2022-2023学年山东省实验中学高二下学期期中考试数学试题含解析

2022-2023学年山东省实验中学高二下学期期中考试数学试题

一、单选题

1．若，则正整数（    ）

A．7 B．8 C．9 D．10

【答案】B

【分析】利用组合数、排列数的定义直接展开，解方程即可求得.

【详解】因为，

所以，解得：.

故选：8

2．点A是曲线上任意一点，则点A到直线的最小距离为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】动点在曲线，则找出曲线上某点的斜率与直线的斜率相等的点为距离最小的点，利用导数的几何意义即可

【详解】不妨设，定义域为：

对求导可得：

令

解得：（其中舍去）

当时，，则此时该点到直线的距离为最小

根据点到直线的距离公式可得：

解得：

故选：A

3．设集合，集合，定义，则子集的个数是（    ）

A． B． C． D．10

【答案】B

【分析】根据所给的两个集合的元素，写出两个集合的交集和并集，根据新定义的集合规则，得到和分别有种和种情况，最后由分步计数原理得出的元素个数，再根据含有个元素的集合有个子集计算可得.

【详解】因为，，所以，，

又，

则有2种情况，有5种情况，则由乘法原理可得的元素个数有个，

所以子集的个数是.

故选：B

4．若函数，满足且，则（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】C

【分析】先取，得与之间的关系，然后根据导数的运算直接求导，代值可得.

【详解】取，则有，即，又因为所以，所以，所以.

故选：C

5．设，其中是自然对数的底数，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】设函数，利用导数求得函数在单调递减，在上单调递增，再化简，结合函数的单调性，即可求解.

【详解】设函数，可得，

当时，可得，单调递减；

当时，可得，单调递增，

又由，

因为，所以，即.

故选：D.

6．设某医院仓库中有10盒同样规格的X光片，已知其中有5 盒、3盒、2盒依次是甲厂、乙厂、丙厂生产的.且甲、乙、丙三厂生产该种X光片的次品率依次为，现从这10盒中任取一盒，再从这盒中任取一张X光片，则取得的X光片是次品的概率为（    ）

A．0.08 B．0.1 C．0.15 D．0.2

【答案】A

【分析】利用条件概率公式即可求解.

【详解】以A1，A2，A3分别表示取得的这盒X光片是由甲厂、乙厂、丙厂生产的，

B表示取得的X光片为次品，

P=，P=，P=，

P=，P=，P=；

则由全概率公式，

所求概率为P=P+P+P

=×+×+×=0.08.

故选：A

7．已知函数（为实数），且，则函数在区间上的极值点的个数为（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】C

【分析】由，结合的取值范围得到，再结合零点存在定理，利用导数法求解.

【详解】解：因为，

所以，则或，

因为，所以.

则，

所以在上单调递增，

又，，

所以在上仅有一个零点.

所以函数在上先单调递减再单调递增，

又，，

即在上存在一个极值点.

同理知在上也存在一个极值点，

因此在上共有3个极值点.

故选：C

8．定义：设函数在上的导函数为，若在上也存在导函数，则称函数在上存在二阶导函数，简记为.若在区间上，则称函数在区间上为“凹函数”.已知在区间上为“凹函数”，则实数的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据“凹函数”的定义得到，即在上恒成立，构造函数推得，再构造函数推得，从而得到，由此得解.

【详解】因为，所以，，

则，，

因为在区间上为“凹函数”，所以，

即在上恒成立，则在上恒成立，

当，即时，因为，，所以，

故显然成立，

当，即时，令，则在上恒成立，

又因为，所以在上单调递增，

所以，即，则在上恒成立，

令，则，

又，当时，；当时，；

所以在上单调递减，在上单调递增，则，

所以，

综上：，即.

故选：D.

【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：

一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；

二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．

二、多选题

9．已知随机变量满足，若，则下列选项正确的有（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ACD

【分析】根据已知条件及二项分布的期望与方差公式，结合期望与方差的线性公式即可求解.

【详解】因为，所以，故A正确；

所以，故C正确；

又因为，所以,

所以，故B不正确；

所以，故D正确.

故选：ACD.

10．已知二项式的展开式中所有项的二项式系数和为256，则下列说法正确的是（    ）

A．二项式系数最大的项为第5项 B．所有项的系数和为1

C．系数绝对值最大的项是第6项 D．有理项共4项.

