2022-2023学年四川省江油中学高二下学期期中考试数学（理）试题含解析

2022-2023学年四川省江油中学高二下学期期中考试数学（理）试题

一、单选题

1．已知命题：，，则命题的否定是（    ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】A

【分析】全称命题的否定,改为,对结论进行否定

【详解】由题,则为,,

故选:A

【点睛】本题考查全称命题的否定,属于基础题

2．“”是“”的（    ）条件

A．充分不必要 B．必要不充分

C．充要条件 D．既不充分也不必要

【答案】A

【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可.

【详解】解：由推得出，故充分性成立，

由推不出，当，时满足，故必要性不成立，

故“”是“”的充分不必要条件；

故选：A

3．现有一球形气球，在吹气球时，气球的体积（单位：）与直径（单位：）的关系式为，估计当时，气球体积的瞬时变化率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】求导后，代入即可求得结果.

【详解】设，则，，

即当时，气球体积的瞬时变化率为.

故选：C.

4．函数的最大值是

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】先利用导数判断函数的单调性，再利用函数的单调性求最大值.

【详解】由题得，所以函数f(x)在上单调递减，

所以，

故选A

【点睛】本题主要考查利用导数求函数的最值，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.

5．已知p:若在单调，则， q:，则下列命题是真命题的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据题意先判断命题p，的真假，再利用真值表判断复合命题的真假即可.

【详解】二次函数在区间上具有单调性，

由对称轴，故，即命题p为假命题；

令，则，

在上，

所以在上单调递增，即，

所以在上恒成立，

令，则，

在上，

所以在上单调递增，即，

所以在上恒成立，故命题q为假命题，

根据复合命题真假的判断可得为真命题，，，为假命题.

故选：C

6．函数的导函数的图象如图所示，以下命题错误的是（    ）

A．函数在处取得最小值 B．是函数的极值点

C．在区间上单调递增 D．在处切线的斜率大于零

【答案】B

【分析】根据极值和最值的关系即可判断A；根据极值点的定义即可判断B；由导数的正负和函数的增减关系即可判断C；由导数的几何意义即可判断D．

【详解】对于A，因为时，，此时单调递减；

当时，，此时单调递增，

所以在处取得最小值，故A正确；

对于B，时，，当时，，

所以不是函数的极值点，故B错误；

对于C，当时，，在区间上单调，故C正确；

对于D，因为，在处切线的斜率大于零，故D正确．

故选：B．

7．下面说法正确的有（    ）个

①，

②若，则，

③命题“若，则”的否命题为真命题，

④命题“若，则有实根”的逆否命题为真命题.

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【答案】B

【分析】利用基本不等式求出的范围可判断①，利用作差法比较大小可判断②，根据命题的知识可判断③④.

【详解】当时，，当且仅当时等号成立，

当时，，当且仅当时等号成立，故①错误；

若，则，即，故②正确；

命题“若，则”的否命题为“若，则”，为假命题，故③错误；

有实根的充要条件是，即，故④正确；

故选：B

8．已知，，直线与曲线相切，则的最小值是（    ）

A．16 B．12 C．8 D．4

【答案】D

【分析】根据导数的几何意义结合已知方程求出的关系，再根据不等式中“1”的整体代换即可得出答案.

【详解】对求导得，

由得，则，即，

所以，

当且仅当时取等号．

故选：D．

9．已知函数在内不是单调函数，则实数a的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】求导得，等价于在区间的函数值有正有负，解不等式组即得解.

【详解】解：，

令，由于函数在内不是单调函数，

则在区间的函数值有正有负，

而二次函数开口向上，对称轴为轴，

所以在区间上递增，所以，解得.

所以实数的取值范围是.

故选：A.

10．若定义在上的函数的导函数为，且满足，则不等式的解集是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】令，求导可得，从而得在R上单调递减，由此得解.

【详解】令，则，

所以在R上单调递减，

又因为，

所以等价于，即，

所以，

所以不等式的解集为.

故选：C.

11．已知函数，在区间内任取两个实数，，且，若不等式恒成立，则实数a的取值范围为（   ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】将恒成立转化为的导函数大于1在上恒成立，即，然后求最值即可.

【详解】因为，所以，即，

因为恒成立，

所以函数在上任意两点连线的斜率大于1，则的导函数大于1在上恒成立，

所以，整理得，所以，

因为二次函数开口向下，对称轴为，

所以在上单调递减，

所以.

故选：A.

12．已知函数存在唯一的极值点，则实数a的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】先对求导结合函数定义域，根据参数a的正负分情况讨论函数单调性及极值点的情况，最终求解.

【详解】因为的定义域为且存在唯一的极值点，所以存在唯一的变号正实根．

因为，所以只有唯一变号正实根．

当时，恒成立，方程只有唯一变号正实根，符合题意；

当时，要使存在唯一极值点，则需恒成立，即在上恒成立，

因为，所以在上单调递减，在上单调递增，

所以，所以，

综上所述，．

故选：A.

二、填空题

13．已知为虚数单位，若复数满足，则______.

【答案】

【分析】先将整理为的形式,再由模的定义求解即可.

【详解】由题,因为,

所以,

所以,

故答案为:

【点睛】本题考查复数的模,考查复数的除法运算.

14．若命题“”为假命题，则实数的取值范围是____．

【答案】[2，6]

【分析】写出命题的否定，利用不等式对应的二次函数的图像与性质建立不等关系，即可求出实数m的取值范围.

