2022-2023学年山东省滨州市六校联考高二下学期期中质量监测数学试题含解析

2022-2023学年山东省滨州市六校联考高二下学期期中质量监测数学试题

一、单选题

1．从甲、乙、丙幅不同的画中选出幅，送给甲、乙两人，则共有（    ）种不同的送法.

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】直接利用排列计数原理可得结果.

【详解】从幅不同的画中选出幅，送给甲、乙两人，不同的选法种数为种.

故选：A.

2．某人翻开电话本给自己的一位朋友打电话时，发现电话号码的最后一位数字变得模糊不清了，因此决定随机拨号进行尝试，那么该人尝试两次但都拨不对电话号码的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用古典概型即可求得该人尝试两次但都拨不对电话号码的概率.

【详解】记“该人尝试两次但都拨不对电话号码”为事件A，

则,

则该人尝试两次但都拨不对电话号码的概率为

故选：C

3．有一散点图如图所示，在5个数据 中去掉后，下列说法正确的是（    ）

A．相关系数r变小 B．残差平方和变小

C．变量x，y负相关 D．解释变量x与预报变量y的相关性变弱

【答案】B

【分析】根据散点图的分布以及相关性的相关定义，结合选项即可逐一求解.

【详解】对于A, 去掉后，相关性变强，相关系数r变大，

对于B,残差平方和变小，故B正确，

对于C，散点的分布是从左下到右上，故变量x，y正相关，故C错误，

对于D，解释变量x与预报变量y的相关性变强，故D错误，

故选：B

4．已知随机变量服从参数为的两点分布，若，（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】计算，根据计算得到答案.

【详解】随机变量服从参数为的两点分布，则，

.

故选：C

5．若，则（    ）

A．45 B．27 C．15 D．3

【答案】B

【分析】根据展开式的特征，将转化为，利用二项式展开式的通项公式即可求得答案.

【详解】由题意得，

故,

故选：B

6．甲、乙两选手进行乒乓球比赛的初赛，已知每局比赛甲获胜的概率是，乙获胜的概率是，若初赛采取三局两胜制，则乙最终获胜的概率是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】分两局结束比赛和三局结束比赛，分别算出乙获胜的概率，相加即为答案.

【详解】两局结束比赛，乙获胜的概率为；

三局结束比赛，则前两局乙胜一局，甲胜一局，第三局乙获胜，

故乙获胜的概率为，

故乙最终获胜的概率为0.36+0.288=0.648

故选：D.

7．小李的手机购物平台经常出现她喜欢的商品，这是电商平台推送的结果．假设电商平台第一次给小李推送某商品时，她购买此商品的概率为；从第二次推送起，若前一次不购买此商品，则此次购买的概率为；若前一次购买了此商品，则此次仍购买的概率为，那么电商平台在第2次推送时小李不购买此商品的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】利用条件概率公式即可求得电商平台在第2次推送时小李不购买此商品的概率.

【详解】电商平台在第2次推送时小李不购买此商品的概率为

故选：A

8．祖冲之是我国古代的数学家，他是世界上第一个将“圆周率”精算到小数点后第七位，即3.1415926和3.1415927之间，它提出的“祖率”对数学的研究有重大贡献．某教师为了帮助同学们了解，让同学们把小数点后的7位数字1，4，1，5，9，2，6进行随机排列，整数部分3的位置不变，那么可以得到大于3.15的不同数的个数为（    ）

A．328 B．360 C．2160 D．2260

【答案】C

【分析】整体上用间接法求解，先算出，，，，，，的这位数字的随机排列的种数，注意里面有两个，多了倍，要除去，再减去不大于的种数，不大于的数只有小数点前两位为，或，其他全排列.

【详解】由于数字，，，，，，中有两个相同的数字，则进行随机排列可以得到的不同个数有，而只有小数点前两位为，或14时，排列后得到的数字不大于，故不大于的不同个数有种，所以得到的数字大于的不同个数有：种；

故选：C.

