2022-2023学年山东省临沂市兰山区高二下学期期中考试数学试题含解析

2022-2023学年山东省临沂市兰山区高二下学期期中考试数学试题

一、单选题

1．（    ）．

A．15 B．30 C．45 D．60

【答案】C

【分析】由排列数公式，组合数公式及性质计算即可．

【详解】，

故选：C．

2．已知离散型随机变量X的分布列如下表：

若离散型随机变量，则（    ）．

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据分布列的性质求出a，再根据随机变量之间的函数关系即可求解.

【详解】由分布列的性质可知： 解得 ，

由 ， 等价于 ，由表可知 ；

故选：A.

3．若函数，则函数的单调递减区间为（    ）．

A．， B．，

C． D．

【答案】C

【分析】求出函数的定义域，由，求函数的单调递减区间.

【详解】，函数定义域为，

，

令，解得，

则函数的单调递减区间为.

故选：C.

4．在的展开式中，含项的系数是（    ）．

A．110 B．112 C．114 D．116

【答案】D

【分析】利用二项式定理展开二项式，找出含有的项，即可求得项的系数.

【详解】在的展开式中，

含项的系数为.

故选：D

5．“哥德巴赫猜想”被誉为数学皇冠上的一颗明珠，是数学界尚未解决的三大难题之一．其内容是：“任意一一个大于2的偶数都可以写成两个素数（质数）之和．”若我们将10拆成两个正整数的和，则拆成的和式中，在加数都大于2的条件下，两个加数均为素数的概率是（    ）．

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】求出两个加数都大于2的情况，即两个加数都为素数的情况，即可得出概率.

【详解】记“两个加数都大于2”为事件A，“两个加数都为素数”为事件B，

在加数都大于2的条件下则事件A有这5种情况

事件B有这3种情况，故.

故选：B.

6．函数在时有极大值0，则（    ）．

A．7 B．6 C．5 D．11

【答案】D

【分析】由题意可得根据，解得，再验证函数在时是否取得极值，即可得解.

【详解】因为，所以，

由题意可知，，即，解得或，

当时，，

函数为上的递增函数，此时函数无极值，不合题意；

当时，，

令，得或，令，得，

所以函数在和上递增，在上递减，

所以在时取得极大值，符合题意，

综上所述.

故选：D.

7．五一国际劳动节，学校团委举办“我劳动，我快乐”的演讲比赛．某班有甲、乙、丙等5名同学参加，抽签确定出场顺序．在“学生甲必须在学生乙的前面出场”的前提下，学生甲、乙相邻出场的概率为（    ）．

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】设“学生甲、乙相邻出场”为事件，“学生甲必须在学生乙的前面出场”为事件，根据倍缩法求出学生甲必须在学生乙的前面出场的种数，得出，再根据捆绑法求出学生甲必须在学生乙的前面出场且甲、乙相邻出场的种数，求出，根据条件概率公式计算即可．

【详解】设“学生甲、乙相邻出场”为事件，“学生甲必须在学生乙的前面出场”为事件，

共有种情况，学生甲必须在学生乙的前面出场的情况有种，

所以，

甲乙同学按出场顺序一定，且相邻出场的情况共有种，

所以，

则，

故选：B．

8．已知不等式恰有1个整数解，则实数a的取值范围为（    ）．

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】不等式可转化为，设，，作出与的图像，结合图像分类讨论即可得解.

【详解】由不等式，可得，

设，，

则，

当时，，在上单调递增，

当时，，在上单调递减，

当时，取极大值1.

又，且时，，

直线恒过点，

当时，作出与的图像如下所示，

恰有1个整数解，只需要满足，解得，

当时，显然有无穷多个整数解，不满足条件，

所以的取值范围为.

故选:D.

二、多选题

9．下列命题中，正确的是（    ）．

A．随机变量X服从二项分布，若，，则

B．某投掷类游戏闯关规则是游戏者最多投掷5次，只要有一次投中，游戏者即闯关成功，并停止投掷，已知每次投中的概率为，则游戏者闯关成功的概率为

C．从3个红球2个白球中，一次摸出3个球，则摸出红球的个数X服从超几何分布，

D．某人在10次射击中，击中目标的次数为X，，则当且仅当时概率最大

【答案】BCD

【分析】利用二项分布的期望方差公式计算，求得p,q的值，从而判断A；

利用间接法计算，可以判定B；

利用超几何分布，写出分布列，计算期望，可以判定C；

利用二项分布的性质可以判定D.

