2022-2023学年上海市上海师范大学附属中学高二下学期期中数学试题含解析

2022-2023学年上海市上海师范大学附属中学高二下学期期中数学试题

一、填空题

1．过点，且焦点在y轴上的抛物线的标准方程是______.

【答案】

【分析】设出抛物线方程，利用待定系数法求解即可.

【详解】设方程为，则有，解得，即有，

所以过点且焦点在y轴上的抛物线的标准方程为.

故答案为：

2．已知直线与平行，则实数的值为_____________.

【答案】或

【分析】根据平行线的性质进行求解即可.

【详解】因为直线与平行，

所以有：或，

故答案为：或

3．设两圆与圆的公共弦所在的直线方程为_______

【答案】

【分析】利用两圆的方程相减即可求解.

【详解】因为圆，圆，

由得，，

所以两圆的公共弦所在的直线方程为.

故答案为：.

4．若为椭圆上的点，为椭圆的左右焦点，则的周长_________ ．

【答案】18

【分析】由椭圆的定义可知周长为，进而得解.

【详解】椭圆中，，

由椭圆的定义可知周长为，

的周长为，

故答案为：18.

5．已知双曲线的两条渐近线的夹角为，则双曲线的实轴长为____．

【答案】

【分析】根据已知条件求得，由此求得实轴长.

【详解】由于，双曲线的渐近线方程为，

所以双曲线的渐近线与轴夹角小于，

由得，实轴长．

故答案为：

6．已知直线经过点，且与圆相切，则直线的方程为_____．

【答案】或

【分析】分类讨论直线斜率存在与否两种情况，利用直线与圆相切有，进行检验或列出关于的方程，从而得解.

【详解】由题意知圆的圆心为，半径为，

当直线的斜率不存在时，直线为，显然圆心到直线的距离为，

所以，故直线与圆相切，满足题意；

当直线斜率存在时，设直线斜率为k，则直线为，即，

因为直线与圆相切，所以，即，解得，

所以直线为，即；

综上：直线的方程为或.

故答案为：或.

7．若圆上有且只有两点到直线的距离为2，则圆的半径的取值范围是_____．

【答案】

【分析】先求出圆心到直线的距离，利用到直线的距离为2可以

得出两条平行直线，判断该两条直线与圆的位置关系，从而得出半径的范围

【详解】圆心的坐标为，到直线的距离为，而与

直线距离为2的点的轨迹是与平行且与距离为2的两条平行直线，如图虚线，，

而根据题意知直线与圆有两个不同的交点，直线与圆没有公共点，所以圆的半

径的取值范围为，

故答案为：

8．著名的天文学家、数学家开普勒发现了行星运动三大定律，其中开普勒第一定律又称为轨道定律，即所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，且太阳中心处在椭圆的一个焦点上.记地球绕太阳运动的轨道为椭圆，在地球绕太阳运动的过程中，若地球轨道与太阳中心的最远距离与最近距离之比为，则的离心率为______

【答案】

【分析】设椭圆的焦距为，实轴长为，进而得，再根据离心率公式计算即可.

【详解】解：根据题意，设椭圆的焦距为，实轴长为，

所以地球轨道与太阳中心的最远距离为，最近距离为，

所以，即，

故的离心率为

故答案为：

9．若直线过抛物线的焦点，交抛物线于两点，则____．

【答案】2

【分析】设，，根据抛物线的焦半径公式求的，联立方程，利用韦达定理求出，，化简整理即可得解.

【详解】解：易知焦点，准线方程为，

当直线的斜率不存在时，直线方程为，

此时，，

所以，

当直线斜率存在时，设过点的直线方程为，

代入抛物线方程得，

化简后为，

设，，

则有，，

，，

∴，

综上.

故答案为：2.

10．已知点P在抛物线上，P到的距离是，P到的距离是，则的最小值为______.

【答案】

【分析】设，利用点到直线的距离公式求出和，得到关于的函数解析式，利用二次函数知识可求出结果.

【详解】设，因为，所以，

，，

，

对称轴为，

所以当时，取得最小值.

故答案为：.

11．若实数满足，则点到直线的距离的取值范围是______.

【答案】

【分析】分段讨论去绝对值判断出表示的图形，可得出表示的图形在和之间，利用平行线间距离公式即可求出.