二、多选题

9．在5道数学试题中有函数题3道，概率题2道，每次从中抽出1道题，抽出的题不再放回，则（    ）

A．“从5道试题中不放回的随机抽取2道”中包含10个等可能的样本点

B．第1次抽到函数题的概率

C．第1次抽到函数题且第2次抽到概率题的概率

D．第1次抽到函数题的条件下，第2次抽到概率题的概率

【答案】CD

【分析】设事件为“第1次抽到函数题”，设事件为“第2次抽到概率题”，由条件求出样本空间的样本点的个数，即可判断A；由古典概型概率公式即可判断B；求出事件所包含的样本点数，求出，即可判断C；由条件概率公式求出，即可判断D．

【详解】设事件为“第1次抽到函数题”，设事件为“第2次抽到概率题”，

从5道题中每次不放回地随机抽取2道题，

试验的样本包含20个等可能的样本点，即，

对于A：“从5道试题中不放回的随机抽取2道”包含的样本点个数为个，故A错误；

对于B：第1次抽到函数题的概率，故B错误；

对于C：因为，

所以，故C正确；

对于D：在缩小的样本空间上求，

已知第一次抽到函数题，还剩下4道题，其中2道函数题，2道概率题，

所以在事件发生的条件下事件发生的概率，故D正确；

故选：CD．

10．下列关于变量间的线性相关系数说法正确的是（    ）

A．相关系数的取值范围为

B．| r |=1的充要条件是成对数据构成的点都在回归直线上

C．两个变量正相关的充要条件是

D．相关系数r越小，则变量间的线性相关性越弱

【答案】ABC

【分析】利用相关系数的取值范围判断选项A；利用| r |=1的充要条件判断选项B；利用两个变量正相关的充要条件判断选项C；利用变量间的线性相关性与r的关系判断选项D.

【详解】选项A：相关系数的取值范围为.判断正确；

选项B：| r |=1的充要条件是成对数据构成的点都在回归直线上.判断正确；

选项C：两个变量正相关的充要条件是.判断正确；

选项D：相关系数r的绝对值越小，则变量间的线性相关性越弱.判断错误.

故选：ABC

11．某计算机程序每运行一次都会随机出现一个五位二进制数(例如10100)，其中的各位上的数字出现0的概率为，出现1的概率为，记，则当程序运行一次时(    )

A．服从二项分布 B． C． D．

【答案】AC

【分析】分别写出的可能值，并计算其概率，然后判断的概率分布类型，并通过数学期望和方差公式计算期望和公差即可.

【详解】由二进制数的特点，知后4位上的数字的填法有5类：

①后4位上的数字均为0，则，；

②后4位上的数字中只出现1个1，则，；

③后4位上的数字中出现2个1，则，；

④后4位上的数字中出现3个1，则，；

⑤后4位上的数字均为1，则，.

由上述可知，故A正确；易知B错误；，故C正确；，故D错误.

故选:AC.

12．下图是一块高尔顿板示意图：在一块木块上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，将小球从顶端放入，小球在下落过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中，格子从左到右分别编号为1，2，3，……，6，用表示小球落入格子的号码，则（    ）

A． B．

C．当最大时， D．

【答案】ABD

【分析】令，分析可知，利用独立重复试验的概率公式可判断AC选项；利用二项分布的期望公式和期望的性质可判断B选项；利用二项分布的方差公式以及方差的性质可判断D选项．

【详解】记事件 “向右下落”，则事件 “向左下落”，且，

令，因为小球最后落入格子的号码等于事件发生的次数加上1，

而小球在下落过程中共碰撞小木钉5次，则，

对于A，，故A正确；

对于B，故B正确；

对于C,，，

，，

，，

故当或时，概率最大，故C错误，

对于D，，故D正确．

故选:ABD

三、填空题

13．将一枚质地均匀的硬币重复抛掷10次，恰好出现3次正面朝上的概率为_______________．

【答案】

【分析】先求得正面向上的概率，再求得恰好出现3次正面向上的概率即可．

【详解】设“正面向上”为事件，则，则，

所以恰好出现3次正面向上的概率为，

故答案为：．

14．某超市热销的一种袋装面粉质量X（单位：kg）服从正态分布且满足，若从该超市中任意抽取一袋这种面粉，则其质量在kg之间的概率为_________.