【详解】A：，可得，A错；

B：利用间接法有，B对；

C：，，，

，则期望,故C正确；

D：，所以，当时概率最大，所以D对.

故选：BCD.

10．已知函数，则（    ）．

A．有两个极值点

B．点是曲线的对称中心

C．有三个零点

D．若方程有两个不同的根，则或5

【答案】ABD

【分析】利用导数研究的单调性，进而判断极值点、零点情况，根据是否成立判断对称中心，由函数性质及其图象判断有两个根对应k值.

【详解】由，则或时，时，

所以在、上单调递增，在上单调递减，

所以分别是的极大值点、极小值点，A对；

，则，故点是曲线的对称中心，B对；

由，，，

结合单调性知：在存在一个零点，其它位置无零点，C错；

若方程有两个不同的根，由上分析知：或5，D对.

故选：ABD

11．已知，是两个事件，且，，则下列结论一定成立的是（    ）．

A．

B．若，则与独立

C．若与独立，且，则

D．若与独立，且，，则

【答案】BC

【分析】假设与相互独立得到，即可判断A，根据条件概率公式及相互独立事件的概率公式判断B、C、D.

【详解】对于A：因为，当与相互独立时，

此时，由于无法确定，的大小关系，

故无法确定与的大小关系，故A错误；

对于B：因为，则，

所以，即，所以与独立，故B正确；

对于C：若与独立，则，

又，所以，则，即，故C正确；

对于D：因为与独立，且，，

所以，则，

所以，故D错误；

故选：BC

12．已知函数，是函数的极值点，以下几个结论中正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】AD

【分析】求导数,利用零点存在定理,可判断A,B;

,可判断C，D.

【详解】函数,,

∵是函数的极值点，∴，即，

,当时，

,,即A选项正确,B选项不正确;

,

即D正确,C不正确.

故答案为:AD.

【点睛】本题考查利用导数研究函数的极值,考查学生的计算能力,属于中档题.

三、填空题

13．已知随机变量服从正态分布，若，则__________．

【答案】0.4/

【分析】根据正态分布的对称性可得.

【详解】  

因随机变量服从正态分布，故该正态曲线关于对称，

因，所以，

所以，

，

故答案为：0.4

14．某大学四名学生利用暑期到学校的实践基地进行实习，每人从，，，四个基地中任选一个，不考虑其他条件，则不同的选法有__________．

【答案】

【分析】按照分步乘法计数原理计算可得.

【详解】依题意每位同学均有种选择，

按照分步乘法计数原理可得不同的选法有种.

故答案为：

15．假设有两箱零件，第一箱内装有10件，其中有3件次品；第二箱内装有20件，其中有2件次品．现从两箱中随意挑选一箱，然后从该箱中随机取1个零件，已知取出的是次品，则它是从第一箱取出的概率为__________．

【答案】0.75/

【分析】利用条件概率求取出的是次品，求它是从第一箱取出的概率.

【详解】设事件表示从第箱中取一个零件，事件表示取出的零件是次品，则

,

所以已知取出的是次品，求它是从第一箱取出的概率为.

故答案为：.

16．函数是定义在区间上的可导函数，其导函数为，且满足，则不等式的解集为__________．

【答案】

【分析】令，，结合题设条件可得该函数为增函数，故可求不等式的解.

【详解】令，，则，

化简得到，故在上为增函数，

而由可得，

即，故即，

故答案为：.

四、解答题

17．甲、乙两种品牌手表，它们的日走时误差分别为X和Y（单位：s），其分布列为

甲品牌的走时误差分布列

乙品牌的走时误差分布列

(1)求和；

(2)求和，并比较两种品牌手表的性能．

【答案】(1)，．

(2)，，甲种品牌手表的性能要好

【分析】（1）由分布列可得．

（2）由分布列可得，进而可得和，比较其大小可得答案．

【详解】（1），

．

（2），

，

因为，，

所以仅考虑误差，甲种品牌手表的性能要好

18．已知函数.

(1)若在处取得极小值，求实数的值；

(2)若在上单调递增，求实数的取值范围.

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）根据求参数a，验证是否在处取得极小值即可.

（2）将问题转化为在上恒成立，结合不等式右侧的单调性求范围.

【详解】（1）因为，

所以，得，此时，

所以在上，单调递减，在上，单调递增，

所以在处取得极小值，符合题意，

故实数的值为.

（2）由（1）知，，

因为在上单调递增，所以在上恒成立.

