2022-2023学年陕西省西北农林技大学附属中学高二下学期期中数学（理）试题含解析

2022-2023学年陕西省西北农林技大学附属中学高二下学期期中数学（理）试题

一、单选题

1．根据偶函数定义可推得“函数在上是偶函数”的推理过程是

A．归纳推理 B．类比推理 C．演绎推理 D．非以上答案

【答案】C

【详解】分析：解决本题的关键是了解演绎推理的含义，演绎推理又称三段论推理，是由两个前提和一个结论组成，大前提是一般原理（规律），即抽象得出一般性、统一性的成果；小前提是指个别对象，这是从一般到个别的推理，从这个推理，然后得出结论．

解答：解：根据偶函数定义可推得“函数f（x）=x2是偶函数”的推理过程是：

大前提：对于函数y=f（x），若对定义域内的任意x，都有f（-x）=f（x），则函数f（x）是偶函数；

小前提：函数f（x）=x2满足对定义域R内的任意x，都有f（-x）=f（x）；

结论：函数f（x）=x2是偶函数．

它是由两个前提和一个结论组成，是三段论式的推理，

故根据偶函数定义可推得“函数f（x）=x2是偶函数”的推理过程是演绎推理．

故选C．

2．若，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据基本初等函数的导数运算法则，准确计算，即可求解.

【详解】由函数，

根据导数的运算法则，可得.

故选：D.

3．已知复数，则

A．2 B．-2 C． D．

【答案】A

【详解】解：因为，所以，故选A

4．设函数．若为奇函数，则曲线在点处的切线方程为(　　)

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】分析：利用奇函数偶次项系数为零求得，进而得到的解析式，再对求导得出切线的斜率，进而求得切线方程.

详解：因为函数是奇函数，所以，解得，

所以，，

所以，

所以曲线在点处的切线方程为，

化简可得，故选D.

点睛：该题考查的是有关曲线在某个点处的切线方程的问题，在求解的过程中，首先需要确定函数解析式，此时利用到结论多项式函数中，奇函数不存在偶次项，偶函数不存在奇次项，从而求得相应的参数值，之后利用求导公式求得，借助于导数的几何意义，结合直线方程的点斜式求得结果.

5．下列等式成立的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】根据微积分基本定理一一计算可得.

【详解】对于A：

，

，

所以，故A正确；

对于B：，故B错误；

对于C：，故C错误；

对于D：，其中，

所以，故D错误；

故选：A

6．给出下面四个类比结论

①实数，，若，则或；类比向量，，若，则或

②实数，，有；类比向量，，有

③向量，有；类比复数，有

④实数，有，则；类比复数，有，，其中类比结论正确的命题个数为

A．0 B．1 C．2 D．3

【答案】B

【详解】①错误，因为若向量互相垂直，则；

③错误，因为是复数的模是一个实数，而是个复数，

比如若，则，;

④错误，若假设复数，，则，但是，．

②正确

．

故选B．

7．用数学归纳法证明时，由k到k+1，不等式左边的变化是（　　）

A．增加项

B．增加和两项

C．增加和两项同时减少项

D．以上结论都不对

【答案】C

【详解】时，左边，时，左边，由“”变成“”时，两式相减可得 ，故选C.

点睛：本题主要考查了数学归纳法的应用，属于基础题；用数学归纳法证明恒等式的步骤及注意事项：①明确初始值n0并验证真假．（必不可少）②“假设n=k时命题正确”并写出命题形式．③分析“n=k+1时”命题是什么，并找出与“n=k”时命题形式的差别．弄清左端应增加的项．④明确等式左端变形目标，掌握恒等式变形常用的方法：乘法公式、因式分解、添拆项、配方等，并用上假设．

8．定义运算：，例如则下列等式不能成立的是（     ）.

A． B．

C． D．（其中）

【答案】C

【分析】根据定义逐项分析即得.

【详解】因为，它表示的是的结果为和中的较大数，

对A，和都是和中的较大数，故，正确；

对B，是，，中的较大数，正确；

对C，表示和中的较大数的平方，而表示和中的较大数，例如时，，等式就不成立，故错误；

对D，和都表示与和中的较大数的乘积，故正确.

故选：C.

9．曲线在点 处的切线与直线和 围成的三角形的面积为

A． B． C． D．1

【答案】A

【详解】，所以在点处的切线方程为，它与的交点为，与的交点为，所以三角形面积为

故选：A

10．设，则下列结论正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用放缩法可得出结论.

【详解】，

故选：B.

11．设函数，则

A．为的极大值点 B．为的极小值点

C．为的极大值点 D．为的极小值点

【答案】D

【详解】试题分析：因为，所以．

又，所以为的极小值点．

【解析】利用导数研究函数的极值；导数的运算法则．

点评：极值点的导数为0 ，但导数为0的点不一定是极值点．

12．已知定义在上的可导函数的导函数为，满足，且，则不等式的解集为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】令，利用导数说明函数的单调性，则不等式，即，根据单调性解得即可.

【详解】令，则，

在上单调递增，

，

则不等式，即为，即为，，

所以不等式的解集为.

故选：B

二、填空题

13．____________.

【答案】

【分析】找出被积函数的原函数，利用微积分基本定理可求出所求定积分的值.

【详解】解：，

故答案为：

14．已知函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是______．

【答案】

【分析】直接求导，分离参数得.