【详解】实数满足，

当时，方程为，表示一段圆弧，

当时，方程为，表示双曲线的一部分，

当时，方程为，表示双曲线的一部分，

当时，方程为，不表示任何图形，

画出表示的图形，

可知双曲线的一条渐近线为，和平行，

设和平行且和圆在第一象限相切的直线为，

则由点到直线的距离可得，解得或（舍去）

可得表示的图形在和之间，

则和的距离为，

和的距离为，

则结合图形可得点到直线的距离的取值范围是.

故答案为：.

12．如图，、是椭圆与双曲线的公共焦点，A、B分别是、在第二、四象限的交点，若，则与的离心率之积的最小值为______.

【答案】/

【分析】根据椭圆和双曲线的定义和对称性，结合三角形面积公式、余弦定理、基本不等式进行求解即可.

【详解】设椭圆方程为，

双曲线方程为，

如下图，连接，所以为平行四边形，

由得，

设，

在椭圆中，由定义可知：，

由余弦定理可知：

，

，

在双曲线中，由定义可知中：：，

由余弦定理可知：

，

，

所以，

，当且仅当时取等号，

所以，

所以与的离心率之积的最小值为．

故答案为：

二、单选题

13．“且”是“表示圆的方程”的（    ）条件

A．充分非必要 B．必要非充分

C．充要 D．既非充分又非必要

【答案】B

【分析】根据圆的一般方程的形式，求得方程表示圆的条件，再根据充分条件、必要条件的判定方法，即可求解．

【详解】由方程表示圆时，满足且，

所以“且”是“表示圆的方程”的必要不充分条件．

故选B．

【点睛】本题主要考查了充分条件、必要条件的判定，以及圆的一般方程的综合应用，属于基础题．

14．直线关于直线对称的直线方程为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】先联立方程得，再求得直线的点关于直线对称点的坐标为，进而根据题意得所求直线过点，，进而得直线方程.

【详解】解：联立方程得，即直线与直线的交点为

设直线的点关于直线对称点的坐标为，

所以，解得

所以直线关于直线对称的直线过点，

所以所求直线方程的斜率为，

所以所求直线的方程为，即

故选：C

15．已知，则双曲线与的（    ）

A．实轴长相等 B．虚轴长相等

C．焦距相等 D．离心率相等

【答案】D

【分析】由双曲线方程求得对应的，进而判断选项是否正确.

【详解】因为双曲线与，

所以，

因为，所以，

所以，所以选项A，B错误；

因为，

所以，所以选项C错误；

因为，所以选项D正确.

故选：D.

16．定义曲线：为椭圆：的“倒曲线”，给出以下三个结论：①曲线有对称轴，②曲线有对称中心，③曲线与椭圆有公共点．其中正确的结论个数为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】曲线：上取点，利用点的坐标证得对称性，从而判断出①②，利用的范围可以判断出③，从而得出结论.

【详解】曲线：上取点，则该点关于轴对称的点也在曲线，故曲线关于轴对称，同理可证曲线关于轴对称，则该点关于原点对称点也在曲线，故曲线关于原点对称，故①②正确；曲线：，则，而椭圆：中，，故曲线与椭圆无公共点，③错误；综上，正确的有2个，

故选：C.

三、解答题

17．已知直线和的交点为P.

(1)求直线与的夹角的大小；

(2)若直线l过点P，且与两坐标轴的正半轴所围成的三角形面积为32，求直线l的方程.

【答案】(1)

(2)或

【分析】（1）利用直线的方向向量求解即可；

（2）求点P坐标，设出直线方程，求出在坐标轴上的截距，然后由面积公式可得.

【详解】（1）取直线和的方向向量分别为，记直线与的夹角为，

则

因为，所以

（2）由解得，即

由题可知，直线l的斜率存在且小于0，设斜率为，则直线方程为

令得，令得，

则有，整理得，解得或

所以直线l的方程为或

即或

18．已知直线，椭圆.

(1)证明：直线l与椭圆C恒有两个交点；

(2)已知点，若P是椭圆C上任意一点，求的取值范围.

【答案】(1)证明见详解

(2)

【分析】（1）先求直线l所过定点，然后由定点在椭圆内可证；

（2）利用椭圆方程带入两点间的距离公式消元，然后由二次函数性质可解.

【详解】（1）整理可得，

由解得，所以直线l过定点.

又，所以点在椭圆内部，

所以直线l与椭圆C恒有两个交点.