因为，所以在上恒成立，即在上恒成立.

因为在上单调递减，所以，

故实数的取值范围为.

19．已知展开式的前三项的二项式系数之和为22，所有项的系数之和为1．

(1)求n和a的值；

(2)展开式中是否存在常数项？若有，求出常数项；若没有，请说明理由．

【答案】(1)，

(2)有，．

【分析】（1）结合题意可得，根据组合数公式求得，然后利用赋值法即可求出a的值；

（2）先根据二项式通项公式得到，再根据的次数为零解得常数项即可.

【详解】（1）由题意，，

即．

解得或（舍去），所以．

因为所有项的系数之和为1，

所以，解得（舍去）或．

所以.

（2）展开式中存在常数项，

因为，

所以．

令，解得，

所以展开式中常数项为．

20．甲、乙两箱各有6个大小相同的小球，其中甲箱2个红球，4个蓝球，乙箱3个红球，3个蓝球．先从甲箱随机摸出2个球放入乙箱，再从乙箱随机摸出1个球．

(1)从甲箱摸出的2个球至少有一个蓝球的概率；

(2)从乙箱摸出的小球是蓝球的概率．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）设事件“从甲箱摸出的蓝球个数”，（，，），根据互斥事件的概率公式计算可得；

（2）利用全概率公式计算可得.

【详解】（1）设事件“从甲箱摸出的蓝球个数”，（，，），

事件“从甲箱摸出的个球至少有一个蓝球”，

则且与互斥，所以，

所以从甲箱摸出的个球至少有一个蓝球的概率为．

（2）记事件“从乙箱中摸出的是蓝球”，

则，

，

所以从乙箱摸出的是蓝球概率为．

21．基础学科招生改革试点，也称强基计划，是教育部开展的招生改革工作，主要是为了选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生.强基计划的校考由试点高校自主命题，某试点高校校考过程中笔试通过后才能进入面试环节.2022年报考该试点高校的学生的笔试成绩X近似服从正态分布.其中，近似为样本平均数，近似为样本方差.已知的近似值为76.5，s的近似值为5.5，以样本估计总体.

(1)假设有84.135％的学生的笔试成绩高于该校预期的平均成绩，求该校预期的平均成绩大约是多少？

(2)若笔试成绩高于76.5分进入面试，若从报考该试点高校的学生中随机抽取10人，设其中进入面试学生数为，求随机变量的期望.

(3)现有甲、乙、丙、丁四名学生进入了面试，且他们通过面试的概率分别为、、、.设这4名学生中通过面试的人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望.

参考数据：若，则：；；.

【答案】(1)71（分）

(2)5

(3)分布列见解析，

【分析】（1）X近似服从正态分布，根据正态分布的对称性可得，即可求解；

（2）随机变量服从且即可求出分布列，由二项分布的期望公式即可计算期望；

（3）求出的可能值，分别求出对应的概率值，写出分布列，进而计算期望作答.

【详解】（1）由，

又，，

所以该校预期的平均成绩大约是（分）；

（2）由得，，

即从所有参加笔试的学生中随机抽取1名学生，该生笔试成绩76.5以上的概率为.

所以随机变量服从二项分布，所以；

（3）X的可能取值为0，1，2，3，4.

，

，

，

，

，

所以.

22．已知函数，函数．

(1)求的单调区间；

(2)当时，若与的图象在区间上有两个不同的交点，求k的取值范围．

【答案】(1)答案见解析；

(2)

【分析】（1）求解导函数，然后分类讨论求单调区间；（2）利用参变分离法，将题目条件转化为在上有两个不同的实根，构造函数，求导判断单调性并求解最值，从而得k的取值范围.

【详解】（1）由题意可得的定义域为，且．

①当时，由，得；由，得．

故函数的单调递增区间为，单调递减区间为．

②当时，由，得；由，得．

故函数的单调递减区间为，单调递增区间为．

综上，当时，的单调递增区间为，单调递减区间为；

当时，的单调递减区间为，单调递增区间为．

（2）当时，令，得，即，

则与的图象在上有两个不同的交点，等价于在上有两个不同的实根．

设，则．

由，得；由，得．

函数在上单调递增，在上单调递减，故．

因为，，且，

所以要使在上有两个不同的实根，则，

即k的取值范围为．

【点睛】导数是研究函数的单调性、极值（最值）最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：（1）考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．（2）利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．（3）利用导数求函数的最值（极值），解决生活中的优化问题．（4）考查数形结合思想的应用．