【详解】由命题“”的否定为“”，

因为命题“”为假命题，则“”为真命题，

所以，解得，

则实数的取值范围是.

故答案为：.

15．直线与函数的图像分别交于点，则的最小值为_____

【答案】

【分析】=，然后通过导数求该函数的最小值即可.

【详解】

令，则

，

当时，，当时，，当时，

所以在上单调递减，在上单调递增，

所以当时，的最小值为.

故答案为：.

16．已知函数，满足恒成立，则实数的取值范围为_________.

【答案】

【解析】由题意可知，设，可得，求出的单调性，分，讨论，求出的单调性和最值，进而可得答案.

【详解】由题意可知，

设，

则，所以在上为增函数，，

（1）当，即时，，从而在上为增函数，

所以恒成立；

（2）当，即，令，则.

又，所以，使得，

从而在上为减函数，当时，，不合题意.

综上得取值范围为.

故答案为：.

【点睛】本题考查三角函数与导函数的综合问题，考查灵活运用导数处理恒成立问题的能力，是中档题.

三、解答题

17．设命题：实数满足，命题：实数满足.

(1)若，若同为真命题，求实数的取值范围.

(2)若且是的充分不必要条件，求实数的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）先代入化简两个命题，再根据、同为真命题求解；

（2）先化简两个命题，再根据是的充分不必要条件得到是的充分不必要条件，再利用集合间的包含关系进行求解.

【详解】（1）解：当时，

可化为，解得；

由，得，即，

若、同为真命题，

则，解得，

即实数的取值范围为.

（2）解：当时，

可化为，解得；

则：，：；

因为是的充分不必要条件，

所以是的充分不必要条件，

则且，即，

即实数的取值范围为.

18．已知函数在处取得极大值为1

(1)求在处的切线方程；

(2)判断的零点个数，并说明理由.

【答案】(1)

(2)函数有三个零点，理由见解析

【分析】（1）根据题意结合导数与极值的关系求，再根据导数的几何意义求切线方程；

（2）求出函数的单调区间和极值，数形结合即可判断零点个数.

【详解】（1），则，

由题意可得，解得，

即，，

令，解得或，

故在上单调递增，在上单调递减，

则在处取得极大值1，即符合题意.

因为，则切点坐标为，切线斜率，

所以函数的图象在x=1处的切线方程为，即.

（2）由（1）得，令，得或，

由，得或，由，得，

所以在和上递增，在上递减，

又，如图

由图象可知，函数有三个零点.

19．在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）.在以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线与极轴相交于，两点.

(1)求曲线的极坐标方程及点的极坐标；

(2)若直线的极坐标方程为，曲线与直线相交于，两点，求的面积.

【答案】(1)，

(2)

【分析】（1）消去参数可得曲线的普通方程，再由代入可得答案；

（2）令求出，再由可得答案.

【详解】（1）由消去参数，得，即，

由代入可得

曲线的极坐标方程为.

令，则，故点的极坐标为；

（2）令，则，

故的面积.

20．已知．

(1)若，解不等式；

(2)当时，的最小值为3，若正数m，n满足，证明：．

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）对的取值进行分类，分段求解不等式，再求并集即可；

（2）根据绝对值三角不等式求出，再利用柯西不等式证明即可求得结果.

【详解】（1）当时，不等式为，

当时，可以化为，解得；

当时，可以化为，得，不等式不成立；

当时，可以化为，解得；

综上,可得不等式的解集为.

（2）当时，

当时等号成立，由可得（舍）或，故,

由柯西不等式可得

，即得

当且仅当时，即时取等号．

21．设函数.

(1)作出函数的图象，并求的值域；

(2)若存在，使得不等式成立，求实数的取值范围.

【答案】(1)图象见详解，.

(2)

【分析】（1）将函数绝对值打开得到分段函数，再作出函数的图象；

（2）结合函数与的图象得出结果.

【详解】（1）已知，

则

则的图象如图所示：

由的图象可知的值域为.

（2）由，解得,或,

由，解得.，如下图，

若存在，使得不等式成立，

则由图象可知，，解得

求实数的取值范围.

22．已知函数.

(1)当时，讨论函数在上的单调性；

(2)当时，，求实数的取值范围．

【答案】(1)在上单调递减

(2)

【分析】（1）当时，求得，利用导数符号与函数单调性的关系可得出函数的单调性；

（2）对实数的取值进行分类讨论，在时，利用（1）中的结论验证即可；在或时，由可得出，构造函数，利用导数分析函数在上的单调性，利用单调性可验证在上不恒成立，综合可得出实数的取值范围.

【详解】（1）解：当时，，则．

令，其中，

则，则在上单调递减．

故当时，，

所以在上单调递减．

（2）解：由（1）可知当且当时，函数在上为减函数，

此时，，

则当时，，满足题意；

由，化简可得，

令，其中，则．

当时，若，则，在上是减函数，

所以当时，，不符合题意．

当时，，则在上是减函数，此时，不符合题意．

综上所述，实数的取值范围为.

【点睛】方法点睛：两招破解不等式的恒成立问题

（1）分离参数法

第一步：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题；

第二步：利用导数求该函数的最值；

第三步：根据要求得所求范围．

（2）函数思想法

第一步将不等式转化为含待求参数的函数的最值问题；

第二步：利用导数求该函数的极值；

第三步：构建不等式求解．