（2）设点P坐标为，则

所以

令，其对称轴为，且开口向上

所以，当时，

当时，

所以，所以，即

所以的取值范围为

19．某团队开发一款“猫捉老鼠”的游戏，如图所示，A、B两个信号源相距10米，O是AB的中点，过O点的直线l与直线AB的夹角为45°，机器猫在直线l上运动，机器鼠的运动轨迹始终满足：接收到A点的信号比接收到B点的信号晚秒，其中（单位：米/秒）是信号传播的速度.

(1)以O为原点，以OB方向为x轴正方向，且以米为单位建立平面直角坐标系，设机器鼠所在位置为点P，求点P的轨迹方程；

(2)若游戏设定：机器鼠在距离直线l不超过2米的区域运动时，有“被抓”的风险.如果机器鼠保持目前的运动轨迹不变，是否有“被抓”风险？

【答案】(1)

(2)如果机器鼠保持目前的运动轨迹不变，有被抓风险.

【分析】（1）结合双曲线的定义求得正确答案.

（2）求与直线距离为2的平行直线的方程，结合平行直线与点轨迹有无公共点即可.

【详解】（1）依题意，，

所以点的轨迹是以为焦点的双曲线的右支，

，

所以点的轨迹方程为.

（2）直线的方程为，即，

设与直线的距离为2的平行直线的方程为，

所以，

所以与直线的距离为2的平行直线的方程为或，

双曲线的渐近线为，

直线，即，斜率为，过点，

，所以直线与点的轨迹没有公共点.

直线，即，

由，消去并化简得，

，

又，所以方程存在大于4的实数解，

所以直线与点的轨迹有公共点.

综上所述，如果机器鼠保持目前的运动轨迹不变，有被抓风险.

20．已知抛物线焦点为，抛物线上存在不同两点A､B（异于原点O）.

(1)求抛物线的方程；

(2)若直线AB的倾斜角为且抛物线焦点F到直线AB的距离不小于1，求直线AB在y轴上的截距n的取值范围；

(3)若点A､B､F三点共线，求的取值范围.

【答案】(1)

(2)

(3)

【分析】（1）根据焦点坐标求解方程即可；

（2）设直线AB的方程为，再根据直线AB与抛物线有两个交点，焦点F到直线AB的距离不小于1列式求解即可

（3）联立直线AB与抛物线的方程，利用求出的值域，进而得到的取值范围

【详解】（1）因为抛物线焦点为，故，故抛物线的方程为

（2）由题，设直线AB的方程为，联立抛物线有，化简得，故，解得.

又抛物线焦点到的距离不小于1，故，解得或，综上有AB在y轴上的截距n的取值范围为

（3）设直线AB的方程为，，联立有，故，，

，即

故的取值范围为

【点睛】本题主要考查了联立直线与抛物线的方程，求解交点的有关问题，同时也考查了利用韦达定理化简所求表达式的问题，属于中档题

21．已知、分别为椭圆的左、右焦点，M为上的一点.

(1)若点M的坐标为，求的面积；

(2)若点M的坐标为，且直线与交于不同的两点A、B，求证：为定值，并求出该定值；

(3)如图，设点M的坐标为，过坐标原点O作圆（其中r为定值，且）的两条切线，分别交于点P，Q，直线OP，OQ的斜率分别记为，.如果为定值，求的取值范围，以及取得最大值时圆M的方程.

【答案】(1)；

(2)证明见解析，0；

(3)，圆M的方程为或.

【分析】（1）将点代入求出，再求出左、右焦点即可求解.

（2）将直线与椭圆方程联立，利用韦达定理以及向量数量积的坐标运算即可求解.

（3）设出直线:，直线:，利用点到直线的距离公式可得、是关于的方程的两实根，根据题意为定值，可得，，设，，将直线:，直线:与椭圆联立，求出，即求.

【详解】（1）由已知条件得，因为，则，又，

因此的面积为.

（2）设，由，得，

，又，，

，

于是

，

即为定值.

（3）因为直线:与相切，则，即，

同理，由直线:与相切，可得，

于是、是关于的方程的两实根，

注意到，且，故，

因为定值，故不妨设（定值），

于是有，即.

依题意可知，变化，而、均为定值，即有，解得，，

设，，由得，同理，

所以

，当且仅当时取等号，

因此，解得，所以的范围为，

当或时，直线关于坐标轴对称，此时圆心M为椭圆顶点，

所以圆M的方程为或.

【点睛】思路点睛：（1）解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．

（2）涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．