【答案】AB

【分析】由二项式系数的性质求得，令可求得展开式中所有项系数和，写出二项展开式通项公式，由第的系数绝对值不小于前后两项的系数绝对值可求得，得系数绝对值最大的项，由的指数为整数可得有理项个数．

【详解】由题意，，

展开式中共有9项，二项式系数最大的项为第5项，A正确；

所有项的系数和为，B正确；

，，

显然时，是有理项，共5项，D错误；

由，解得，所以，系数绝对值最大的项是第5项，C错；

故选：AB．

11．给出下列命题，其中正确的命题有（    ）

A．若随机变量服从正态分布，，则

B．公共汽车上有10位乘客，沿途5个车站，乘客下车的可能方式有种

C．从双不同颜色的鞋子中任取只，其中恰好只有一双同色的取法有240种

D．西部某县委将7位大学生志愿者（4男3女）分成两组，分配到两所小学支教，若要求女生不能单独成组，且每组最多5人，则不同的分配方案共有104种

【答案】ACD

【分析】根据正态分布的性质判断A，根据分步乘法计数原理判断B，先选一双鞋子，再从剩下的双鞋子中各选一只，按照分步乘法计数原理判断C，先分组、再分配，即可判断D.

【详解】对于A：若随机变量服从正态分布，，则，

，故A正确；

对于B：公共汽车上有10位乘客，沿途5个车站，乘客下车的可能方式有种，故B错误；

对于C：先从双不同颜色的鞋子中任选一双有种取法，

再从剩余的双鞋子中的任意两双，在这两双中各选一只有，

由分步乘法计数原理可得从双不同颜色的鞋子中任取只，

其中恰好只有一双同色的不同取法共有，故C正确；

对于D：分组的方案有、和、两类，第一类有种；

第二类有种，所以共有种不同的方案，故D正确；

故选：ACD．

12．若函数在定义域内的某个区间上是单调增函数，且在区间上也是单调增函数，则称是上的“一致递增函数”.已知，若函数是区间上的“一致递增函数”，则区间可能是

A． B． C． D．

【答案】AD

【分析】求导得到，，放缩得到导函数的正负，结合特殊值排除得到答案.

【详解】，则；，则，

当时，，函数单调递增，

，函数单调递增，A满足；

，故B不满足；，故C不满足；

当时，，，故D满足.

故选：AD.

【点睛】本题考查了函数的新定义问题，利用导数判断函数的单调性，意在考查学生的计算能力和应用能力.

三、填空题

13．3人坐在一排8个座位上，若每人的左右两边都有空座位，则不同的坐法种数是___________.

【答案】24

【详解】解析过程略

14．若，______．

【答案】176

【分析】分析所给等式特点：等式右边每一项都含有，故将已知等式左边等价变形为，结合二项展开式的通项即可求得.

【详解】因为，

所以展开后含有的项为，

所以.

故答案为：176.

15．甲、乙、丙、丁人分别到、、、四所学校实习，每所学校一人，在甲不去校的条件下，乙不去校的概率是______．

【答案】

【分析】利用古典概型的概率公式求出甲不去校的概率和甲不去校且乙不去校的概率，然后由条件概率的概率公式求解即可．

【详解】由题意，甲不去校的概率为，

甲不去校且乙不去校的概率为，

则在甲不去校的条件下，乙不去校的概率．

故答案为：．

16．已知函数是定义在R上的奇函数，若，为的导函数，对，总有，则的解集为________.

【答案】

【分析】利用题意可得到的图象关于点对称，，令，利用导数可得到在上是增函数，又即可求解

【详解】因为函数是定义在R上的奇函数，所以函数关于原点对称，

又，故的图象关于点对称，，

令，∴，

∵对，∴∴在上是增函数.

又，

∴的解集是

故答案为：

四、解答题

17．设函数．

(1)当时，求f（6，y）的展开式中二项式系数最大的项；

(2)若且，求．

【答案】(1)；

(2)81.

【详解】（1）当时，求的展开式有7项，二项式系数最大的项为第4项，

.

（2）.

因为，所以.

所以，令，则有，

所以.

18．已知 ()

(1)当时，求函数在上的最大值和最小值．

(2)若函数在上单调递增，求实数的取值范围；

【答案】(1)，

(2)

【分析】（1）令，易知是函数在上唯一的极小值点，故可求得最小值，计算并比较的大小即可求得最大值

（2）若函数在上单调递增，则在上恒成立，求得在的最小值即可

【详解】（1）当时，，令得，

当时，，单调递减；

当时，，单调递增；

故是函数在上唯一的极小值点，故．

又，，故

（2）,

若函数在上单调递增，则在上恒成立，

即在上恒成立，即

所以实数的取值范围为．

19．高二年级某班学生在数学校本课程选课过程中，已知第一小组与第二小组各有六位同学.每位同学都只选了一个科目，第一小组选《数学运算》的有1人，选《数学解题思想与方法》的有5人，第二小组选《数学运算》的有2人，选《数学解题思想与方法》的有4人，现从第一、第二两小组各任选2人分析选课情况.

(1)求选出的4 人均选《数学解题思想与方法》的概率；

(2)设为选出的4个人中选《数学运算》的人数，求的分布列和数学期望．

【答案】(1)

(2)分布列见解析，期望为

【分析】（1）设“从第一小组选出的2人选《数学解题思想与方法》”为事件，“从第二小组选出的2人选《数学解题思想与方法》”为事件，结合相互独立事件的概率乘法公式，即可求解；

（2）先随机变量可能的取值为0，1，2，3，求得相应的概率，得出随机变量的分布列，利用期望的公式，即可求解.

