2022-2023学年陕西省宝鸡市千阳县高二下学期期中数学（理）试题含解析

这是一份2022-2023学年陕西省宝鸡市千阳县高二下学期期中数学（理）试题含解析，共13页。试卷主要包含了单选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年陕西省宝鸡市千阳县高二下学期期中数学（理）试题 一、单选题1．已知复数，，则在复平面内对应的点位于（　　）A．第一象限 B．第三象限 C．第二象限 D．第四象限【答案】D【分析】根据复数代数形式的乘除运算化简，求出其在复平面内对应点的坐标，即可得到答案.【详解】＝2＋i，＝1＋i，，在复平面内对应的点为，位于第四象限.故选D.【点睛】本题考查复数代数形式的乘除法运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，属于基础题.2．安排4名大学生去3所学校支教，每人只能去一个学校，每个学校至少分配一名大学生，则不同的分派方法共有（    ）A．36种 B．24种 C．18种 D．12种【答案】A【分析】先将4名大学生分成3组，其中1组2人，其它2组各1个，然后将这3组分配到3个学校即可【详解】解：由题意可知，先将4名大学生分成3组，其中1组2人，其它2组各1个，有种方法，然后将这3组分配到3个学校有种方法，由分步乘法原理可得，共有种方法，故选：A3．若复数为纯虚数，则它的共轭复数是（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】化简复数，根据为纯虚数求出的值，再求与共轭复数．【详解】解：复数，为纯虚数，，，，共轭复数．故选：．4．等于(　　)A．0 B．1 C．2 D．4【答案】D【分析】由已知，先把拆分为，然后再写出其积分表达式，直接计算即可.【详解】.故选：D.5．已知，且，试证"数列对任意正整数都满足，或者对任意正整数都满足，当此题用反证法否定结论时，应为（    ）A．对任意的正整数，都有B．存在正整数，使C．存在正整数，使且D．存在正整数，使【答案】D【分析】区分所给命题的题设与结论，再利用反证法证明命题的一般步骤即可判断作答.【详解】解：命题的结论等价于“数列是严格单调递增数列或严格单调递减数列”，其反设是“数列是常数列或者摆动数列”，因而存在一项不比两边的项大或者不比两边的项小，即且，或者且，所以.故选；D.6．设，，则与的大小关系为（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】先利用微积分基本定理计算二个定积分，再比较它们的大小即可.【详解】，，∵，∴.故选：C．7．函数的导数是（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据复合函数的导函数运算法则计算可得.【详解】令，，，则，所以.故选：A8．在的展开式中，的系数为（    ）A． B． C． D．40【答案】A【分析】利用二项展开式的通项直接求得.【详解】的展开式的通项公式为，要求项，只需令r=3,所以的系数为.故选：A【点睛】二项式定理类问题的处理思路：利用二项展开式的通项进行分析．9．函数的定义域为开区间，导函数在内的图象如图所示，则函数在开区间内有极小值点（       ）A．个 B．个 C．个 D．个【答案】A【分析】观察函数在内的图象与轴有四个公共点，利用极小值点的定义分析得解.【详解】解：由导函数在区间内的图象可知，函数在内的图象与轴有四个公共点，在从左到右第一个交点处导数左正右负，它是极大值点；在从左到右第二个交点处导数左负右正，它是极小值点；在从左到右第三个交点处导数左正右正，它不是极值点；在从左到右第四个交点处导数左正右负，它是极大值点.所以函数在开区间内的极小值点有个.故选：A.10．已知函数在R上可导，且，则与的大小关系是A． B．C． D．不确定【答案】B【分析】先求得，然后比较与的大小关系.【详解】，所以，所以.故选：B11．若不等式2xln x≥－x2＋ax－3对x∈(0，＋∞)恒成立，则实数a的取值范围是(　　)A．(－∞，0) B．(－∞，4] C．(0，＋∞) D．[4，＋∞)【答案】B【分析】分析：由已知条件推导出，令，利用导数形式求出时，取得最小值4，由此能求出实数的取值范围.【详解】详解：由题意对上恒成立，所以在上恒成立，设，则，由，得，当时，，当时，，所以时，，所以，即实数的取值范围是.点睛：利用导数研究不等式恒成立或解不等式问题，通常首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题．12．已知定义在R上的函数满足.若，则（    ）A． B．C． D．与的大小关系不确定【答案】A【分析】构造函数，利用导数判断函数的单调性，从而即可比较函数值的大小关系.【详解】解：因为，所以，构造函数，则，所以函数在上单调递增，又，所以，即，所以，故选：A. 二、填空题13．复数满足，则的共轭复数________.【答案】【分析】先求出复数，进而求得其共轭复数．【详解】解：，．故答案为：．14．已知函数，其中为实数，为的导函数，若，则的值为_________．【答案】3【详解】试题分析：，所以．【解析】导数的运算．【名师点睛】(1)在解答过程中常见的错误有：①商的求导中，符号判定错误．②不能正确运用求导公式和求导法则．(2)求函数的导数应注意：①求导之前利用代数或三角变换先进行化简，减少运算量．②根式形式，先化为分数指数幂，再求导．③复合函数求导先确定复合关系，由外向内逐层求导，必要时可换元处理．  三、双空题15．某商场从生产厂家以每件20元购进一批商品，若该商品零售价为p元，销量Q(单位：件)与零售价p(单位：元)有如下关系：Q＝8 300－170p－p2，则该商品零售价定为________元时利润最大，利润的最大值为________元．【答案】     30     23 000【分析】先根据利润等于每件利润乘以销量得函数关系式，再利用导数求函数最大值以及对应自变量.