2022-2023学年四川省江油中学高二下学期期中考试数学（文）试题含解析

2022-2023学年四川省江油中学高二下学期期中考试数学（文）试题

一、单选题

1．下列结论正确的是（    ）

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若，则

【答案】C

【分析】根据不等式的性质即可逐一求解.

【详解】对于A;若，时，则，故A错；

对于B;若取，则无意义，故B错；

对于C；根据不等式的可加性可知：若，则，故C正确；

对于D;若取，但,故D错；

故选：C

2．设，则在复平面内的共轭复数对应的点位于（    ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】D

【分析】先求，再由复数的几何意义确定复数对应的点位置及象限.

【详解】因为，所以，故复数对应的点为，该点在第四象限，

故选：D.

3．下列命题中正确的是（    ）

A．若命题p为真命题，命题q为假命题，则命题“”为真命题

B．命题“若，则”的否命题为：“若，则”

C．“”是“”的充分不必要条件

D．命题“若则”的逆否命题为：“若，则”

【答案】D

【分析】由逻辑联结词，否命题，充分必要条件，逆否命题的知识点对选项逐一判断.

【详解】对于A, 若命题p为真命题，命题q为假命题，则命题“”为假命题，故A不正确；

对于B, 命题“若，则”的否命题为：“若，则”, 故B不正确；

对于C, “”可解得“或，”，“”可得“”，故“”是“”的必要不充分条件，故C不正确;

对于D, 命题“若则”的逆否命题为：“若，则”,故D正确.

故选：D

4．下列求导运算正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】运用公式求导即可.

【详解】，故A错误；

，故B错误；

，故C错误；

，故D正确.

故选：D

5．命题“”为假命题，则实数的取值范围是（    ）

A．或 B．

C． D．

【答案】C

【分析】先得出为真命题，再分与两种情况，得到不等式，求出实数的取值范围.

【详解】由题意得：为真命题，

当时，，满足要求，

当时，要满足，

解得：，

综上：实数的取值范围是

故选：C

6．设，则“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】由三角函数的性质结合充分条件、必要条件的定义即可得解.

【详解】因为可得：

当时，，充分性成立；

当时，，必要性不成立；

所以当，是的充分不必要条件.

故选：A.

7．曲线经过伸缩变换T得到曲线，那么直线经过伸缩变换T得到的直线方程为

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】由题意明确伸缩变换T的含义，由此对直线进行伸缩变换T，即可得到答案.

【详解】由曲线经过伸缩变换T得到曲线，

可得变换T为： ，

故直线经过伸缩变换T得到的直线方程为，

整理得，

故选：C

8．已知函数的图象如图所示（其中是函数的导函数），则下面四个图象中，的图象大致是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】先利用函数的图象求得函数的单调区间，进而得到正确选项.

【详解】由题给函数的图象，可得

当时，，则，则单调递增；

当时，，则，则单调递减；

当时，，则，则单调递减；

当时，，则，则单调递增；

则单调递增区间为，；单调递减区间为

故仅选项C符合要求.

故选：C

9．小李从甲地到乙地的平均速度为，从乙地到甲地的平均速度为，他往返甲乙两地的平均速度为，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】平均速度等于总路程除以总时间

【详解】设从甲地到乙地的的路程为s，从甲地到乙地的时间为t1，从乙地到甲地的时间为t2，则

，，，

∴，，

故选:D.

10．已知，，为实数，且，则的最小值为（    ）

A． B．1 C．2 D．

【答案】C

【分析】由,根据三维柯西不等式可得的最小值.

【详解】由三维柯西不等式：

当且仅当时取等,

所以

所以，当且仅当时取等,

所以的最小值为：2

故选：C

11．已知函数在上有最小值，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】求出函数的导函数，令，要使函数在有最小值，依题意使得，且当时，当时，即可得到不等式组，解得即可；

【详解】解：因为，，所以，

令，，对称轴为，

当时恒成立，此时在上单调递增，不存在最小值，故舍去；

所以，依题意使得，且当时，当时，

使得在上单调递减，在上单调递增，在处取得极小值即最小值，

所以，所以，解得，即；

故选：A

12．设函数在区间上有两个极值点，则a的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】求得函数，把在上有两个极值点转化为方程在区间上由两个不等式的实数根，令，利用导数求得函数的单调性与最值，结合图象，即可求解.