【详解】（1）解：设“从第一小组选出的2人选《数学解题思想与方法》”为事件，“从第二小组选出的2人选《数学解题思想与方法》”为事件,

由于事 件、相互独立，且，

所以选出的4人均选《数学解题思想与方法》的概率为.

（2）解：由题意，随机变量可能的取值为0，1，2，3，

可得，，

，，

所以随机变量的分布列为：

所以随机变量的数学期望 .

20．设函数．

(1)求曲线在处的切线方程；

(2)证明：当时，恒成立；

(3)证明：当且时，．

【答案】(1)

(2)证明见解析

(3)证明见解析

【分析】（1）求出函数的导函数，即可得到切线的斜率，从而求出切线方程；

（2）令，，利用导数说明函数的单调性，即可证明；

（3）结合（2）的结论，令，且，可得，再累加即可.

【详解】（1）因为定义域为，

又，故，

故切线方程为，即.

（2）令，，

则

当时，，单调递增

故，

即当时，，即当时，恒成立；

（3）由（2）可知当时，恒成立，

且当且仅当时，所以当时，恒成立，

令，且，得，

即，

由此可得，，

，

……

，

将以上个式子相加得，且.

21．某市政府为了引导居民合理用水，决定全面实施阶梯水价，居民用水原则上以住宅为单位（一套住宅为一户）.

为了了解全市居民月用水量的分布情况，通过抽样，获得了户居民的月用水量（单位：吨），得到统计表如下：

（1）若用水量不超过吨时，按元/吨计算水费；若用水量超过吨且不超过吨时，超过吨部分按元/吨计算水费；若用水量超过吨时，超过吨部分按元/吨计算水费.试计算：若某居民用水吨，则应交水费多少元？

（2）现要在这户家庭中任意选取户，求取到第二阶梯水量的户数的分布列与期望；

（3）用抽到的户家庭作为样本估计全市的居民用水情况，从全市依次随机抽取户，若抽到户月用水量为第一阶梯的可能性最大，求的值.

【答案】（1）75元（2）见解析，（3）6

【分析】（1）由题意直接计算即可得解；

（2）由超几何分布的概率公式求得、、、，即可列出分布列，由期望公式计算即可求得期望，即可得解；

（3）由二项分布的概率公式可得，，由题意列出不等式，即可得解.

【详解】（1）若某居民用水吨，则需交费（元）；

（2）设取到第二阶梯电量的用户数为，可知第二阶梯电量的用户有户，则可取，

，，，.

故的分布列是

所以；

（3）由题可知从全市中抽取户，其中用电量为第一阶梯的户数满足，

于是为，，

由，

化简得，解得.

因为，所以.

【点睛】本题考查了二项分布和超几何分布的应用，考查了离散型随机变量分布列和期望的求解，属于中档题.

22．已知函数f（x）＝ax﹣（a+2）lnx2，其中a∈R．

（1）当a＝4时，求函数f（x）的极值；

（2）试讨论函数f（x）在（1，e）上的零点个数．

【答案】（1）极大值6ln2，极小值4；（2）分类讨论，详见解析．

【分析】（1）把a＝4代入后对函数求导，然后结合导数可求函数的单调性，进而可求极值；

（2）先对函数求导，然后结合导数与单调性关系对a进行分类讨论，确定导数符号，然后结合导数与函数的性质可求．

【详解】（1）当a＝4时，f（x）＝4x﹣6lnx2，，x＞0，

易得f（x）在（0，），（1，+∞）上单调递增，在（）上单调递减，

故当x时，函数取得极大值f（）＝6ln2，当x＝1时，函数取得极小值f（1）＝4，

（2），

当a≤0时，f（x）在（1，e）上单调递减，f（x）＜f（1）＝a≤0，此时函数在（1，e）上没有零点；

当a≥2时，f（x）在（1，e）上单调递增，f（x）＞f（1）＝a≥2，此时函数在（1，e）上没有零点；

当0即时，f（x）在（1，e）上单调递减，由题意可得，，

解可得，0，

当即时，f（x）在（1，）上单调递减，在（）上单调递增，

由于f（1）＝a＞0，f（e）＝a（e﹣1），

令g（a）＝f（）＝2﹣（a+2）lna+2＝（a+2）lna﹣（1+ln2）a+4﹣2ln2，

令h（a），则0，

所以h（a）在（）上递减，h（a）＞h（2）＝1＞0，即g′（a）＞0，

所以g（a）在（）上递增，g（a）＞g（）＝2，

即f（）＞0，

所以f（x）在（1，e）上没有零点，

综上，当0＜a时，f（x）在（1，e）上有唯一零点，

当a≤0或a时，f（x）在（1，e）上没有零点．

【点睛】本题综合考查了导数与函数性质的应用，体现了转化思想与分类讨论思想的应用，属于难题．