2022-2023学年上海市控江中学高二下学期期中数学试题含解析

这是一份2022-2023学年上海市控江中学高二下学期期中数学试题含解析，共14页。试卷主要包含了填空题，单选题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年上海市控江中学高二下学期期中数学试题 一、填空题1．向量的模__________.【答案】【分析】直接计算模长得到答案.【详解】，则.故答案为：2．函数的导函数的定义域为__________.【答案】【分析】确定函数定义域，再求导确定导函数定义域得到答案.【详解】，函数定义域为，，导函数需满足，综上所述：导函数定义域为.故答案为：.3．根据二项式定理，的二项展开式共有__________项.【答案】11【分析】根据二项式定理得出展开式的通项，即可得出答案.【详解】根据二项式定理，可知的二项展开式的通项为，，共有11项.故答案为：11.4．设，若向量与向量平行，则__________.【答案】【分析】根据已知可得，求解即可得出答案.【详解】因为，所以有，且，所以，，所以.故答案为：.5．已知函数，则函数的导函数__________.【答案】【分析】根据基本初等函数以及复合函数的求导法则，即可得出答案.【详解】由已知可得，.故答案为：.6．设，若1是函数的一个驻点，则__________.【答案】【分析】由已知求出导函数，根据已知得出方程，求解即可得出答案.【详解】由已知可得，的定义域为，且，由已知可得，可得.故答案为：.7．在的二项展开式中，常数项为__________.【答案】112【分析】直接利用二项式定理公式计算得到答案.【详解】的二项展开式的通项为，取得到，则常数项为.故答案为：.8．圆的参数方程为（为参数），则此圆的半径为___________.【答案】5【分析】把两式两边平方作和，消去参数θ，化为圆的标准方程得答案．【详解】解：由，①2+②2得，x2+y2＝9sin2θ+16cos2θ+24sinθcosθ+16sin2θ+9cos2θ﹣24sinθcosθ＝16（sin2θ+cos2θ）+9（sin2θ+cos2θ）＝25．∴圆的半径为5．故答案为5．【点睛】本题考查圆的参数方程化为普通方程，考查同角三角函数基本关系式的应用，是基础题．9．在极坐标系中，圆的圆心到直线的距离为__________.【答案】【分析】由已知得出圆和直线的直角坐标方程，根据点到直线的距离公式，即可得出答案.【详解】由已知可得.因为，所以，所以圆的直角坐标方程为，圆心为.直线转化为直角坐标方程为，即.又点到直线的距离，即圆的圆心到直线的距离为.故答案为：.10．设，若关于的方程有三个实数解，则的取值范围为__________.【答案】【分析】设，根据题意转化为函数的图象与直线有三个不同的交点，求得，求得函数的单调性与极值，作出函数的图象，结合图象，即可求得实数的取值范围.【详解】由，可得，设函数，则函数的图象与直线有三个不同的交点，又由，当或时，，单调递减；当时，，单调递增，所以的极小值为，极大值为，且时，，当时，，作出函数的大致图象如图所示，由图象可知，要使函数的图象与直线由三个不同的交点，则满足，即实数的取值范围是.故答案为：.11．定义域和值域都是的连续函数恰有17个驻点，导函数的定义域被这些驻点分割成18个小区间，其中恰有9个区间能使恒成立，若记的零点个数为，则的最大值为__________.【答案】【分析】根据驻点定义结合单调性判断，再因为值域为R确定零点个数即得.【详解】定义域和值域都是的连续函数恰有17个驻点，导函数的定义域被这些驻点分割成18个小区间，因为其中恰有9个区间能使恒成立，所以恰有9个区间能使恒成立，为使零点个数最多，需使每个单调区间都存在零点，因此零点最多有18个，但因为函数是值域是的连续函数，所以的最右侧区间与最左侧区间单调性相同，从而必存在两个相邻的小区间的单调性相同，即此时对应的驻点非极值点，因此这两个相邻小区上最多存在一个零点，即整个定义域上最多存在17个零点所以若记的零点个数为，则的最大值为.故答案为: .12．在空间中，是一个定点，给定的三个不共面的向量，且它们两两之间的夹角都是锐角.若向量满足，，，则满足题意的点的个数为__________.【答案】【分析】确定点在与垂直，且到的距离为的平面上，在与垂直，且到的距离为的平面上，在与垂直，且到的距离为的平面上，计算得到答案.【详解】，故，，，故点在与垂直，且到的距离为的平面上，共两个平面；同理得到：故点在与垂直，且到的距离为的平面上，共两个平面；故点在与垂直，且到的距离为的平面上，共两个平面.个两两平行的平面共有个交点，故满足条件的共有个.故答案为： 二、单选题13．在的二项展开式中，第3项为（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】写出二项展开式的通项，即可得出答案.【详解】因为，的二项展开式的通项为，，所以，第3项为.故选：A.14．下列以为参数的参数方程中，能够表示方程的是（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】先求出方程中，的范围，然后消参验证各项，并根据指数函数、正弦、余弦以及正切函数的值域，即可得出答案.【详解】由可知，，且.对于A项，消去可得，但是，所以，故A项错误；对于B项，消去可得，又，且，故B项错误；对于C项，消去可得，又，且，故C项错误；对于D项，消去可得，又因为，所以，且，故D项正确.