【答案】/

【分析】根据正态分布的对称性，即可求得答案.

【详解】由于袋装面粉质量X（单位：kg）服从正态分布且满足，

故，则，

故从该超市中任意抽取一袋这种面粉，

则其质量在kg之间的概率为，

故答案为：

15．已知两个离散型随机变量，满足的分布列如下：

当时，______________________.

【答案】5

【分析】根据分步列中概率之和为1以及期望的公式即可求解，由方差的公式以及性质即可求解.

【详解】由题意可知：，且，解得，

所以，所以,

故答案为：5

四、双空题

16．Poisson分布是常见的离散型概率分布，其概率分布列为， 其中e为自然对数的底数，是Poisson分布的均值.当二项分布的很大而很小时， Poisson分布可作为二项分布的近似，假设每个大肠杆菌基因组含有10000个核苷酸对，采用 紫外线照射大肠杆菌时，每个核苷酸对产生嘧啶二体的概率均为0.0003，则________ ；已知该菌株基因组有一个嘧啶二体就致死，则致死率为_________.

【答案】     3     /

【分析】利用二项分布均值公式求得的值，利用对立事件概率求得致死率.

【详解】由题意得，，，

此时Poisson分布可作为二项分布的近似，此时

故不致死的概率为，

则致死率为

故答案为：3，

五、解答题

17．甲、乙、丙3台车床加工同一型号的零件，甲加工的次品率为6%，乙、丙加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起.已知甲、乙、丙加工的零件数分别占总数的25%，30%，45%.

(1)任取一个零件，求它是次品的概率；

(2)如果取到的零件是次品，求它是丙车床加工的概率.

【答案】(1)0.0525

(2)

【分析】（1）利用全概率公式即可求得任取一个零件是次品的概率；

（2）利用条件概率公式即可求得如果取到的零件是次品则它是丙车床加工的概率.

【详解】（1）设B=“任取一个零件是次品”，A甲=“零件为甲车床加工”，

A乙=“零件为乙车床加工”，A丙=“零件为丙车床加工”，

则，且A甲，A乙，A丙，两两互斥，

根据题意得

.           

由全概率公式得

（2）由题意知“如果取到的零件是次品，它是丙车床加工的概率”

就是计算在B发生的条件下事件A丙发生的概率.

18．根据交管部门有关规定，驾驶电动自行车必须佩戴头盔，保护自身安全，某市去年上半年对此不断进行安全教育.下表是该市某主干路口去年连续5个月监控设备抓拍到的电动自行车驾驶员不戴头盔的统计数据：

(1)请利用所给数据求不戴头盔人数与月份之间的回归直线方程；

(2)交管部门统计连续5年来通过该路口的电动车出事故的100人，分析不戴头盔行为与事故是否伤亡的关系，得到下表，能否有95%的把握认为不戴头盔行为与事故伤亡有关？

参考数据和公式：，

【答案】(1)；

(2)有95%的把握认为不戴头盔行为与事故伤亡有关

【分析】（1）先求得，进而求得不戴头盔人数与月份之间的回归直线方程；

（2）求得的值并与进行大小比较进而得到是否有95%的把握认为不戴头盔行为与事故伤亡有关.

【详解】（1）由题意知， ， ，

  ，

所以，回归直线方程为

（2）

故有95%的把握认为不戴头盔行为与事故伤亡有关

19．（1）计算：．

（2）已知，求的值．

【答案】（1）；（2）126.

【分析】（1）根据排列数的计算公式即可得解；

（2）根据组合数的计算公式即可得解.

【详解】（1）

．

（2）由可得

即，

可得，整理可得：，

解得或，因为，可得，

所以．

20．请从下列两个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答问题.

①第4项的系数与倒数第4项的系数之比为；

②展开式中第四项和第五项的二项式系数相等且最大.