【详解】由题意，函数，可得，

因为函数在区间上有两个极值点，

等价于关于的方程在区间上由两个不等式的实数根，

令，可得，

当时，，单调递增；

当时，，单调递减，

当时，，当时，，当时，，

要使得函数在区间上有两个极值点，

则满足，即a的取值范围是.

故选：D.

【点睛】对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：

1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；

2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．

3、根据恒成立求解参数的取值时，一般涉及分类参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，通常要设出导数的零点，难度较大.

二、填空题

13．复数___________.

【答案】/

【分析】依据复数除法规则进行计算即可解决.

【详解】

故答案为：

14．不等式的解集是___________

【答案】

【分析】解含有绝对值的不等式，可以采用分类讨论的方法或利用绝对值的几何意义解题﹒

【详解】不等式可化为，

∴，或；

解之得：或，

即不等式的解集是.

故答案为：.

15．已知函数在处取得极值0，则______．

【答案】11

【分析】求出导函数，然后由极值点和极值求出参数值即可得，注意检验符合极值点的定义．

【详解】，则，即，解得或

当时，，不符合题意，舍去；

当时，，

令，得或；令，得．

所以在，上单调递增，在上单调递减，符合题意，则．

故答案为：11．

16．已知为正实数，则的最小值为__________．

【答案】6

【分析】将原式变形为，结合基本不等式即可求得最值.

【详解】由题得，

设，则.

当且仅当时取等.

所以的最小值为6.

故答案为：6

三、解答题

17．已知曲线.

（1）求曲线在点处的切线方程；

（2）求与直线平行的曲线的切线方程.

【答案】（1）；（2）或.

【分析】（1）先求出，从而得切点坐标，再利用导数的几何意义求出切线的斜率，最后由点斜式即可求出切线方程；

（2）设与直线平行的切线的切点为，由导数的几何意义知，切线的斜率，从而求出切点坐标即可求解.

【详解】解：（1）∵，∴，

求导可得，

∴切线的斜率为，

∴所求切线方程为，即.

（2）设与直线平行的切线的切点为，

则切线的斜率为，又所求切线与直线平行，

∴，解得，

代入可得切点为或，

∴所求切线方程为或，

即或.

18．已知，命题，不等式成立，命题，．

(1)若p为真命题，求实数m的取值范围；

(2)若命题pq为假，pq为真，求实数m的取值范围．

【答案】(1)

(2)或

【分析】（1）依题意参变分离即可得到在上恒成立，则，根据二次函数的性质求出，即可得到参数的取值范围；

（2）首先求出命题为真时参数的取值范围，依题意命题p与q一真一假，再分类讨论，分别求出参数的取值范围，即可得解；

【详解】（1）解：∵，不等式成立，∴在上恒成立，因为，，在上单调递减，在上单调递增，且，即；

∴，即p为真命题时，实数m的取值范围是．

（2）解：∵，，∴，即命题q为真命题时，

∵命题p与q一真一假，∴p真q假或p假q真．

当p真q假时，即；

当p假q真时，即．

综上所述，命题p与q一真一假时，实数m的取值范围为或．

19．已知函数．

（1）当时，求不等式的解集;

（2）若，求a的取值范围．

【答案】（1）.（2）.

【分析】（1）利用绝对值的几何意义求得不等式的解集.

（2）利用绝对值不等式化简，由此求得的取值范围.

【详解】（1）[方法一]：绝对值的几何意义法

当时，，表示数轴上的点到和的距离之和，

则表示数轴上的点到和的距离之和不小于，

当或时所对应的数轴上的点到所对应的点距离之和等于6，

∴数轴上到所对应的点距离之和等于大于等于6得到所对应的坐标的范围是或，

所以的解集为.