故选：D.15．计算：（    ）A．0 B． C． D．【答案】D【分析】变换得到，计算得到答案.【详解】设则.故选：D.16．设函数在定义域上的导数值均存在，其导函数为，关于这两个函数的图象，有如下两个命题：命题：若的图象关于直线对称，则的图象也关于直线对称；命题：若是减函数，且其图象向右方无限延伸时会与轴无限趋近，则函数是增函数，且其图象向右方无限延伸时也会存在一条平行或重合于轴的直线，使得的图象与无限趋近.下列判断正确的是（    ）A．和都是真命题 B．和都是假命题C．是真命题，是假命题 D．是假命题，是真命题【答案】B【分析】举例即可说明命题、为假命题.【详解】对于命题：若，则，显然的图象关于直线对称，但是不是轴对称图形，故命题为假命题；对于命题：若，则，显然的图象向右方无限延伸时会与轴无限趋近，函数为增函数，但是不存在直线，使得的图象与无限趋近，故命题是假命题.故选：B. 三、解答题17．已知函数，.(1)求的值，并写出该函数在点处的切线方程；(2)求函数在区间上的最大值和最小值.【答案】(1)(2)最大值是，最小值是1. 【分析】（1）求出，根据导数的几何意义得出切线的斜率，求出，即可得出答案；（2）根据导函数得出导函数的单调性，结合端点值，即可得出函数的最值.【详解】（1）由已知可得，所以，则根据导数的几何意义可知，函数在点处的切线的斜率为.又，所以函数在点处的切线的方程为.（2）当时，，所以在上单调递减；当时，，所以在上单调递增.所以，在处取得唯一极小值，也是最小值.又，，所以，函数在区间上的最大值是，最小值是1.18．如图，在三棱锥中，平面，，，､分别为的中点.(1)求直线与平面所成角的大小；(2)求平面与平面所成二面角的大小.【答案】(1)(2) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，得到各点坐标，确定是平面的一个法向量，根据向量的夹角公式计算得到答案.（2）平面的一个法向量，是平面的一个法向量，根据向量的夹角公式计算得到答案.【详解】（1）建立如图空间直角坐标系，可得点的坐标，故，是平面的一个法向量，设直线与平面所成角的大小为，则，故直线与平面所成角的大小为.（2）设是平面的法向量，,，即，不妨取，得到平面的一个法向量，，平面与平面所成二面角为锐角，故平面与平面所成的二面角是.19．设，函数.(1)当时，求函数的单调区间；(2)设常数.当时，关于的不等式在恒成立，求的取值范围.【答案】(1)函数的单调增区间为，单调减区间为(2) 【分析】（1）求导得到，再确定函数的单调区间得到答案.（2）设，求导得到函数的单调区间，考虑，两种情况，根据函数的单调性计算最值得到答案.【详解】（1），，令，解得，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，故函数的单调增区间为，单调减区间为.（2），，设，，令得.当.时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，当时，在上的最小值，由，解得，故.当时，在上的最小值，由，有，解得，故.综上所述：的取值范围为.20．设实数.对任意给定的实数，都有.(1)当时，求的值；(2)若是整数，且满足成立，求的值；(3)当时，根据的取值，讨论的二项展开式中系数最大的项是第几项.【答案】(1)(2)(3)答案见解析 【分析】（1）直接利用二项式定理计算得到答案.（2）计算，代入计算得到，取计算得到答案.（3）确定，分三种情况讨论，计算得到答案.【详解】（1）展开式的通项为，故，故.（2）展开式的通项为，，由得，又知，取，可知.（3）展开式的第项的系数，由，知，下分三种情况讨论：①当时，，当时，成立，即；当时，成立，即；②当时，，当时，成立，即；当时，成立，即；当时，成立，即；③当时，，当时，成立，即；当时，成立，即；综上所述：当时，第81项的系数最大；当时，第81项､第82项的系数相等且最大；当时，第82项的系数最大.21．设常数.在棱长为1的正方体中，点满足，点分别为棱上的动点（均不与顶点重合），且满足，记.以为原点，分别以的方向为轴的正方向，建立如图空间直角坐标系(1)用和表示点的坐标；(2)设，若，求常数的值；(3)记到平面的距离为.求证：若关于的方程在上恰有两个不同的解，则这两个解中至少有一个大于.【答案】(1)，，(2)(3)证明见解析 【分析】（1）由已知，求出相关线段长度，即可得出各点的坐标；（2）代入，根据向量法求出.在中，可推得.根据已知得出，根据的范围，即可得出答案；（3）根据已知求出平面的一个法向量，进而根据向量法得出.根据已知可得在中恰有两解.构造函数，通过导函数证明函数在在上单调递减，得出函数在上零点的情况，即可得出证明.【详解】（1）由已知可得，，，所以，.因为，，又，所以.（2）由已知可得，，所以，.所以.又是锐角，所以.又中，.因此，由知，解得.（3）由已知可得，，，，设是平面的法向量，则.不妨取，得到平面的一个法向量，故.由，可得，由题意，关于的方程在中恰有两解，即在中恰有两解.记，下求在的单调性：，记，则.由于恒成立，且，根据二次函数的性质可知恒成立，故单调递增.又，，故在上恒成立，即有在上单调递减.因此，在上至多有一个解，所以这两个解中至少有一个大于.【点睛】关键点睛：小问3，通过构造函数，根据导函数得出函数在上单调递减，得出在上至多有一个解，进而得出证明.