2022-2023学年上海市吴淞中学高二下学期期中数学试题含解析

这是一份2022-2023学年上海市吴淞中学高二下学期期中数学试题含解析，共13页。试卷主要包含了填空题，单选题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年上海市吴淞中学高二下学期期中数学试题 一、填空题1．已知等差数列，，，则__________【答案】【分析】求出首项和公差，再根据等差数列的通项即可得解.【详解】设公差为，由，，得，解得，所以.故答案为：.2．已知函数，其中，则________【答案】【分析】直接利用求导公式计算即可.【详解】，.故答案为：.3．春天是鼻炎和感冒的高发期，某人在春季里鼻炎发作的概率是，感冒发作的概率是，鼻炎发作且感冒发作的概率是，则此人在鼻炎发作的条件下感冒的概率是______．【答案】/0.75【分析】根据条件概率的计算公式即可求解．【详解】记事件＝“某人在春季里鼻炎发作”， 事件＝“某人在春季里感冒发作”，由题意可知，此人在鼻炎发作的条件下感冒的概率为 ，故答案为：4．在所有的两位数中，个位数字大于十位数字且为偶数，这样两位数的个数有_________个【答案】16【分析】利用分类计数原理，对个位进行分类讨论即可得到结果.【详解】当个位数字是8时，十位数字取1，2，3，4，5，6，7，只有7个．当个位数字是6时，十位数字可取1，2，3，4，5，共5个．当个位数字是4时，十位数字可取1，2，3，共3个．同理可知，当个位数字是2时，有1个，当个位数字是0时，共0个．由分类加法计数原理知，符合条件的两位数共有1＋3＋5＋7＝16（个）.故答案为：165．已知函数，则函数的单调递增区间为__________.【答案】【分析】求出函数的导数，解不等式，即可求得答案.【详解】由函数可得，令，即函数的单调递增区间为，故答案为：6．若直线与圆相切，则实数_________．【答案】或【分析】利用几何法列方程即可求解.【详解】圆可化为.因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即，解得：或7.故答案为：或7．在的展开式中，项的系数是______．【答案】【分析】直接根据二项式的展开式的通项公式求解即可．【详解】展开式的通项公式为，令，得，所以含项的系数为，故答案为：．8．已知在正项等比数列中，，，则使不等式成立的正整数n的最小值为________．【答案】9【分析】设等比数列的公比为，且，求出，再解不等式即得解.【详解】设等比数列的公比为，且，因为，，所以，所以，所以．因为，即，当时，；当时，，所以正整数的最小值为9．故答案为：99．直线关于直线对称的直线方程为________【答案】【分析】因为两直线平行，设所求直线方程为，由直线与直线间的距离，求得b的值，得直线方程.【详解】设所求直线方程为，且，直线与直线间的距离为，则直线与直线间的距离为，又，得，所以所求直线方程为，故答案为：.10．2位教师和4名学生站成一排，要求2位教师站在中间，学生甲不站在两边，则不同排法的种数为_________【答案】【分析】先考虑两位教师的排法，再考虑甲的排法，最后考虑余下三位同学的排法，结合分步乘法计数原理求总排法数即可.【详解】先考虑将两位老师排在中间，有种排法，再考虑排甲同学，有种排法，最后考虑余下三位同学的排法，有种排法，由分步乘法计数原理可得共有种排法.故答案为：.11．当时，不等式恒成立，则的范围为______.【答案】【分析】构造，求导判断单调性，分和两种情况讨论，可得所求的范围．【详解】构造，且，且当时，在上单调递增，成立；当时，，又在上为连续函数，存在，使时，，即在上单调递减，此时，不成立，舍去；则的范围为，故答案为：．12．某兴趣小组有10名学生，若从10名学生中选取3人，则选取的3人中恰有1名女生的概率为，且女生人数超过1人，现在将10名学生排成一排，其中男生不相邻，且男生的左右相对顺序固定，则共有______种不同的站队方法.【答案】25200【分析】由已知得10名学生中，有女生6人，男生4人，再利用插空法求解即可.【详解】设10名学生中，有女生人，男生人，则10名学生中选取3人，恰有1名女生的概率，整理得：，即因式分解可得：，解得：或（舍去）或（舍去）所以10名学生中，有女生6人，男生4人，将6名女生排成一排有种方法，再将4名男生插到7个空中有种方法，因为男生的左右相对顺序固定，而4名男生排成一排有种方法，所以一共有，故答案为：25200 二、单选题13．某班级有50名学生，期末考试数学成绩服从正态分布，已，则的学生人数为（    ）A．5 B．10 C．20 D．30【答案】D【分析】由正态分布的对称性求出，即可求出的学生人数.【详解】因为期末考试数学成绩服从正态分布，所以期末考试数学成绩关于对称，则，所以，所以的学生人数为：人.故选：D.14．已知函数有极大值和极小值，则a的取值范围是（    ）A． B．或 C． D．或【答案】B【分析】根据函数有极大值和极小值，可以判断导数有两个零点，然后求a的取值范围即可.【详解】函数，，函数有极大值和极小值，所以其导函数有两个不同的解，所以或.故选：B15．已知点，与直线，若在直线上存在点，使得，则实数的取值范围是（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】设出点坐标，由进行化简，结合二次函数的性质求得的取值范围.