【详解】，

又∵在上单调递增，∴在上恒成立，

∴，∴．

故答案为：.

15．在中学数学中，从特殊到一般，从具体到抽象是常见的一种思维形式．如从指数函数中可抽象出的性质；从对数函数中可抽象出的性质．那么从函数______（写出一个具体函数即可）可抽象出的性质．

【答案】（答案不唯一）

【分析】本题属于开放性问题，只需找到符合题意的解析式即可，不妨令，即可判断.

【详解】令，则，，，

所以，符合题意.

故答案为：（答案不唯一）

16．若点是曲线上任意一点，则点到直线的最小距离是______．

【答案】

【分析】作直线的平行线，使得与曲线相切，设切点为，根据导数的几何意义求得切点为，结合点到直线的距离公式，即可求解.

【详解】作直线的平行线，使得与曲线相切，设切点为，

因为函数，可得，

所以曲线在点处的导数为，即切线的斜率为

令，解得，则，即切点为，

又由点到直线的距离公式，可得切线到直线的距离为，

即到直线的最小距离为.

故答案为：.

三、解答题

17．已知复数在复平面内表示的点为A，实数m取什么值时，

（1）z为实数？z为纯虚数？

（2）A位于第三象限？

【答案】（1）当 m＝3或m＝6时，z为实数；当m＝5时，z为纯虚数；（2）3＜m＜5

【分析】（1）当复数的虚部等于0时，复数z为实数；当复数的实部等于0，且虚部不等于0时，复数z为纯虚数；

（2）当复数的实部和虚部都小于0时，复数对应点在第三象限，解不等式组求出实数m的取值范围即可．

【详解】复数

（1）当m2﹣9m+18＝0，解得 m＝3或m＝6，故当 m＝3或m＝6时，z为实数．

当，解得m＝5，故当m＝5时，z为纯虚数；

（2）当    即 ，即3＜m＜5时，对应点在第三象限．

【点睛】本题主要考查复数的基本概念，复数代数表示法及其几何意义，属于基础题．

18．已知两曲线和都经过点，且在点处有公切线，试求、、的值．

【答案】，，

【分析】根据点在曲线上，求出，再求出两函数的导函数，根据函数在点处有公切线求出，再根据点在曲线上求出.

【详解】∵点在曲线上，

∴，∴，

函数和的导数分别为和，且在点处有公切线，

∴，解得，

又由点在曲线上可得，解得．

综上，，，．

19．已知,分别求,,的值，然后归纳猜想一般性结论，并证明你的结论.

【答案】详见解析.

【详解】试题分析：将代入，即可求得的值；观察，根据上一步的结果可以归纳出一般的结论：自变量的和为 ，则函数值的和为 ，根据结论的形式将代入并化简求值即可完成证明.

试题解析：由，得

,,

.

归纳猜想一般性结论为

证明如下：

【方法点睛】本题通过观察几组等式，归纳出一般规律来考查函数的解析式及归纳推理，属于中档题.归纳推理的一般步骤: 一、通过观察个别情况发现某些相同的性质. 二、从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想）. 常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类：(1) 数的归纳包括数的归纳和式子的归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等；(2) 形的归纳主要包括图形数目的归纳和图形变化规律的归纳.

20．已知，用分析法证明：

【答案】证明见解析

【分析】根据分析法证明的步骤，逐步分析，即可求解.

【详解】要证明，只需证，

只需证，

只需证，

即，

只需证，即，显然成立，

故原不等式成立.

21．设函数

(1)讨论的单调性；

(2)求在区间的最大值和最小值．

【答案】(1)函数在上单调递增；在上单调递减；

(2)在区间上的最大值为，最小值为.

【分析】（1）先求函数的定义域，解不等式求出函数的单调递增区间，解不等式求出函数的单调递减区间；（2）根据函数的单调性求出函数的最值.

【详解】（1）函数的定义域为，

又.

令，解得或；令，解得.

所以函数在上单调递增；在上单调递减；

（2）由（1）可得：函数在区间内单调递减，在内单调递增.

所以当时，函数取得最小值，

又，，

而，

所以当时，函数取得最大值为：.

即在区间上的最大值为，最小值为.

22．设函数.

(1)当时，求的单调区间；

(2)若当时，恒成立，求的取值范围.

【答案】(1)增区间为，减区间为

(2)

【分析】（1）当时，求得，利用导数与函数单调性的关系可求得函数的增区间和减区间；

（2）分、两种情况讨论，在时，直接验证即可；在时，由可得出，对实数的取值范围进行讨论，利用导数分析函数的单调性，验证对任意的能否恒成立，综合可得出实数的取值范围.

【详解】（1）解：当时，函数的定义域为，

，

当时，；当时，，当且仅当时，等号成立.

因此，当时，函数的增区间为，减区间为.

（2）解：因为当时，恒成立.

①当时，不等式显然成立，此时；

②当时，由可得，

令，其中，则，

则函数在上单调递增，且.

当时，即当时，对任意的时，，

此时，函数在上单调递增，则，合乎题意；

当时，即当时，令，可得，

当时，，即函数在上单调递减，

当时，，即函数在上单调递增，

故当时，，不合乎题意.

综上所述，实数的取值范围是.

【点睛】方法点睛：恒（能）成立问题的解法：若在区间上有最值，则

（1）恒成立：；；

（2）能成立：；.

若能分离常数，即将问题转化为：（或），则

（1）恒成立：；；

（2）能成立：；.