已知的展开式中，

(1)求展开式中所有项的系数和与二项式系数和；

(2)将展开式中所有项重新排列，求有理项不相邻的概率.

【答案】(1)，128

(2)

【分析】（1）利用二项式定理，计算第4项和倒数第4项的系数，得到，解得答案，或根据第四项和第五项的二项式系数相等且最大，得到展开式共有8项，得到答案.

（2）确定展开式共有8项，有理项共4项，根据插空法得到概率为，计算得到答案.

【详解】（1）选择①：展开式的通项为，

展开式中第4项的系数为，倒数第4项的系数为，

，即，，

令可得展开式中所有项的系数和为，

展开式中所有项的二项式系数和为.  

选择②：展开式的通项为，

由展开式中第四项和第五项的二项式系数相等且最大，则展开式共有8项，所以.  

令可得展开式中所有项的系数和为，

展开式中所有项的二项式系数和为.

（2）展开式共有8项，当为整数，即时为有理项，共4项，                        

由插空法可得有理项不相邻的概率为.

21．某学校高一年级上学期有3次英语素养测评，测评结果为一等奖和二等奖，已知甲同学每次测评获一等奖的概率为，乙同学每次测评获一等奖的概率为．

(1)求甲同学在3次测评中恰有1次获得一等奖且第2次测评未获得一等奖的概率；

(2)由于客观因素，这个学期第一次测评成绩作废，后两次成绩作为评价学生的依据.每次测评获得一等奖记5分，二等奖记3分，甲同学英语素养测评得分为，乙同学得分为，设随机变量，求的分布列与期望．

【答案】(1)

(2)分布列见解析，

【分析】（1）根据相互独立事件及互斥事件的概率公式计算可得；

（2）由题意可得的可能取值有，，，，，求出所对应的概率，即可得到分布列与数学期望.

【详解】（1）记“甲同学在3次测评中恰有1次获得一等奖且第2次测评未获得一等奖”为事件，

甲同学第次测试获得一等奖为事件，则，

因为，，相互独立，，，

所以

.

（2）由题意可得的可能取值有，，，，，

所以，

，

，

，

，

所以的分布列为

所以.

22．某中学以学生为主体，以学生的兴趣为导向，注重培育学生广泛的兴趣爱好，开展了丰富多彩的社团活动，其中一项社团活动为《奇妙的化学》，注重培养学生的创新精神和实践能力.本社团在选拔赛阶段，共设两轮比赛．第一轮是实验操作，第二轮是基础知识抢答赛．第一轮给每个小组提供5个实验操作的题目，小组代表从中抽取2个题目，若每个题目的实验流程操作规范可得10分，否则得0分．

(1)已知某小组会5个实验操作题目中的3个，求该小组在第一轮得20分的概率；

(2)已知恰有甲、乙、丙、丁四个小组参加化学基础知识的抢答比赛，每一次由四个小组中的一个回答问题，无论答题对错，该小组回答后由其他小组抢答下一问题，且其他小组有相同的机会抢答下一问题．记第次回答的是甲的概率是，若．

①求和；

②写出与之间的关系式，并比较第9次回答的是甲和第10次回答的是甲的可能性的大小．

【答案】(1)

(2)①，；②，甲的可能性的大

【分析】（1）根据古典概型的概率计算公式直接计算即可；

（2）①根据题意可直接得出和；②当时，可得，化简即可得出与之间的关系式；由与之间的关系式得出是以为首项，为公比的等比数列，写出通项公式，分别计算出和即可得出答案．

【详解】（1）该小组抽中会操作的实验题目的情况有种，

该小组抽取实验题目的所有情况有种，

故该小组在第一轮得20分的概率为．

（2）①由题意知，第一次是甲回答，第二次甲不回答，

所以，则，

；

②由第次回答的是甲的概率是，得当时，第次回答的是甲的概率为，

第次回答的不是甲的概率为，

则，

则与之间的关系式，

以上关系式可化为，且，

所以是以为首项，为公比的等比数列，

所以，，

， ，

所以，

所以第9次回答的是甲的可能性比第10次回答的是甲的可能性的大．