【详解】对于直线，即，所以在直线上，设，其中，由两边平方得，即，整理得，由于，所以，其中，根据二次函数的性质可知，当时，取得最大值，且最大值为，则，解得.故选：A16．南宋数学家杨辉在《详解九章算术》中提出了高阶等差数列的问题，即一个数列本身不是等差数列，但从数列中的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列（则称数列为一阶等差数列），或者仍旧不是等差数列，但从数列中的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列（则称数列为二阶等差数列），依次类推，可以得到高阶等差数列．类比高阶等差数列的定义，我们亦可定义高阶等比数列，设数列是一阶等比数列，则该数列的第项是（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据数列特征可知数列为等比数列，进而得到，利用累乘法可求得，代入即可.【详解】记数列为，设，则，，，，，数列是以为首项，为公比的等比数列，，，.故选：C. 三、解答题17．已知函数在处取得极值.(1)求实数的值；(2)若关于的方程在区间只有两解，求实数的取值范围.【答案】(1)(2) 【分析】（1）对函数求导并，由此解得（2）研究函数在区间单调性，结合端点值，确定实数的取值范围即可.【详解】（1）由题意知：，解得：（2）由（1）知，，，当函数单调递增；当函数单调递减；所以当时，在区间只有两解，故实数的取值范围为.18．某学校最近考试频繁，为了减轻同学们的学习压力，班上决定进行一次减压游戏.班主任把8个小球(只是颜色不同)放入一个袋子里，其中白色球与黄色球各3个，红色球与绿色球各1个.现甲、乙两位同学进行摸球得分比赛，摸到白球每个记1分，黄球每个记2分，红球每个记3分，绿球每个记4分，规定摸球人得分不低于8分为获胜，否则为负. 并规定如下：①一个人摸球，另一人不摸球；②摸球的人摸出的球后不放回；③摸球的人先从袋子中摸出1球；若摸出的是绿色球，则再从袋子里摸出2个球；若摸出的不是绿色球，则再从袋子里摸出3个球，摸球人的得分为两次摸出的球的记分之和 .(1)若由甲摸球，如果甲先摸出了绿色球，求该局甲获胜的概率；(2)若由乙摸球，如果乙先摸出了红色球，求该局乙得分ξ的分布列和数学期望；【答案】(1)(2)分布列见解析， 【分析】（1）如果甲先摸出了绿色球，则甲还可以再摸两次，分摸到1个红球和摸到两个黄球两种情况讨论，结合古典概型及组合即可得解；（2）如果乙第一次摸出了红色球，则可以再从袋中摸出3个球，写出随机变量的所有可能取值，分别求出求概率，即可得出分布列，再根据期望公式即可求出期望；【详解】（1）记“甲第一次摸出了绿色球，甲获胜”为事件，则.（2）如果乙第一次摸出红球，则可以再从袋子里摸出3个小球，则得分情况有：6分，7分，8分，9分，10分，11分，，，，，，，所以的分布列为：67891011所以的数学期望.19．已知数列满足(1)求证：数列是等比数列；(2)设，求的前项和【答案】(1)证明见解析；(2) 【分析】（1）根据题干条件构造出，结合等比数列定义证明结论；（2）先求出的通项，利用分组求和法和错位相减法求出结果.【详解】（1）因为，所以，又，所以，∴数列是首项为，公比为的等比数列.（2）由（1）知，，∴，∵，∴，∴令两式相减，所以所以，又，∴20．已知椭圆的离心率为，椭圆的上顶点为，过点且不垂直于x轴直线l与椭圆C相交于A、B两点．(1)求椭圆C的方程；(2)求的取值范围；(3)若点B关于x轴的对称点为点E，证明：直线AE与x轴相交于定点．【答案】(1)(2)(3)证明见解析 【分析】（1）根据离心率为，可得，由椭圆的上顶点为可得的值，从而可得椭圆的方程；（2）由题意知直线的斜率存在，设直线的方程代入椭圆方程，利用韦达定理，及向量的数量积公式，即可确定的取值范围．（3）由B、E两点关于x轴对称，可得，即可得到直线AE的方程，再令，求出，即可得解.【详解】（1）由题意知，，即又椭圆的上顶点为，，故椭圆的方程为.（2）由题意知直线的斜率存在，设直线的方程为．将直线方程代入椭圆方程可得：由得：，解得设，，则，，所以，，，所以，所以的取值范围是.（3）∵B、E两点关于x轴对称，∴， 因为，直线AE的方程为：令得∴直线AE与x轴交于定点．21．已知函数.(1)求在点处的切线方程；(2)求证：当时，.(3)若时，恒成立，求实数的取值范围.【答案】(1)(2)证明见详解(3) 【分析】（1）由题意及导数的几何意义先求出和，由点斜式可得解；（2）当时，恒成立，等价于恒成立，构造函数，通过研究的单调性和最小值即可得证；（3）利用参变分离将原不等式转化为恒成立，再构造函数，通过研究的单调性和最小值即可得解【详解】（1）由题意，，又由导数的几何意义， ，所以在点处的切线方程：，即；（2）当时，恒成立，等价于恒成立，设，则，当时，，所以，即在上为增函数，所以，即恒成立，恒成立，所以当时，，问题得证；（3）若时，恒成立，等价于恒成立，令，则，令，得，当时，；当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，则，故当时，原不等式恒成立.【点睛】利用导函数解不等式常见思路：（1）恒成立问题常利用分离参数法转化为最值求解（2）证明不等式可通过构造函数转化为函数的最值问题．