），连接与分别交于，求证：.

【答案】(1)证明见解析

(2)证明见解析

(3)证明见解析

【分析】（1）设出点的坐标，代入椭圆方程，利用点差法得出斜率与中点坐标的关系即可得证；

（2）点的坐标代入椭圆方程，化简得，再由椭圆的参数方程化简可得，再由重心可得求证即可；

（3）根据直线、的方程及点在椭圆上可得曲线系，取，可由方程根的关系得证.

【详解】（1）设，

因为在椭圆上，所以，

两式相减得：，即，

同理可得，则

因为直线的斜率之和为1，

所以，即为定值.

（2）设

因为的重心为，故

又都在椭圆上，

故

化简得，

设，

代入上式可得：，

即，

，

即的面积为定值.

（3）设直线方程为：，直线的方程为：，

直线与直线上所有点对应的曲线方程为：，

又都在椭圆上，则同时过的二次曲线系可设为：，

取，得，易知该方程的两根分别为，由韦达定理可

知，，则.

【点睛】关键点点睛：根据点在椭圆上，结合重心化简得，利用椭圆的参数方程，结合重心的性质找出，并且能应用三角函数求出的 大小，是研究三角形面积为定值的关键，本题困难，不易解答.