【详解】设该商品的利润为y元，由题意知，y＝Q(p－20)＝－p3－150p2＋11 700p－166 000则y′＝－3p2－300p＋11 700，令y′＝0得p＝30或p＝－130(舍)，当p∈(0，30)时，y′>0，当p∈(30，＋∞)时，y′<0，因此当p＝30时，y有最大值，ymax＝23 000.【点睛】利用导数解答函数最值的一般步骤：第一步：利用得可疑最值点，如导函数不变号，则根据函数单调性确定最值点在对应区间端点取得；第二步：比较极值同端点值的大小．在应用题中若极值点唯一，则极值点为开区间的最值点. 四、填空题16．两千多年前，古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题.他们在沙滩上画点或用小石子表示数，按照点或小石子能排列的形状对数进行分类.下图中实心点的个数5，9，14，20，，被称为梯形数.根据图形的构成，记第2018个梯形数为，则__________.【答案】【分析】观察梯形数的前几项，归纳得，结合等差数列前项和公式得，由此即可得到答案．【详解】解：观察梯形数的前几项，得由此可得.故答案为：． 五、解答题17．某中学将要举行校园歌手大赛，现有4男3女参加，需要安排他们的出场顺序．（结果用数字作答）（1）如果3个女生都不相邻，那么有多少种不同的出场顺序？（2）如果3位女生都相邻，且男生甲不在第一个出场，那么有多少种不同的出场顺序？【答案】（1）；（2）576．【分析】（1）采用 “插空法”， 先排4名男生，形成5个空档，将3名女生插入其中，由此可得；（2）3名女生捆绑作为一个人，优先排男生甲，然后其他人全排列．【详解】（1）采用 “插空法”，先排4名男生，有种，形成5个空档，将3名女生插入其中，有种，最后由分步乘法计数原理可得，共有种不同的出场顺序．（2）3名女生捆绑有种，然后优先排男生甲有4种选择，其余可以进行全排列，所以共有=576．【点睛】本题考查排列的综合应用，考查“相邻”与“不相邻”问题．排列时，相邻问题用捆绑法，不相邻问题用插空法．18．已知二项式的第三项和第八项的二项式系数相等.（1）求的值；（2）若展开式的常数项为，求.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由已知可得出，进而可求得的值；（2）写出二项展开式的通项，令的指数为零，可求得参数的值，再将参数的值代入通项可得出关于的等式，由此可解得实数的值.【详解】（1）由第项和第项的二项式系数相等可得，解得；（2）由（1）知，展开式的第项为：；令，得，此时展开式的常数项为，解得.19．已知复数．（1）若复数与在复平面上所对应的点关于虚轴对称，求；（2）若实数a，b满足，求的共轭复数．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）先化简得，再根据复数与在复平面上所对应的点关于虚轴对称即可求得；（2）由得，根据复数相等的概念求出的值即得解.【详解】由已知得复数（1）因为复数与在复平面上所对应的点关于虚轴对称，则它们实部互为相反数，虚部相等，所以．（2）因为，所以，整理得，因为，所以，且，解得，，所以复数.所以的共轭复数为.【点睛】本题主要考查复数的运算和共轭复数的概念，考查复数相等的概念，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.20．已知函数．(1)求曲线在点处的切线方程；(2)求函数的极值．【答案】(1)(2)极大值为，极小值为 【分析】（1）由函数，求得，再根据导数的几何意义即可得出答案；（2）根据函数极值的定义求出函数的极值即可．【详解】（1）解：，则，所以曲线在点处的切线方程为，即；（2）解：，当或时，，当时，，所以函数在和上递增，在上递减，所以函数得极大值为，极小值为.21．如图，在三棱锥中，为的中点.(1)证明：平面； (2)若为棱的中点，求二面角的正弦值.【答案】(1)证明见解析；(2). 【分析】（1）先证明和，再利用线面垂直的判定定理证明出平面；（2）以为轴､轴､z轴建立空间直角坐标系，利用向量法求解.【详解】（1）为的中点，.为的中点，.平面，平面，平面.（2），为的中点，，.又平面，平面.分别以为轴､轴､z轴建立空间直角坐标系，如图.所以,,,,,所以.记为平面的法向量，则，即，不妨令，则而平面的法向量，易知二面角的平面角为锐角记为，则.22．已知函数.（1）讨论的单调性；（2）是否存在，使得在区间的最小值为且最大值为1？若存在，求出的所有值；若不存在，说明理由.【答案】(1)见详解；(2) 或.【分析】(1)先求的导数，再根据的范围分情况讨论函数单调性；(2) 根据的各种范围，利用函数单调性进行最大值和最小值的判断，最终得出,的值.【详解】(1)对求导得.所以有当时，区间上单调递增，区间上单调递减，区间上单调递增；当时，区间上单调递增；当时，区间上单调递增，区间上单调递减，区间上单调递增.(2)若在区间有最大值1和最小值-1，所以若，区间上单调递增，区间上单调递减，区间上单调递增；此时在区间上单调递增，所以，代入解得，，与矛盾，所以不成立.若，区间上单调递增；在区间.所以，代入解得 .若，区间上单调递增，区间上单调递减，区间上单调递增.即在区间单调递减，在区间单调递增，所以区间上最小值为而，故所以区间上最大值为. 即相减得，即，又因为，所以无解.若，区间上单调递增，区间上单调递减，区间上单调递增.即在区间单调递减，在区间单调递增，所以区间上最小值为而，故所以区间上最大值为. 即相减得，解得，又因为，所以无解.若，区间上单调递增，区间上单调递减，区间上单调递增.所以有区间上单调递减，所以区间上最大值为，最小值为即解得.综上得或.【点睛】这是一道常规的函数导数不等式和综合题，题目难度比往年降低了不少．考查的函数单调性，最大值最小值这种基本概念的计算．思考量不大，由计算量补充．