[方法二]【最优解】：零点分段求解法

  当时，．

当时，，解得；

当时，，无解；

当时，，解得．

综上，的解集为．

（2）[方法一]：绝对值不等式的性质法求最小值

依题意，即恒成立，

，

当且仅当时取等号，

,

故，

所以或，

解得.

所以的取值范围是.

[方法二]【最优解】：绝对值的几何意义法求最小值

由是数轴上数x表示的点到数a表示的点的距离，得，故，下同解法一.

[方法三]：分类讨论+分段函数法

 当时，

则，此时，无解．

当时，

则，此时，由得，．

综上，a的取值范围为．

[方法四]：函数图象法解不等式   

由方法一求得后，构造两个函数和，

即和，

如图，两个函数的图像有且仅有一个交点，

由图易知，则．

【整体点评】（1）解绝对值不等式的方法有几何意义法，零点分段法．

方法一采用几何意义方法，适用于绝对值部分的系数为1的情况，

方法二使用零点分段求解法，适用于更广泛的情况，为最优解；

（2）方法一，利用绝对值不等式的性质求得，利用不等式恒成立的意义得到关于的不等式，然后利用绝对值的意义转化求解；

方法二与方法一不同的是利用绝对值的几何意义求得的最小值，最有简洁快速，为最优解法

方法三利用零点分区间转化为分段函数利用函数单调性求最小值，要注意函数中的各绝对值的零点的大小关系，采用分类讨论方法，使用与更广泛的情况；

方法四与方法一的不同在于得到函数的最小值后，构造关于的函数，利用数形结合思想求解关于的不等式.

20．在直角坐标系中，曲线的参数方程为(为参数).以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.

（1）求曲线的普通方程与曲线的直角坐标方程；

（2）设P为曲线上的动点，求点P到的距离的最大值，并求此时点P的坐标.

【答案】（1）；；（2）；

【解析】（1）根据椭圆的参数方程即可得到的普通方程，利用，即可得到的直角坐标方程.

（2）首先设，利用点到直线的公式得到，再利用三角函数的性质即可得到答案.

【详解】（1）对于曲线有，所以的普通方程为.

对于曲线有，，

，即的直角坐标方程为.

（2）联立，整理可得，

，所以椭圆与直线无公共点，

设，点到直线的距离为

，

当时，取最大值为，

此时点的坐标为．

21．已知函数.

(1)当时，求函数的单调区间和极值；

(2)若函数在区间上单调递增，求实数a的取值范围.

【答案】(1)减区间为，增区间为，极小值为，无极大值

(2)

【分析】（1）先求导，从而得到单调区间，根据单调性可得极值；

（2）由条件可知恒成立，再分离变量求最值即可求解.

【详解】（1）函数的定义域为，

当时，

求导得，整理得：.

由得；由得

从而，函数减区间为，增区间为

所以函数极小值为，无极大值.

（2）由已知时，恒成立，即恒成立，

即恒成立，则.

令函数，由知在单调递增，

从而.

经检验知，当时，函数不是常函数，所以a的取值范围是.

22．已知函数，.

(1)若，求的单调区间；

(2)若关于x的不等式恒成立，求实数a的取值范围.

【答案】(1)单调递减区间为，单调递增区间为；

(2).

【分析】（1）把代入函数解析式中得，对函数进行求导即可得到的单调区间.

（2）恒成立等价于恒成立，令，则.

当时，符合题意，当时，对函数判断单调性，即可得到，即可求出答案.

【详解】（1）当时，，

则.

当时，因为，且，

所以，

所以，单调递减.

当时，因为，且，

所以，

所以，单调递增.

所以当时，的单调递减区间为，单调递增区间为.

（2）恒成立等价于恒成立，

令，

则.

①当时，在区间上恒成立，符合题意；

②当时，，

令，，即在上单调递增，，则存在，使得，此时，即，

则当时，，单调递减；当时，，单调递增.

所以.

令，得.

因为，所以.

综上，实数a的取值范围为.

【点睛】本题考查了利用导数判断函数的单调性和隐零点问题，属于难题.